2012.12.20管理运筹作业(参考)

2012MBA管理运筹学作业题 一、分析建模题（软件求解） (线性规划)1、某企业利用甲、乙两种原料生产 A、B、C 三种产品。每月可供应的原料数量（吨） ，每万 件产品所需要各种原料数量及每万件产品的价格如下表所示： 每万件产品所需原料 原 料 A B C 每月原料供应量 甲 4 3 1 180 乙 2 6 3 200 价格（万元/万件） 12 5 4 制定每月最优生产计划，使得总收益最大（不必求解） 。 解：设生产 A X1件， B 产品 X2件，C 产品 X3件，总收益为 Z。 根据题意列式如下： 4X1+3X2+X3180 2X1+6X2+3X3200 X1，X 2，X 30 MaxZ =12X1+5X2+4X3 2 （整数规划之指派问题）2、分配甲、乙、丙、丁四人分别去完成 A、B、C、D 四项工作。已知每人完 成各项工作的时间如下表所示。规定每项工作只能由一人去单独完成，每个人最多承担一项工作。如何分 配工作，使完成四项工作总的耗时为最少？建立线性规划数学模型（不求解） 。 解：设耗时为 Z，引入 0-1 变量 Xij, （i=1,2,3,4 j=1,2,3,4） 令 Xij= 1，当指派第 i 个人去完成第 j 项工作时； 0，当不指派第 i 个人去完成第 j 项工作时； 为使总耗时最少可得： Min Z = 10X11+5X12+15X13+20X14+2X21+10X22+5X23+15X24 +3X31+15X32+14X33+13X34 +15X41+2X42+7X43+6X44 每人只干一项工作的约束条件为 X11+X12+X13+X14 =1 （甲只能干一项工作） X21+X22+X23+X24 =1 （乙只能干一项工作） X31+X32+X33+X34 =1 （丙只能干一项工作） X41+X42+X43+X44 =1 （丁只能干一项工作） 每项工作只能由一个人干的约束条件为 X11+X21+X31+X41 =1（工作 1 只能一个人干） X12+X22+X32+X42 =1（工作 2 只能一个人干） X13+X23+X33+X43 =1（工作 3 只能一个人干） X14+X24+X34 +X44 =1（工作 4 只能一个人干） 工人 工作 甲 乙 丙 丁 1 10 2 3 15 2 5 10 15 2 3 15 5 14 7 4 20 15 13 6 第 3 页 共 19 页 3 （线性规划）3、一家广告公试司想在电视、广播及杂志做广告，其目的是尽可能多地招徕顾客。下面 是市场调查结果： 电 视 白天 最佳时间 无线电 广 播 杂志 一次广告费用（千元） 40 75 30 15 受每影响的顾客数（千人） 400 900 500 200 每影响的女顾客数（千人） 300 400 200 100 这家公司希望广告费用不超过 800（千元） ，还要求：（1）至少有二百万妇女收看广告；（2）电视 广告费用不超过 500（千元） ；（3）电视广告白天至少播出 3 次，最佳时间至少播出 2 次；（4）通过广播、 杂志做的广告各重复 5 到 10 次（不必求解） 。 解：设 X 为广告的次数，X 1为白天播广告的次数，X 2为最佳时间播广告的次数，X 3为无线电广播播广告的 次数，X 4为在杂志上登广告的次数。Z 为吸引顾客人数。 Max Z =400X1+900X2+500X3+200X4 由条件（1）至少有二百万妇女收看广告，这里的收看指电视 30X1+40X2200 由条件（2）电视广告费用不超过 500（千元） 40X1+75X2500 由条件（3）电视广告白天至少播出 3 次，最佳时间至少播出 2 次 X13， X 22 由条件（4）通过广播、杂志做的广告各重复 5 到 10 次 5X 310， 5X 410 且， 40X1+75X2+30X3+15X4800 X1，X 2，X 3，X 4 0 4 （线性规划之人力资源分配问题）4.昼夜运营的公交线路每天各时间区段内所需要的司机和乘务员人 数如下表： 设司机和乘务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作 8 小时，问该公交线路至少配备多少名 司机和乘务人员。建立该问题的线性规划数学模型（不求解） 。 解：设 Xi为第 i 次班次时开始上班的司机和乘务员人数，Z 为配备人数。 X1+X660 X1+X270 X2+X360 X3+X450 X4+X520 X5+X630 MinZ= X1+X2+X3+X4+X5+X6 且 X 1，X 2，X 3，X 4，X 5，X 60 （线性规划之投资问题）5、某部门现有资金 200 万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。某公司在 今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目 A：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息 6%，此项投资金额不限。 项目 B：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利 115%， 但要求第一年投资最低金 额为 40 万元，第二、三、四年不限； 项目 C：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利 128，但规定最低投资金额为 30 万元，最高金额 为 50 万元； 项目 D：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利 140%，但规定其投资额或为 10 万元的整数倍，最 高金额为 40 万元。 据测定每万元每次投资的风险指数如下表： 班次 时间 所需人数 1 2 3 4 5 6 06：00 10：00 10：00 14：00 14：00 18：00 18：00 22：00 22：00 02：00 02：00 06：00 60 70 60 50 20 30 第 5 页 共 19 页 5 a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在 280 万元的基础上使得其投资 总的风险系数为最小？ 解：设 Xij (i=1,2,3,4,5 年，j=1,2,3,4 项目) 根据题意，建立如下决策变量 项目 年份 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 A X11 X21 X31 X41 X51 B X12 X22 X32 X42 C X33 D X24 由约束条件可知 第一年：X 11+X12=200 第二年：因为项目 A 当年即可收回本息，故第二年初有 1.06X11 所以，X 21+X22+X24=1.06X11 第三年：根据题意可知，第三年初有资金 1.06X21+1.15X12 所以，X 31+X32+X33=1.06X21+1.15X12 第四年：根据题意可知，第四年初有资金 1.06X31+1.15X22 所以，X 41+X42=1.06X31+1.15X22 第五年：根据题意可知，第五年初有资金 1.06X41+1.15X32 所以，X 51 =1.06X41+1.15X32 又，项目 B,C,D 投资有限制 X1240， 30X 3350, 10aX 2440(a=1,2,3,4) 另，由于项目 B 第二、三、四年投资不限，引入 0-1 变量 Xi2= 0, 当第 i 年不投资项目 B 时 i=2,3,4 项 目 风 险 指 数 （ 次 /万 元 ） A 1 B 2.5 C 4 D 5. 6 1， 当第 i 年投资项目 B 时 综上所述， a)根据题意确立目标函数及模型, 使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大 Max Z=1.06X51+1.15X42+1.28 X33+1.4X24 X11+X12=200 X21+X22+X24=1.06X11 X31+X32+X33=1.06X21+1.15X12 X41+X42=1.06X31+1.15X22 X51 =1.06X41+1.15X32 X1240， 30X 3350, 10aX 2440(a=1,2,3,4) Xi2= 0, 当第 i 年不投资项目 B 时 i=2,3,4 1， 当第 i 年投资项目 B 时 Xij0 （i=1,2,3,4,5;j=1,2,3,4） b)根据题意确立目标函数及模型, 使得第五年年末拥有资金的本利在 280 万元的基础上使得其投资总 的风险系数为最小 设风险指数为 F， Min F= X11+X21+X31+X41+X51+2.5（X 12+X22+X32+X42）+4X 33+5.5X24 X11+X12=200 X21+X22+X24=1.06X11 X31+X32+X33=1.06X21+1.15X12 X41+X42=1.06X31+1.15X22 X51 =1.06X41+1.15X32 X1240， 30X 3350, 10aX 2440(a=1,2,3,4) Xi2= 0, 当第 i 年不投资项目 B 时 i=2,3,4 1， 当第 i 年投资项目 B 时 1.06X51+1.15X42+1.28 X33+1.4X24280 第 7 页 共 19 页 7 Xij0 （i=1,2,3,4,5;j=1,2,3,4） （运输问题） 6、某物资要从三个产地 ， ， 运往四个销地 ， ， ， 单位运价由下表1A231B234 给出： 1B2B41A 2 5 4 32 1 6 8 23 3 2 6 9 已知 ， ， ， 的需求量分别为 800,500,600,400 个单位， 至少发出 700 个单位，最多发1B24 1A 出 1000 个单位， 必须发出 600 个单位， 至少发出 300 个单位，最多发出 800 个单位。根据以上数据3A 建立运筹学模型，使总运费最小（不必求解） 。 解：设 Xij表示从 Ai运到 Bj的运输量（i=1,2,3;j=1,2,3,4，5）123B4B 产量（单位）1 2 5 4 3 700A110002 1 6 8 2 A2=6003A 3 2 6 9 300A3800 需求量 （单位） 800 500 600 400 1600A2400 2300 假设虚拟销地 B5，则有1B23B4B 5 产量（单位）1A 2 5 4 3 0 700A110002 1 6 8 2 0 A2=6003 3 2 6 9 0 300A3800 需求量 （单位） 800 500 600 400 100 1600A2400 2400 满足产地产量的约束条件有 700X 11+X12+X13+X14+X151000 X21+X22+X23+X24+X25=600 1600X 31+X32+X33+X34+X352400 满足销地销量的约束条件有 X11+X21+X31=800 X12+X22+X32=500 X13+X23+X33=600 X14+X24+X34=400 X15+X25+X35=100 使运费最小，即 8 Min Z= 2X11+X21+3X31+5X12+6X22+2X32+4X13+8X23+6X33+3X14+2X24+9X34+0X15+0X25+0X35 Xij0（i=1,2,3;j=1,2,3,4，5） （目标规划）7、一工艺品厂商手工生产某两种工艺品 A、B，已知生产一件产品 A 需要耗费人力 2 工时， 生产一件产品 B 需要耗费人力 3 工时。A、B 产品的单位利润分别为 250 元和 125 元。为了最大效率地利用 人力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周总耗费人力资源不能低于 600 工时，但 也不能超过 680 工时的极限；次要任务是要求每周的利润超过 70000 元；在前两个任务的前提下，为了保 证库存需要，要求每周产品 A 和 B 的产量分别不低于 200 和 120 件，因为 B 产品比 A 产品更重要，不妨假 设 B 完成最低产量 120 件的重要性是 A 完成 200 件的重要性的 2 倍。 如何安排生产？（不必求解） 。 解：设 P1，P 2，P 3表示从高到低的优先权，引入正负偏差变量(各个目标) ：d +，d - Min P1(d1+)+ P1(d2-)+P2(d3-)+ P3(d4-)+ P3 (2d5-) 约束条件为： 2X1+3X2- d1+ d1- = 680 2X1+3X2- d2+ d2- = 600 250X1+125X2- d3+ d3- =70000 X1- d4+ d4- = 200 X2- d5+ d5- = 120 X1，X 2，d 1+，d 1-，d 2+，d 2-，d 3+，d 3-，d 4+，d 4-，d 5+，d 5-0 然后按照以下步骤分步求解： P1：每周总耗费人力资源不能低于 600 工时，但也不能超过 680 工时的极限 P1对应 min d1+d2- P2：每周的利润超过 70000 元 P2对应 min d3- P3对应：每周产品 A 和 B 的产量分别不低于 200 和 120 件 min d4-+2d5- 第 9 页 共 19 页 9 （整数规划之分布系统设计）8某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱，为了扩 大生产，打算在 A2，A3，A4，A5 地中再选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5 地建厂的固定成 本分别为 175 千元、300 千元、375 千元、500 千元，另外， A1 产量及 A2，A3，A4，A5 建成厂的产量， 那时销地的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所示。 a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小? b) 如果由于政策要求必须在 A2，A3 地建一个厂，应在哪几个地方建厂? 解：设 Xij表示从 Ai运到 Bj的运输量（i=1,2,3,4,5;j=1,2,3）单位：千箱 a) 在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小 Yi= 1， 当 Ai厂址被选中时； 0， 当 Ai厂址没被选中时； Min Z =175Y2+300Y3+375Y4+500Y5+8X11+4X12+3X13+5X21+2X22+3X23+4X31+3X32+4X33+9X41+7X42+5X43+10X51+4X52+2X53 约束条件： 满足产量限制的约束条件 X 11+X12+X1330 X21+X22+X2310Y 2 X31+X32+X3320Y 3 X41+X42+X4330Y 4 X51+X52+X5340Y 5 满足销量的约束条件 X 11+X21+X31+X41+X51=30 X12+X22+X32+X42+X52=20 X13+X23+X33+X43+X53=20 Xij0（i=1,2,3,4,5;j=1,2,3） b) 如果由于政策要求必须在 A2，A3 地建一个厂，应在哪几个地方建厂 Yi= 1， 当 Ai厂址被选中时； 销 地 产 地 B1 B2 B3 产 量 (千 吨 ) A1 8 4 3 30 2 5 2 1 A3 4 3 4 20 4 9 7 5 3 A5 10 4 2 40 销 量 (千 吨 ) 3 20 0 10 0， 当 Ai厂址没被选中时； Min Z =175Y2+300Y3+375Y4+500Y5+8X11+4X12+3X13+5X21+2X22+3X23+4X31+3X32+4X33+9X41+7X42+5X43+10X51+4X52+2X53 约束条件： 满足产量限制的约束条件 X 11+X12+X1330 X21+X22+X2310Y 2 X31+X32+X3320Y 3 X41+X42+X4330Y 4 X51+X52+X5340Y 5 满足销量的约束条件 X 11+X21+X31+X41+X51=30 X12+X22+X32+X42+X52=20 X13+X23+X33+X43+X53=20 满足必须在 A2，A3 地建一个厂 Y 2+Y3=1 Xij0（i=1,2,3,4,5;j=1,2,3） 第 11 页 共 19 页 11 （多级物流系统设计）9.一个物流系统如下图所示（连线上的数字表示单位运价） 。设两个工厂 P1 和 P2 生产单一产品，工厂 P1 的年生产能力无限，工厂 P2 的年生产能力为 60000 个单位产品，两个工厂的生产 成本相同。两个分销中心 W1、W2，具有相同的库存成本。有三个市场 C1、C2、C3，需求量分别为 50000、100000、50000 个单位产品。试建立该使该系统运行成本最低的运筹学模型。 销量：50000 销量：100000 销量：50000 工厂P 1 生产能力无限 工厂P 2 生产能力：60000 分销中心W 1 分销中心W 2 0 5 4 2 4 3 5 2 1 2 Min Z =0P11+5P12+4P21+2P22+4W11+3W12+5W13+2W21+1W22+2W23;（此处和讲义上数据不同） 需求约束：W 11+W21= 50000; W12+W22=100000; W13+W23=50000; 供应约束： P 11+P12=140000; P21+P22=60000; 分销中心不存留产品：P 11+P21-W11-W12-W13=0; P12+P22-W21-W22-W23=0; P11，P 21 ，P 12，P 22 0；W 11，W 12，W 13，W 21，W 22，W 23 0 12 二、建模求解题 1、设某商业银行有 10 亿元资金，其中一部分用于贷款（L）,贷款利率 6%（不易流通） ，另一部分用于购 买证券，证券利率 4%（易流通） 。银行要求在下列约束下使总盈利最大： （1）流动投资至少保持在 25%；（2）老客户的贷款额至少为 8000 万元。 建立该问题的数学模型，并用图解法求解。 第 13 页 共 19 页 13 （动态规划）2、下图表示从起点 A 到终点 E 之间各点的距离。求 A 到 E 的最短路径。 BA CB D B C D E C 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 6 4 7 2 4 8 3 8 6 7 5 6 1 10 64 3 7 5 1 解：根据最优化原理倒推分步讨论： 以上求从 A 到 E 的最短路径问题，可以转化为四个性质完全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、C i、B i、A 到 E 的最短路径问题。 第四阶段：两个始点 D1和 D2，终点只有一个； 阶段 4 本阶段各终点（决策）本阶段始点 （状态） E 到 E 的最短距离 本阶段最优终点（最优决策) D1 D2 10 6 10 6 E E 分析得知：从 D1和 D2到 E 的最短路径唯一。 第三阶段：有三个始点 C1，C 2，C 3，终点有 D1，D 2，对始点和终点进行分析和讨论分别求 C1，C 2，C 3 到 D1，D 2 的最短路径问题： 阶段 3 14 本阶段各终点（决策）本阶段始点（ 状态） D1 D2 到 E 的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) C1 C2 C3 8+10=18 7+10=17 1+10=11 6+6=12 5+6=11 6+6=12 12 11 11 D2 D2 D1 分析得知：如果经过 C1， 则最短路为 C1-D2-E； 如果经过 C2， 则最短路为 C2-D2-E； 如果经过 C3，则最短路为 C3-D1-E。 第二阶段：有 4 个始点 B1,B2,B3,B4，终点有 C1,C2,C3。对始点和终点进行分 析和讨论分别求 B1,B2,B3,B4到 C1,C2,C3 的最短路径问题： 阶段 2 本阶段各终点（决策）本阶段始点 （状态） C1 C2 C3 到 E 的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) B1 B2 B3 B4 2+12=14 4+12=16 4+12=16 7+12=19 1+11=12 7+11=18 8+11=19 5+11=16 6+11=17 2+11=13 3+11=14 1+11=12 12 13 14 12 C2 C3 C3 C3 分析得知：如果经过 B1，则走 B1-C2-D2-E; 如果经过 B2，则走 B2-C3-D1-E； 如果经过 B3，则走 B3-C3-D1-E; 如果经过 B4，则走 B4-C3-D1-E。 第一阶段：只有 1 个始点 A，终点有 B1,B2,B3,B4 。对始点和终点进行分析和讨论分别求 A 到 B1,B2,B3,B4 的短路径问题： 阶段 1 本阶段各终点（决策）本阶段始 点(状态) B1 B2 B3 B4 到 E 的最短 距离 本阶段最优终 点(最优决策) A 4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14 14 B4 最后，可以得到：从 A 到 E 的最短路径为 A B4 C3 D1 E 第 15 页 共 19 页 15 3、某水果批发商想要采购一批国外新水果在当地销售。估计该水果在当地市场受欢迎的程度有非常好、 比较好、一般、很差四种状态，每种状态出现的概率无法预测。该水果的进货方案有 100 箱、200 箱、300 箱、400 箱四种，每种方案在各种状态下的收益值如下表所示。分别用乐观法、悲观法和后悔值法进行决 策。 状态 方案 非常好 比较好 一般 很差 100 箱 6 6 5 4 200 箱 7 7 5 3 300 箱 9 8 5 1 400 箱 10 9 5 -1 解： 乐观法 状态 方案 非常好 比较好 一般 很差 MAX 100 箱 6 6 5 4 6 200 箱 7 7 5 3 7 300 箱 9 8 5 1 9 400 箱 10 9 5 -1 10（MAX） 悲观法 状态 方案 非常好 比较好 一般 很差 Min 100 箱 6 6 5 4 4（MAX） 200 箱 7 7 5 3 3 300 箱 9 8 5 1 1 400 箱 10 9 5 -1 -1 后悔值法 状态 方案 非常好 比较好 一般 很差 MAX 100 箱 4（ 10-6） 3（9-6） 0 0（4，理想值） 4 200 箱 3（ 10-7） 2（9-7） 0 1(4-3) 3(MIN) 16 300 箱 1（ 10-9） 1（9-8） 0（5-5） 3(4-1) 3(MIN) 400 箱 0（10，理想值） 0（9，理想值） 0（5，理想值） 5(4-(-1) 5 4、根据水情资料，某地汛期出现平水水情的概率为 0.6，出现高水水情的概率为 0.3，出现洪水水情的 概率为 0.1，位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案： （1） 运走，需支付运费 25 万元； （2） 修堤坝保护，需支付修坝费 8 万元； （3） 不作任何防范，不需任何支出。 若采用方案（1） ，那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2） ，则仅当发生洪水时，因 堤坝冲垮而损失 500 万元的设备；若采用方案（3） ，那么出现平水位时不遭受损失，发生高水位时损失部 分设备 100 万元，发生洪水时损失设备 500 万元。 根据上述条件，选择最优决策方案，并对你所采用的决策方法作出评价。 平水 高水 洪水 状态/概率 方案 0.6 0.3 0.1 （1）运走，需支付运费 25 万元 -25 -25 -25 -25（付出代价最小） （2）修堤坝保护，需支付修 坝费 8 万元 -8 -8 -508 -8*（0.6+0.3）+ （-508 ）*0.1=-58 （3）不作任何防范，不需任 何支出。 0 -100 -500 -100*0.3+（-500）*0.1=-80 选择方案（1） 。 第 17 页 共 19 页 17 5.某厂商为电子产品的技术改造制定了两种方案：方案 1：采用充电电池；方案 2：采用太阳能电池。 根据经验，方案一成功的概率为 0.8，方案,二成功的概率为 0.6。如果产品改造成功，其质量和生产效率 均可提高，因此又制定了两种生产方案：（1）产量不变；（2）增加产量。若改造失败则保持产量不变。 企业决定生产五年，在今后五年内产品跌价的概率为 0.1，保持原价的概率为 0.4，涨价的概率为 0.5。有 关数据如下表所示。 跌价 原价 涨价 状态/概率 方案 0.1 0.4 0.5 失败（原结构生产） -100 0 110 产量不变 -200 90 200方案 1 成功 （概率 0.8） 产量增加 -400 100 300 产量不变 -200 0 250方案 2 成功 （概率 0.