谈谈数学分析中的几类柯西准则 毕业论文.doc

谈谈数学分析中的几类柯西准则【摘要】本文主要论述了数列的柯西收敛准则，函数极限存在的柯西准则，级数收敛的柯西准则，函数列一致收敛的柯西准则，函数项级数一致收敛的柯西准则，平面点列的柯西准则，含参量反常积分一致收敛的柯西准则的应用并进行了总结和证明，并通过大量的例题体现了它们的地位和作用.柯西收敛准则是证明收敛与发散的基本方法，并且通过此种方法还推出了很多简单的方法，由此可见柯西准则的重要地位，此种方法的优越性也是显而易见的，就是通过本身的特征来判断是否收敛，这就给证明带来了方便，本文将这几种准则作了以下总结，并且探讨了它们之间的一些关系. 【关键词】柯西准则， 一致收敛， 级数some canchy criteria in the mathematical analysis【abstract】 this passeage discusses the sequence of cauchy criterion function limit, the convergence of cauchy criterion, the convergence of the series, the function of cauchy criterion listed uniform convergence of cauchy criterion function series, uniform convergence of cauchy criterion, plane of cauchy criterion, some abnormal integral parameter uniform convergence of cauchy criterion and summarized and proof, and through a lot of sample reflected their status and role. cauchy convergence criteria is proved the convergence and spread the basic method and through this method also launched many simple method, thus the important position of cauchy criterion, this kind of method is obvious superiority of the characteristics of itself, through to judge whether to prove the convergence, and this will bring convenience to the standards for the following summary, and probes into some of the relationship between them. 【key words】 cauchy criterion, uniform convergence, series 目录1 引言.12数列的柯西收敛准则.13函数极限存在的柯西准则.24级数收敛的柯西准则.34.1 级数的定义.3 4.2 级数收敛的柯西准则及其应用.35函数列一致收敛的柯西准则.55.1 函数列的定义.5 5.2 函数列的一致收敛及其应用.56函数项级数一致收敛的柯西准则.7 6.1 函数项级数定义.7 6.2 函数项级数的一致收敛.77含参量反常积分的一致收敛的柯西准则.8 7.1 含参量反常积分的定义.8 7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则.88 柯西准则在数学分析中的作用.119参考文献. 13 131 引言柯西准则是数学分析的基础理论，贯穿于整个数学分析内容之中.在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念的，都有与内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大优点是不需要借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的特点，它具有整齐完美的形式，在分析中有很重要的理论价值由于柯西准则的内容多，又分布在教材的不同地方，在学习时感到空洞，抓不住实质，更不能很好地应用它们，下面根据自己的学习经验，谈点体会2 数列的柯西准则定理2.1 (柯西收敛准则) 数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数n，使得当时有 .例1 证明：任一无限十进小数的n位不足近似所组成的数列 (1)满足柯西条件(从而必收敛)，其中为0,1,2,9中的一个数，k=1,2，. 证 记.不妨设,则有 .对任给的，取，则对一切有 .这就证明了数列(1)满足柯西条件. 例2 已知，求证存在.证明：设， .所以，当时，由柯西收敛准则，所以存在.3 函数极限存在的柯西准则定理3.1(柯西准则) 设函数在内有定义.存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何有.证 必要性 设，则对任给的，存在正数，使得对任何有.于是对任何有. 充分性 设数列且.按假设，对任给的，存在正数，使得对任何，有.对上述的，存在，使得当时有，从而有 .于是，按数列的柯西准则，数列的极限存在，记为a，即. 按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限不存在的充要条件：存在，对任何(无论多么小)，总可以找到，使得.例3 证明极限不存在. 证 取，对任何，设正整数，令 则有，而.于是按柯西准则，极限不存在.4 级数收敛的柯西准则4.1 级数的定义给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 (2)称为数项级数或无穷级数(也常称级数)，其中称为数项级数(2)的通项4.2 级数收敛的柯西准则及其应用定理4.2 级数收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数n，使得当mn以及对任意的正整数p，都有 n)和，有 (3)由定理4.2立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件.推论 若级数(2)收敛，则 =0.例4讨论调和级数 1+ 的敛散性 解 这里调和级数显然满足推论的结论，即 . 但令p=m时，有 =.因此，取=，对任何正整数n，只要mn和p=m就有(5)式成立.所以调和级数是发散的.例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛. 证 由于 = = n及对任意正整数p，由上式就有 n时，对一切，都有 ，则称函数列在d上一致收敛于，记作 ，.由定义看到，如果函数列在d上一致收敛，那么对于所给的，不管d上哪一点，总存在公共的(即n的选取仅与有关，与的取值无关)，只要nn，都有 |.由此看到函数列在d上一致收敛，必在d上每一点都收敛.反之，在d上每一点都收敛的数列，在d上不一定收敛.5.2 函数列的一致收敛及其应用定理5.2 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列在数集d上一致收敛的充要条件是：对任给正数，总存在正数n，使得当n，mn时，对一切，都有 . (4)证 必要性 设 ()，即对任给，存在正数n，使得当nn时，对一切，都有 . (5)于是当n，mn，由(5)就有 n时，对一切都有 .由定义可得， ，.根据一致收敛定义可推出下述定理： 函数列在区间d上一致收敛于的充要条件是： . (6)证 必要性 若 ，.则对任给的正数，存在不依赖于的正整数n，当nn时，有 ，.由上确界的定义，亦有.这就证得(6)式成立.充分性 由假设，对任给的，存在正整数n，使得当nn时，有 . (7) 因为对一切，总有 .故由(7)式得.于是在d上一致收敛于.在判断函数列是否一致收敛上定理5.2更为方便一些(其缺点是必须事先知道它的极限函数)，由,所以在上，.例7 证明：若对，有，且收敛，则函数列在区间i上一致收敛.证明： ，因为收敛，故，有.于是，有 .所以在区间i上一致收敛.6 函数项级数一致收敛的柯西准则6.1 函数项级数定义定义1 设是定义在数集e上的一个函数列，表达式 ， (8)称为定义在e上的函数项级数，简记为或.称 ， ，n=1，2， (9)为函数项级数(10)的部分和函数列定义2 设是函数项级数的部分和函数列.若在数集d上一致收敛于函数，则称函数项级数在d上一致收敛于函数，或称在d上一致收敛.6.2 函数项级数的一致收敛定理6.2（一致收敛的柯西准则） 函数项级数在数集d上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某正整数n，使得当nn时，对一切和一切正整数p，都有,或 .此定理中当p=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件. 推论 函数项级数在数集d上一致收敛的必要条件是函数列在d上一致收敛于零. 设函数项级数在d上的和函数为，称 为函数项级数的余项.7 含参量反常积分的一致收敛的柯西准则7.1 含参量反常积分的定义 设函数定义在无界区域上，若对每一个固定的，无穷积分 (10)都收敛，则它的值是在上取值的函数，当记这个函数为时，则有 ， (11)称(10)式为定义在上的含参量的无穷限无穷积分，或简称含参量无穷积分.如同无穷积分与数项级数的关系那样，含参量无穷积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似.7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则定义 若含参量无穷积分(10)与函数对任给的正数，总存在某一实数nc，使得当mn时，对一切，都有 ，即 ，则称含参量无穷积分(10)在上一致收敛于，或简单地说含参量无穷积分(10)在上一致收敛.定理7.3 (一致收敛的柯西准则) 含参量无穷积分(10)在上一致收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有 . (12)例8 证明含参量无穷积分 (13)在上一致收敛(其中)，但在内不一致收敛.证 作变量代换，得 ， (14)其中a0.由于收敛，故对任给正数，总存在正数m，当时，就有 .取，则当时，对一切，由(14)式有 ，所以(13)在上一致收敛. 现在证明(13)在内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数，使对任何实数m(c)，总相应地存在某个及某个，使得 .由于非正常积分收敛，故对任何正数与m，总存在某个，使得 ，即 . (15)现令，由(14)及不等式(15)的左端就有 .所以(13)在内不一致收敛.关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理.定理 含参量无穷积分(10)在上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列(其中)，函数项级数 (16)在上一致收敛. 证 必要性由(10)在上一致收敛，故对任给的，必存在，使当时，对一切，总有 . (17)又由，所以对正数m，存在正整数n，只要当时，就有.由(17)对一切，就有 =.这就证明了级数(16)在上一致收敛. 充分性 用反证法.假如(10)在上不一致收敛，则存在某个正数，使得对于任何实数，存在相应的和，使得 .现取，则存在及，使得 .一般地，取，则有及，使得 . (18)由上述所得到的数列是递增数列，且.现考察级数 .由(18)式知存在正数，对任何正整数n，只要，就有某个，使得 .这与级数(16)在上一致收敛的假设矛盾.故含参量无穷积分(10)在上一致收敛.例9 若无穷积分收敛，函数在单调，则.证 不妨设函数在上单调递减，已知无穷积分收敛，我们有，.由已知条件无穷积分收敛，根据柯西收敛准则.和，有 .于是，因为单调递减，得到.即.8 柯西准则在数学分析中的作用8.1 柯西准则在实数完备性理论中的作用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架.作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则人手，可依次推出其它五个定理.由广义积分收敛的柯西准则易推出广义积分的绝对收敛判别法及比较判别法.8.2 用柯西准则判断敛散性的优越性作为判别敛散性的工具，柯西准则较其它判别法具有更多的优点.其一，条件的充分必要性决定其适用范围更广，更普遍；其二，柯西准则只利用题目本身的条件，不必借助极限结果，以下举两个例子说明之.例10 若数列收敛，则数列必收敛.证 收敛，由柯西准则，有 从而，由柯西准则数列收敛.例11 设函数列在d上一致收敛，则函数级数在d上一致收敛.证 设 因为 在d上一致收敛，由函数列一致收敛的柯西准则：所以 ，当时，有从而 .由函数级数的柯西一致收敛准则得：在d上一致收敛 。 参考文献1 刘玉链,傅沛仁.数学分析讲义(第三版)下册m.高等教育出版社, 1997.12.2 复旦大学数学系编.数学分析(第二版)下册m.高等教育