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文档简介
习题 七1.证明:如果f(t)满足傅里叶变换的条件,当f(t)电大考试电大小抄电大复习资料为奇函数时,则有其中当f(t)为偶函数时,则有其中证明:因为其中为f(t)的傅里叶变换当f(t)为奇函数时,为奇函数,从而为偶函数,从而故 有为奇数。 =所以,当f(t)为奇函数时,有同理,当f(t)为偶函数时,有.其中 2.在上一题中,设.计算的值.解:3.计算函数.解:4.求下列函数的傅里叶变换 解:(2)解:因为所以根据傅里叶变换的微分性质可得(3)解:(4)解:令,则在上半平面有两个一级极点.故.(5) 解:同(4).利用留数在积分中的应用,令则.5.设函数f(t)是解析函数,而且在带形区域内有界.定义函数为证明当时,有 对所有的实数t成立.(书上有推理过程)6.求符号函数 的傅里叶变换.解:因为把函数.不难看出 故:7.已知函数的傅里叶变换求解:8.设函数f(t)的傅里叶变换,a为一常数. 证明f当a0时,令u=at.则当a0时,令u=at,则.故原命题成立.9.设证明.证明:10.设,证明:以及证明:同理:11.设计算.解:当时,若则故=0.若则若则故12.设为单位阶跃函数,求下列函数的傅里叶变换.习题八1.求下列函数的拉普拉斯变换.(1), (2), (3)(4), (5) 解: (1) (2) (3) (4) (5) 2.求下列函数的拉普拉斯变换.(1) (2)解: (1) (2) 3.设函数,其中函数为阶跃函数, 求的拉普拉斯变换.解: 4.求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换解:5. 求下列函数的拉普拉斯变换.(1) (2) (3) (4) (5 (6 (7) (8) 解:(1) (2)(4)(5) (6)(7)(8)6.记,对常数,若,证明证明: 7 记,证明:证明:当n=1时,所以,当n=1时, 显然成立。假设,当n=k-1时, 有现证当n=k时8. 记,如果a为常数,证明:证明:设,由定义9. 记,证明:,即证明:10.计算下列函数的卷积(1) (2) (3) (4) (5) (6 解:(1) (2) (3) (4)(5) (6)11.设函数f, g, h均满足当t0时恒为零,证明以及证明:12.利用卷积定理证明证明:设,则,则,所以13. 求下列函数的拉普拉斯逆变换.(1) (2) (3)(4) (5) (6 解:(1)(2)(3故(4)因为所以(5)其中所以(6)所以14.利用卷积定理证明证明:又因为所以,根据卷积定理15.利用卷积定理证明证明:因为所以,根据卷积定理有16. 求下列函数的拉普拉斯逆变换.(1) (2) (3)(4)解:(1) 故(2):(3)故(4)故且所以17.求下列微分方程的解(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1)设方程两边取拉氏变换,得为y(s)的三个一级极点,则(2) 方程两边同时取拉氏变换,得(3)方程两边取拉氏变换,得因为由拉氏变换的微分性质知,若lf(t)=f(s),则即因为所以故有(4)方程两边取拉氏变换,设ly(t)=y(s),得故(5)设ly(t)=y(s),则方程两边取拉氏变换,得故18.求下列微分方程组的解(1) (2) 解:(1) 设微分方程组两式的两边同时取拉氏变换,得得(2)代入(1),得(3)代入(1),得(2)设 方程两边取拉氏变换,得(3)代入(1):所以故1
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