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题根研究 抽象函数性质寻根 一、抽象函数 考场有约 如果把用解析式定义的函数称为“具体函数”,那么,不用解析式而直接用性质定义的函 数则可称为“抽象函数”. 抽象函数在近年的考卷中频频出现,如 2007 年天津卷第 7 题就 是抽象函数的例子. 【例 1】 在 R 上定义的函数 f (x)是偶函数,且 f (x) = f (2 x),若 f (x)在区间1,2 上是减函数,则 f (x) A.在区间2,1上是增函数,在区间 3,4上是增函数 B.在区间2,1上是增函数,在区间 3,4上是减函数 C.在区间2,1上是减函数,在区间 3,4上是增函数 D.在区间2,1上是减函数,在区间 3,4上是减函数 【分析】 习惯于用具体解析式研究函数性质的人,对用抽象定义的函数往往感到不习 惯. 其实直接用抽象函数来解决函数问题,有时比用解析式还方便. 本题就是这样的例子. 【解答】 B 由函数是偶函数知函数的图像关于 y 轴对称,函数在区间2,1的 单调性与在区间1,2的单调性相反,为增函数;由 f (x) = f (2 x)知函数的图像关于直 线 x =1 对称,故函数在区间3,4上的单调性与在区间2,1上的单调性相反,为 减函数,所以选 B. 【点评】 本题以抽象函数为载体考查了函数图像和函数的性质. 抽象函数的解法通常采用“形象法”画图. 按给出的性质画出符合性质的最简略 图. 如本题所画的略图如下直线段示图它符合题目给出的 3 条性质. 【互动】 抽象与形象互动 . 从函数略图上形象看到,这个函数是个周期函数,用函数 的抽象性质证明如下: 由 f (x) = f (2 x)和 f ( x) = f (x)可以推得 f (x) = f (2 + x),由此可知 f (x) 是一个周期为 2 的 周期函数的. 从形象上还可看到,函数有无穷条对称轴 x = m (mZ). 因为 x = 0 和 x = 1 是它的对称 轴,又函数的周期为 2,故 x = m 都是它的对称轴. 证明从略。 【注意】 对称性问题,要弄清:是一个函数本身的对称,还是两个函数的对称. 如由 f (a +x) = f ( b x)得函数 f (x)的图像关于直线 对称,而函数 y = f ( a + x)2bax 2 与 y = f ( b x)的图像关于直线 对称.2abx 二、抽象函数 函数集合 用性质定义的抽象函数,它往往不是一个具体的函数,有时符合性质的函数是一类函 数,或者说是一类函数的集合. 如例 1,符合给定的 3 条性质的函数除了简图中线段表示的函数外,还有没有其他的 函数也含有这 3 条性质我们继续研究例 1. 【例 2】 在 R 上定义的函数 f (x)是偶函数,且 f (x) = f (2 x),若 f (x)在区间1,2 上是减函数,则函数 f (x)可能是: A. sinx B. sinx C. cosx D. cosx 【解答】 D 这 4 个函数的周期都是 2. 符合“偶函数”条件的只有 C 和 D. 而在区间 1,2上递减的只有 D. 故答案为 D. 图像如下 【探究】 例 1 中的函数 f (x),除了上述两图像表示的具体函数以外,还有没有其他的 函数呢?显然,这个函数集合中的“元素”多到无穷. 如以下解析式表示的函数都是: f (x) = A cosx + m,其中 A 为正数,m 为任意实数. 那么,这里的 f (x)到底是个什么函数呢?请不要老是往统一的解析式上寻找. 它是一 个函数集合,我们可以用集合的描述法表示如下: A = f (x) | f (x)是 R 上偶函数, f (x) = f (2 x),f (x)在区间 1,2上递减 像这样的抽象函数还有: B = f (x) | f ( x )= f (x)是偶函数的集合; C = f (x) | f ( x )= f (x)是奇函数的集合; D = f (x) | f ( x+y) = f ( x) + f (y)是正比例函数的集合; E = f (x) | = 是一次函数的集合,等等.2) 对这些抽象函数(集合) ,随着其他条件(性质)的添加,则抽象函数逐步提出它们的 “子集”或“元素”. 如在 D 中,限制条件 f (1)= 2,则得到此集合中的一个“ 元素”:f (x) = 2 x. 3 三、抽象函数 用方程定义 在 7 大数学思想中,人们把“函数方程思想”放在首位,函数与方程本来就是一对孪生 兄弟. 函数的解析式 y = f (x)可视二元方程 F (x,y) = 0;反之,对二元方程 F (x,y),也可 把 y 视作 x 的函数. 因此,函数不仅可用解析式定义,还可用方程或不等式定义. 【例 3】 已知函数 f(x)的定义域为 R,对任意实数 m,n 都有 f (m+n) = f (m)f (n), 且当 x0 时 01 f (x)是 R 上的减函数 ()设 A=(x,y)| f (x2)f (y2) f (1),B=( x,y)| f (ax y+2) =若 AB=,试确定 实数 a 的取值范围. 【分析】 这就是用方程和不等式定义的函数,按命题人思想,并不需要先求函数解析 式(即使是已经知道这个函数是个指数函数) ,而是用函数的性质直接解题 . 【解() 】 f (0) = f (0+0) = f (0)f (0) = f 2 (0) 即 f (0) f 2 (0) = f (0)1 f (0)= 0 故 f (0) = 1 或 f (0) = 0 舍去 f (0) = 0 的证明 假设 f (0) = 0,则有 f (n n) = f (n)f ( n) = 0 f (n),f ( n)中至少有一个为 0,设 f (n) = 0 按 n 的任意性,则有 f (x) = 0,这与 x 0 时,0 0,所以 0 0,0 1,用 x( 1. 设 x1 f (x2) f (x)是 R 上的减函数. 【解() 】 f (x )是 R 上的减函数,由 f (x2)f (y2) f (1) 4 f (x2+y2) f (1) x2+y2 0 时 00 时 00 时 0 1 时,f (x) 1 时,f (x ) 1, 所以 , .212 【解(3) 】令 x = y =1 代入 f ( xy) = f (x) + f (y)得 f (1) = f (1) + f (1),f (1) = 0, 所以关于 x 的不等式 为 ,012a)1()1(2fax 由(2)可知函数 f (x)在定义域(0,+ )上是减函数,所以 0 1 时,1 0,恒有 f (x + T ) = f (x),则在区间 0,2T上,方程 f (x) = 0 根的个数最小值为 A. 3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 【分析】 本题的抽象函数是奇函数与周期函数的“交”:) ()Txf 解题时要想把抽象性质“用足” ,不仅要充分利用各个函数方程()和() ) , 还要充分利用方程()和()的互动. 【错解】 A 因为 f (x)是 R 上的奇函数,先由方程()得 f (0) = 0 x1= 0 再由方程()得 f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 x2 = T,x 3 = 2T. 即在区间0,2T上,方程 f (x) = 0 根的个数最小值为 3 个(0,T,2T). 【正解】 C. 由方程()得 f (0) = 0 x1= 0 再由方程()得 f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 x2 = T,x 3 = 2T. 又因为 令 x = 0 得2x )(ff 又 T 联立,得 x40)2(f2T 再由()得 35 9 【点评】 方程 f (x) = 0 根 x4 和 x5 的求得,是充分地利用了函数方程()和() 的互动. 错解中漏掉 x4 和 x5 的原因是,孤立地考虑了奇函数,把“起始根”只定在 x1 = 0 上. 正解中,在周期性的互动下,找到了另一个“起始根”x 4 . 【说明】 定义在 R 上、周期为 T 的奇函数 f (x),在区间 上有 3 个零点2 ,T . 如正弦函数 f (x) = sinx 的周期为 2,它在区间,上有 3 个零点2,0 T (,0,). 八、抽象函数 命题人也出错误 抽象函数,曾出现过高考大错题. 命题人出错,也出现在“奇函数周期函数”的 零点问题上. 【例 9】 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 【说明】 这是 2005 年福建卷(理)第 12 题,命题组提供的答案是 D,即答案为 5. 答案 D 从何而来?以下是“D”的一种解法. 【错解】f (x) 周期为 3,由 f (2)=0,得 f (5) = f (2)=0,得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0,得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0 f (x)为奇函数,得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0,得 f (-0)= - f (0),得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0 于是,求得 f (x)=0 的解为:1、2、3、4、5. 共 5 个解,答案为 D. 【正解】 除了上述解法得 f (x)=0 的 5 个解外,还有如下的解. 根据方程 f (x)=0 的定义, x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解,证明如下: 由 f (x)的周期性,知 f (-1.5)= f (1.5) (1) 由 f (x)的奇偶性,知 f (-1.5) = - f (1.5) (2) 从而有 f (1.5)=0,f (4.5) = f (1.5)=0. 所以,1.5 和 4.5 也是方程 f (x)=0 的解.于是,方程的解共有 7 个:即是 1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【结论】 按上面讨论的结果,方程 f (x) = 0 的解至少有 7 个. 而原题的四个选项支中 均没有这个答案. 命题人给定的答案 D 是错的. 10 【实例】 f (x)同时满足 4 个条件:(1)定义在 R 上;(2)奇函数;(3)周期为 3;(4)f (2) =0. 据此,我们找到 f (x)的一个解析函数具体例子:x3sin2i)( 并在区间(0,6)上找到 f (x)=0 的 7 个解,列表如下: 这 7 个解即是 1,1.5,2,3,4,4.5,5. 函数 在一个周期0,3上x

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