2017年公务员考试行测数学运算配套练习

- 1 - 2017 年公务员考试行测数学运算配套练习 一、 数学运算常用 数理 基础知识 介绍与应 用 1、数理特点介绍与应用。 数理知识看起来很简单，常常都是大家知晓的，但是在考试的过程中常常会忽视它们的应用价值。因此，在这个部分我们将从小学到初中的所有基础性数理知识进行一次相对全面的应用性介绍。 （ 1） 常见数值的特征应用 0 是我们最常见的数字，是一个占位符，算不得一个个位数，因此最小的个位数实则是1，而非零。零乘以任何数都为零，反过来可以这样认为零可以包含任意自然数做为因子。零不能做除数或者分母，否则无意义，同样零也不能同时做指数 和底数，即 00是没有意义的。零是最小的自然数，这一点大家务必要纠正过来，因为在我们这个年龄阶段的人所学课本上的知识时零是不作为自然数的。 1 是最小的个位数也是最小的奇数，且 1也是所有非零自然数的最小约数， 1 也是既不是合数也是质数 数的 0次方的结果。 1和 0相对， 0表示趋向无穷小。 1可表示代替整体。趋向最大。因此通常概率中取值的范围就在 0 1之间。 0 和 1 在使用过程中，通常有这样几种特点： a.“代入法 ”中采用率最高数值 代入法做一些题目的时侯，我们通常会选择一些便于口算的数值代入已 知条件验证，然后通过这些代入的特殊数值对结果进行简单口算。而在我们代入法通常所选择的数值当中0， 1， 2， 3 四个数字最常见，其中 1 是使用频率最高的数值。下面我们通过几个例题来说一说如何在代入法中使用 1. 例题 1： 已知：且 abc，求 x+y+z=（ ） 解析】参考答案 C。 令等号左右的三个表达式均等于 0，则说明分子也是 0，即 x=y=z=0 即答案就是 0。或令等号左右三个表达式均等于 1，则说明 x a b， y b c， z c a， 那么 x+y+z a b+b c+c a 0，相互抵销了。 例题 2：已知 x y 1，则 x3 3y3（ ）【 09 江苏】 A 1 B 2 C 3 D 5 【解析】参考答案 A。 根据已知条件 x y 1，我们可以假设 x 1， y 0 代入。这样要求计算的表达式就为1 0 0 1. 在选择代入数值的时侯，往往 0 便于简化运算过程，此题过程中的后 2 项就基本因为 0 的关系忽略不计了。 例题 3： 已知 a b c 2( a + 1b + 2c )，则 a2 b2 c2（ ）【 09 江苏】 A 14 B 15 C 3 D 1 【 解析 】 参考答案 A。 此题根据所表现的特点，我们应该选择特值代入法，如何选择特殊值呢，看要能完整开放且又满足表达式的。 可令三个根号部分等于 0 或 1，在这里我们判断用 1 准确，即 当 a 1，b 2， c 3 时，其 三个根号部分均等于 1，因此是满足前面的表达式的。故而 答案为： - 2 - 12+22+32=14。 1”的概念应用 单位“ 1”的概念是相对于分数或百分数而言，也就是说单位 1的应用价值在于取代设立未知数而转化为用一个 临时特殊值“ 1”代替。 比如说：甲占乙的 1/4（或 25%），我们就可以把乙看作是单位“ 1” 是相对于 1/4 而言。 例题 4：妹妹和弟弟 3 人做一堆花，姐姐做 5 朵，妹妹做 4 朵，姐姐做的占这堆花的5/11弟弟做了多少朵？ 分析：此题我们我们就是参照 5/11 做为研究，那么我们就可以假设这堆花数量为单位“ 1”。姐姐即为 5/11，那么弟弟和妹妹就占 1 5/11=6/11, 姐姐做了 5 朵，对应 5/11 即一个 1/11 是 1 朵花。因此妹妹和弟弟合计是 6 朵。 弟弟即为 2 朵。 例题 5：某人沿电车线路行走 ,每 12 分钟有一辆 电车从后面追上 ,每 4 分钟有一辆电车迎面而来 起点站的发车间隔 时间 相同 ,那么这个 时间 间隔是多少 ？ 分析：这个题目我们看不到分数或者百分数，但是我们可以根据题目的提问特点来假设，如此题要求的是发车时间间隔是多少。则必须知道发车间隔距离，发车速度。这里我们可以任意假设单位“ 1” 假设发车间隔距离为单位“ 1”则根据追击需要 12 分钟可知速度差距离差时间： v 人 1 12，同理相遇需要 4 分钟可知速度和距离和时间： v 车 +v 人 1 4。这2 个表达式相加就可以抵销 v 人 的速度得到我们想要的汽车的速度了。即 2v 车 1 12+1 4, v 车 1 6, 距离假设的是 1，则发车间隔时间为 1 (1 6)=6 分钟了。 假设发车速度为单位“ 1”。 则根据 可建立 2 个表达式分别为 4(1+v 人 ) 12(1 ) 得到 V 人 因此发车间隔距离就是 4 6 或 12（ 1 6. 因此发车间隔时间 6 1=6. 当然单位“ 1”的应用还在资料分析当中使用到。 例题 6：全国 2007 年认定登记的技术合同共计 220868 项，同比增长 7；总成交金额 2226 亿元 ，同比增长 平均每项技术合同成交金额突破百万元大关，达到 2007 年平均每项技术合同成交金额同比增长率为多少（ ） 【子任分析】参考答案 B。 2007 年的每项技术合同成交金额同比增长率 2007 年每项技术合同成交金额 2006年每项技术合同成交金额 题目已经给出了 2007 年的数据，但是没有 2006 年的。如果我们根据现有的数据来计算，那显然是增加计算量的。就算估算水 平再高，方法不合理，不能解决做题速度的根本问题。 平均每项成交金额当年总额当年合同量； 我们完全可以利用 2006 年的情况做为参照单位” 1“。 也就是说 2006 年的总额和合同量均可以假设为 1. 这样 2006 年平均成交金额即为 1 1=1. 那么 2007 年平均成交金额 1（ 1+ 1 (1+7%)，当然这里有一个小的估算技巧，在数学篇章中就不赘述了。答案接近 7% 2 是最小的质数，在质数序列中 2是一个特例，只有 2是唯一的偶数质数， 2 的次方也是考察应用的侧重点。 3也是 质数， 3在公考过程中通常考察整除特性。即能被 3整除的数必须具备各个数字之和能被 3整除，如： 119能否被 3整除，就要看 1+1+9 11， 11不能被3整除那么 119就不能，同时 11 除以 3余数是 2，则 119除以 3余数也是 2. - 3 - 2 和 3之间的关系也是在次方上转换比较明显的问题 当一个自然数拆分成若干个 2的乘积和拆分成若干个 3 的乘积。这就是一个分水岭。如： 12=2+2+2+2+2+2，则 26=64，12=3+3+3+3， 34=81， 12=4+4+4 ， 43=64 我们发现 3是拆分之后乘积“最大配额”。 下面通 过几个例子来说明公考中 2和 3的应用 例题 7：有 7 个不同的质数，它们的和是 58，其中最小的质数是多少？ 解析】参考答案 D。 7 个质数的和为 58，通常质数都是奇数，偶数个奇数相加结果为偶数，奇数个奇数相加为奇数。则个题目是 7 个质数，按照常理答案是奇数才对。现在是偶数 58，说明必含 2这个特殊的质数。故而最小的质数即为 2. 例题 8： 1 到 300 这 300 个自然数编号的多米诺骨牌排成一排，从编号 1 开始按照 这样的规则：拿掉每排奇数位置上的多米诺骨牌，留下偶数位置上的。进行一次操作后，在从头开始再次按照这样的规则拿，直到剩下最后一张，请问最后一张的编号是多少？ 解析 】 参考 答案为 D。 每轮都拿掉奇数位置上的骨牌，骨牌数目基本上是呈现倍数缩小。那什么样的数字才能确保它的 1 2 仍然是偶数，从而确保不在下一轮种被拿走呢？自然是 2n。因此每一轮操作 2n 位置上的数都会变为 2(n 1) 。 当位置最终变 为 1 时被拿走。也就是说，最大的2n 将 “坚持到最后 ”。故得出只看 300 内最大的 2n 的归纳总结。 例题 9： N 是 1， 2， 3， .1996， 1997，的最小公倍数，请回答 N 等于多少个 2与一个奇数的积？ 解析 】 参考 答案为 C。 题干中给出了明确的提示，这个 N 与 2 的关系， N 有多少个 2 主要取决于这 1997 个自然数当中含 2 因子最多的自然数 如此题当然是 1024 210, 为什么这么说呢 我们在计算最小公 倍数的时侯，往往是提取相同因子部分只取 1 个 如： 4 和 6 的最小公倍数是 12， 4 2 2， 6 2 3， 他们有公共因子 2. 因此我们计算最小公倍数的时侯是通过乘积再除以这个公共因子。也就是说 这就回避掉了含 2 因子数量较少的那一个数字中的 2，直接取决于含 2 因子数量最多的那个自然数。 例题 10： 1133825593 的值为： 【 10 江西】 【 解析 】 参考答案 B。 此题我们发现选项绝大部分数字相同，唯有中间的一个数字不同。这种情况一般都是估算或者判断数字的整除特征。所以数字，如 25593 这个数能被 3 整除，那么就证明我们的结果也是能被 3 整除；前面 2901 能被 3 整除，后面 3434 除以 3 余数是 2（ 4+4 8， 8 除以 3 余数是 2），因此看不同的那个数字： 3， 7， 6， 5，要能整除，就必须有一个数除以 3的余数和 2 构成 3 的倍数 即 7. 例题 11： 某俱乐部中女会员的人数比男会员的一半少 61 人，男会员的人数比女会员的3 倍多 2 人，问该俱乐部共有会员多少人（ ） 【 10 浙江】 A 475 人 B 478 人 C 480 人 D 482 人 【解析 】 参考答案 D。 此题我们来看 假设男生的一半是 么实则总人数相当于 a 61+2a 3a 61人。61 3n+1， 即正确选项除以 3余数是 2，我们可以通过各项数值之和除以 3来判断。 例题 12： 把 23拆成若干个自然数的和，将这些自然数相乘所得的乘积最大是多少 ？ - 4 - 解析 】 参考答案 B。 此题在上述总结介绍中提及到，拆分是以为最小单位的。因此 3=7 余数是，故而此题答案是 7 2 估算技巧在于的周期是 则跟对应尾数是 即答案尾数是。 5 是质数，也代表着一半的意思，这是因为我们通常把整十整百看作是一个整体，而 10倍数的自然数的特征就是必含 5 这个因子。含有 5 的因子个数与偶数因子搭配就决定了 0的数量，比如 5 4 20，在 20 里面只含有一个 5，所以他只能有个 0； 25 4 100， 5含有个 5，而 4含有 2个 2 这刚好构成个 0。另外这个数 倍数的特点也很鲜明，5 的整数倍尾数不是 0 就是 5。 5的任何非零的整数次方其尾数均为 5 . 另外在我们熟悉的斐波那契数列中， 5 的倍数也充分体现出规律性。 如 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89，144， 233， 377， 610. 这个数列 5的倍数出现的第一个位置是在第四个位置上，则以后出现的是 5的倍数的项均为周期 5，即 4+5n。 关于 5的考察应用与这样几个例子 : 例题 13： 在乘积 1234.698699700 中 ,末尾只有 ( )个零。 解析】参考答案 B。 此题问有多少个 0，实则就是看有多少个 5，有一个 5 就能跟偶数乘积搭配成一个 0 出来。因此我们来看看 700 个数字中有多少个 5？： 700 5=140. 但是我们要注意 5 的个数不只是 140 这么简单，事实上我们需要注意的是有些 5 的倍数是不止 1 个 5 的，如 5n 次方数。 25， 125， 625. 因此这 140 只对 5n 的数算了 1 次 5，所以我们还可以通过两种方法继续找出其他的 5. 700 25=28, 这 28 个 25 应该有 56 个 40 中已经被算了 28 个 这里就只考虑 28. 700 125=5 同理前面算了 2 次，这第三个 5 就含在这里。 700 625=1 因此最终答案就是 140+28+5+1 174. 或者我们在原来 140 的基础上连续除以 5. 140 5=28, 28 5=5, 5 5=1 再求和也可以。道理很简单对于商来说 5 为周期即相当于 5 的次方数 +1. 例题 14： 有一数列： 3， 7， 10， 17， 27， 44， .每个数都等于它前面两个数的和 ,那么第 1998 个数除以 5 的余数是多少 ? A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【 解析 】 参考 答案 D。 题干是描述的一个斐波那契数列。如果你对斐波那契数列的一些性质了解的话。此题就很容易得出答案了。从数列中可以看出，第 3 项 5 是第一个能被 5 整除的项。根据斐波那契数列的基本规律。其每 5 项就会出现一个能被 5 整除的项。（ 1998 3）刚好能被 5 整除，故因此直接得到 1998 项也是能被 5 整除的数。则答案为 0. 例题 15：工人甲一分钟可生产螺丝 3 个或螺丝帽 9 个：工人乙一分钟可生产螺丝 2 个或螺丝帽 7 个，现在两人各花 20 分钟，共生产螺丝和螺丝帽 134 个，问生产的螺丝 一共 多少 个（ ） 【 10 浙江改编题】 A 34 个 B 56 个 C 64 个 D 84 个 【解析】参考答案 D。 这个题目看不出任何快速解决方法的前提下，不需要多想，走一步看一步。假设工人甲 和工人乙全部都是生产的螺丝，则共计生产（ 3+2） 20 100 个 比 134 差了 34 个。这是因为 工人甲有 a 分钟是做螺丝帽而不是螺丝。这里每分钟数量相差 9 3 6 个，同理 - 5 - 工人乙有 b 分钟是做螺丝帽而不是螺丝，则每分钟相差 7 2 5 个。 所以可以得到这样一个等式关系 6a+5b 34. 这里就抓住了 5 的特点 6a 是偶数，则 5b 也是偶数则 5b 尾数就是 0，即 6a 尾数就是 4， 简单枚举一下： 4， 14， 24， 34 当中就 24 满足。故而 a 4，b 2. 则螺丝减少了 4 3+2 2 16 个 即螺丝是 84 个 9 是最大的个位数，很多数理性质跟 9都有一些关联性。下面我们就来说说 9相关联的特点。 能被 9整除的数继承了能被 3整除的特征，判断方法就是看被除数各个位置 上数值之和能否被 9整除，如： 1823 数值之和 1+8+2+3 14 14 不能被 9整除 则这个数就不能被 9整除，同理 1823 9=202. 我们也可以用 14 9 判断余数。 任意一个两位数 其和它自己的颠倒数差值均为 9 的倍数。 如： 63 36（ 6 3） 9 27. 81 18（ 8 1） 9 63。 9 做为个位数最大的因子 在乘积上往往会产生进位。如果不要求进位只有一种可能与 9相差的数必须只能是 1 或 0. 如要一个两位数 9 之后还是两位数，则这个两位数只能是10和 11. 例题 16：一个四位数 “”分别能被 16、 11 和 9 除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为 1676，问四位数 “”中四个数字的和是多少（ ） 【 10 浙江改编题】 A 18 B 16 C 15 D 12 【解析】参考答案 A。 此四位数既然能被 9 整除，那么就说明这个四位数的各个位置上的数值之和也是 9 的倍数，因此答案就应该选择 9 的倍数即 18。 例题 17：一个正常普通的伦理家庭中，小明的年龄是爸爸年龄和爷爷年龄的差距除以 4，已知去年爷爷的年 龄颠倒过来刚好就是今年爸爸的年龄，则请问小明今年几岁？ 【解析】参考答案 C。 此题我们假设小明今年是 a 岁。 那么去年爷爷和今年爸爸的年龄差值是 9n。 则 9n+1 4a，那么我们可以利用要的 9n+1 是 4 的倍数 则就要求 9n 除以 4 余数是 3. 即 9 4 余数是 1，则 n 的取值为 3， 7， 当 n 3 时 a 7，当 n 7 时 a 16 故而可知答案是 C。这里需要说明的是 当 n 7 时 则说明爸爸和爷爷去年年龄相差 7 9 63 岁。 也就是说爷爷 64 岁才有了爸爸这个儿子。有违正常家庭条件的描述。 例题 18：一个三位数的被除数除以 9，商仍然还是一个三位数，且商与余数的和为 118，则被除数和余数之和是多少？ 解析】参考答案为 C。 商和余数之和 118，我们知道余数肯定是小于除数 9 的。即最大也只能是 8，即商最小也是 118 8 110. 因为 1000 9=112，所以商是小于 112 的。则我们只需判断 111 是否也可以 111 9 999，如果还有余数肯定不是三位数了。因此除数只能是 110，被除数就只能是 110 9+8 998. 因此答案是 998+8 1006. 除了以上几个特殊数字我们在判断整除和次方尾数方面还需要了解下列一些数字的特点。 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 这 9 个数字的次方数特点， 5 和 6 的次方尾数不变，比如 52=25， 53=125， 62=36， 63=216. - 6 - 2 的次方除了 20=1 特殊以外，其它均为偶数。且从尾数循环周期为 4，（ 2， 4， 8， 16，32， 64， 128， 256.） 3 的次 方周期是 4（ 1， 3， 9， 27， 81， 243， 729.） 4 的次方周期是 2（ 4， 16， 64， 256， 1024.） 7 的次方周期是 4（ 7， 49， 343， 2401， 16087.） 8 的次方周期是 4（ 8， 64， 512， 4096， 32768.） 9 的次方周期是 2（ 9， 81， 729， 6561.） 归纳总结：次方周期不变的是 5 和 6，周期为 2 的是 4 和 9. 其它数次方周期均为 4。 另外，观察（ 1， 9），（ 2， 8），（ 3， 7），（ 4， 6）他们的和为 10 围绕 5 的对称。那么其次方 数的结果是不是也有关联性呢？ 我们发现当 a+b 这 2个数的个位数之和为 10 的时侯，那么 am+bm 次方就会存在这样的规律：当指数 m 为奇数时，则 个数的次方数尾数之和也是 10，当指数 m 为偶数时，则 个数的次方数尾数相同。 整除判断： 能被 3 整除的数，是所有位置上数字之和能被 3 整除。 能被 4 整除的数，末尾两位数能被 4 整除，则这个数就能被 4 整除。 能被 5 整除的数，尾数是 0 或者 5 的数；能被 9 整除的数。 能被 6 整除的数，同时满足能被 2 和 3 整除的数，就能被 6 整除。 能被 7 整除的数，截掉个位数之后的数减去个位数的 2 倍能被 7 整除，则这个数就能被 7 整除。数字大可以继续按照同样的方法继续循环操作试验。如： 168 16 8 2 0 0能被 7 整除，所以 168 就能倍 7 整除； 392 39 2 2 35 35 能被 7 整除，则 392 就能被 7 整除。 能被 8 整除的数，末尾三位数能被 8 整除的数，就能被 8 整除。 能被 9 整除的数，各个位置上数字之和能被 9 整除的数，就能被 9 整除。 能被 11 整除的数，奇数位置上的数字之和与偶数位置上的数字之和差值是 11 的倍数即能倍 11 整除 。如： 19745 奇数位置数字之和 1+7+5 13，偶数位置数字之和 9+4 13，差值为 0，即说明 19745 能被 11 整除。 例题 19： 12011+32011+52011+72011+92011 的值的个位数是（ ）。【 07 浙江】 A 5 B 6 C 8 D 9 【 解析 】 参考 答案为 A。 方法一： 将题目的 5 个基数分成 3 部分，（ 1， 9），（ 3， 7）和 5， 当基数之和为 10 的时候，指数 2011 是奇数。则两数的 2011 次方之和的个位数也是 10，因此此题 答案为 1010 5 25， 即个位数为 5。 方法二： 1 和 5，的尾数不变， 3 和 7 的尾数周期是 4， 9 的尾数周期是 2. 2011 是 4的倍数 +3， 2 的倍数 +1，因此尾数相加即等同于： 1+33+5+73+91=1+7+5+3+9=25 例题 20： 用 0、 1、 2、 3、 、 9 十个数字组成 5 个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能大，问这五个两位数的和是多少 ?( ) 【 07 安徽】 A 279 B 301 C 351 D 357 【解析 】参考答案 C。 按照题目要求，第一十位数尽可能选用大的数值，个位数尽可能都用小的，个位数之和则为（ 0+1+2+3+4） 10， 这样之和为 10. 但不满足五个两位数和为奇数的条件，这时侯只需把十位数的一个奇数和个位数的一个偶数最交换即可，交换的条件是必须是对十位数影响降到最低。因此我们可以把 4 和 5 进行交换 。即十位数之和（ 4+6+7+8+9） 10 340，个位数之和 0+1+2+3+5=11 因此答案是 340+11 351。 - 7 - 例题 21： 某公司甲乙两个营业部共有 50 人，其中 32 人为男性，已知甲营 业部的男女比例为 5 3，乙营业部的男女比例为 2 1，问甲营业部有多少名女职员 ? 【 09 国家】 解析】参考答案 C。 此题就是抓住数字的特征快速解题，甲乙男性之和为 32，其中甲是 5 的倍数，乙是 2的倍数，则说明甲的男性人数也是偶数，且尾数是 0，则乙的男性人数尾数就是 2，因此可能的值就是 2 6 12， 则甲 5： 3 的每个比例点的对应值就是 20 5=4 即甲女性职员人数是 4 3 12 人。 例题 22 1： 厨师从 12 种主料中挑出 2 种，从 13 种配料中挑选出 3 种来烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有 7 种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴 ? 【 09 国家】 解析】参考答案 B。 这是一道基础的排列组合题，分三步骤：主料 C（ 12， 2）；配料 C（ 13， 3）；烹饪方法C（ 7， 1） （ 12， 2） C（ 13， 3） C（ 7， 1） 在这个表达式中隐含这 11和 7 的因子，可 以通过特殊因子的整除特性来排除，或者尾数法来解决。 例题 22 2： 任写一个六位数，把它的个位数字（不等于 0）拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，再与原数相加，下面四个数可能正确的是（ ） 解析】参考答案 C。 我们假设前面五位数是 a，个位数是 b，则这样一个六位数就是 10a+b，如果按照要求把个位数放到最左边，则构成新的六位数就是 100000b+a，这 2 个六位数之和就是（ 10a+b）+（ 100000b+a） 11a+100001b 这个时侯我们发现 11 这样一个不错的数字，判断发现100001 也是 11 的倍数，则答案只需找出 11 的倍数即可。 （ 2） 一般数理关系 一般性数理关系主要是介绍公务员考试题目中一些规律性的东西。 被除数，除数，商和余数的关系 被除数 除数商 .四个量之间的关系可以用过这个表达式体现出来，在公务员考察的题目中，重点考察随着除数或者被除数的变化我们的商和余数会出现什么样的变化。如： ab c. a 代表被除数， b 代表除数 ， c 代表商， d 代表余数。 变化一：被除数 a 如果 N 倍之后的其它量的变化情况 表达式 a bc+d， 即 d 即可以看出如果被除数 N 倍，则余数就变为 是原来的 N 倍，这个时侯我们要注意余数是不能大于除数 b 的。实际余数就要看 Nd 如 1008 12.如果 100 变为 5 倍即 500，则 5008 12 5.5, 因为 4 5 大于除数 8，则实际余数是 4 5 8=2.还是余 倍的基础上补上余数部分多出来的商 即 2， 因为是 12 5+2 62. 除数扩大 N 倍之后的其它量的变化情况 原表达式可以转化为 （ a d） b c，如果除数 b 变为 5 倍，则 c 就要变为 1 5，这个时侯就要看我们的商 c 除以 5 取整。如： 1008 12.如除数 8 变成 40，则商 12 就要变为 1 5 事实上 12 不能被 5 整除 12 5=实则就只能取整为 2 。即 10040=2.而余数则变为 5 倍。 变化二：多组除法关系表达式中被除数和余数固定的情况。 如： 1307=18.1309=14.和除数之间是反比关系 除数之比 7： 9商的 反比14： 18。通式来看：（ a d） 定，则差值固定，即 积固定，因此 反比。 - 8 - 变化三：多组除法关系表达式中，除数和余数固定的情况。 如： 1307 18.1517 21. 此时 被除数之差一定含除数因子。通式来看： d， d 两式相减得 b（ 另外，商之差也是被除数之差的因子。 下面我们通过几个例题来具体学习关于除法关系中的特殊应用。 例题 23： 已知某数 N 除以 45 余 12，则 N 的 12 倍除以 45 余数是多少？ A 26 B 19 C 13 D 9 【 解析 】参考答案 D。 我们知道当被除数 N 倍后，余数也被 N 倍 即 12 12 144，则此时的实际余数是 144 45 3.例题 24：在一个除法算式里，被除数、除数 、 商 和余数 之和是 319，已知商是 21，余数是 6，问被除数是 ( )? A B. 258 C. 279 D. 290 【 解析 】参考答案 C。 根据被除数除数商 +余数 假设除数是 a，则 （ 21a+6） +a+21+6 319，则可以解得 a 13，因此被除数为 13 21+6 尾数为 9，即选 C。 例题 25：一个数同时除 82， 117， 138，其余数相同，则这个数被 100 整除余数是多少？ 解析】参考答案 A。 要的求出这个数被 100 整除余数是多少，我们就必须知道这个除数是多少，而除数可以从被除数的差值中找出关联。因为我们知道被除数差值含除数因子，即 117 82 35， 138 82 56， 138 117 21， 35 5 7 和 56 7 8 和 21 3 7 因此可知除数是 7，即 100 除以 7 的余数为 2. 质数的本质应用 质数的本质要通过定义来看，一个自然数只能被 1 和自身整除，也就是说这个数只含有1 和自身这 2 个约数。因此在质数问题上，排除 1 和自身，我们可以抓住它的相对不可分解性来发挥。当然最小的质数是 2，我们也在上面谈到了应用。这里就来谈谈质数的相对不可分解性的应用。 例题 26：四位数的四个位置上的数值乘积为质数，则满足这样条件的四位数有多少个？ 解析】参考 答案 D。 四个位置数值乘积为质数，因为质数本身具有相对不可分解性，如果要拆分成四个因子，则这个质数只能 1自身 其它 2 个因子就只能都是 1 了， 因此四个数值其中含 3 个 1，还有一个质数。即 三个 1 和（ 2， 3， 5， 7）的搭配 可以构成 16 种组合。如： 3 个 1 和 2组合成四位数，主要取决于 2 的位置 2 有四个位置可以选择，即四种，同理四个质数即 4 4 16 种。 例题 27：某学校组织一批学生乘坐汽车出去参观，要求每辆车上乘坐的学生人数相同，如果每辆车乘 20 人，结果多 3 人；如果少派一辆车，则所有学生正好能平均分乘 到其它各车上，已知每辆汽车最多能乘坐 25 人，则该批学生人数是（ ） 【 10 江苏】 A 583 B 256 C 324 D 483 【解析】参考答案 D。 假设有 n 辆汽车，少 1 辆汽车的人数 20 人和剩下的 3 人合计 23 人刚好分配给 n 1 辆，因为 23 是质数具有相对不可分解性，那么要分只能每辆汽车分 1 人或者 23 人，因为总人 - 9 - 数不能超过 25 人， 20+23 超出 25 人，故而只能分配 1 人，即剩下的车辆 n 1 23 辆， 即答案是 23 21 或者是 24 20+3 483 人。 例题 28： 张大伯卖白菜，开始定价是每千克 5 角钱，一点都卖不出去，后来每千克降低了几分钱，全部白菜一共 卖了 ，则每千克降低了几分钱 【 07 北京】 A 3 B 4 C 6 D 8 【解析】参考答案 D。 此题新的单价和数量都不清楚，唯一知晓的是总收入是 ，行分解，从中了解关于数量和新的单价的信息。 2 3 7 53 这里虽然不是 根据质数来求解，但是我们运用的是同样的思想，利用分解下来的因子具有特定范围而找出答案，单价是 4 角 5 角之间，因此总因式组合上来看只有 2 3 7 42 因此可以确定降价后的价格是 ，因此每千克降低了 8 分钱。 连续性质自然数相加、相乘的规律 从 1 开始的连续奇数之和为项数的平方数。如：从 1 到 2有的奇数之和为 n2，1+3+5+7 42 从 2 开始的连续偶数之和为项数和（项数 +1）的乘积。如：从 2 开始到 2n 所有偶数之和为 n（ n+1）， 2+4+6+8+10 5 6 三个连续自然数乘积为中间项的三次方 减去中间项。如 2 3 4=334； 7 8 9 8304. 四个连续自然数的乘积为（首尾 2 个自然数乘积 +1）的平方数 1，或（中间 2 个数的乘积 1）的平方数 1。如 5 6 7 8（ 5 8+1） 2 1（ 6 7 1） 2 1. 例题 29： 十 个连续偶数的和是以 1 开始的 十 个连续奇数和的 ，其中最大的偶数是多少 ? A 34 B 38 C 40 D 42 【解析】参考答案 A。 从 1 开始的 10 个连续奇 数和为 102=100,则连续偶数之和为 250，则可知中间项为 25，即最大项为 25+1+4 2 34. 当然此题也可以根据连续奇数和连续偶数项数相同和为 中间项也为 ，因为连续奇数的中间项是 10，则连续偶数的中间项是 25 也可以推导。 例题 30：有四个连续自然数的乘积为 3024，则这四个连续自然数的和为多少？ 解析】参考答案 C。 方法一：连续自然数是其平方数 1，则 3024+1 是一个平方数 3025，尾数是 5 则应该是 55，即连续自然数的乘积等于 55+1 56， 7 8 即这四个连续自然数为 6， 7， 8， 9。和为 30. 方法二：因为乘积 3024 不含 5 的倍数，所以这四个连续自然数不含 5 或 5 的倍数，因此其尾数只能是 1， 2， 3， 4 或 6， 7， 8， 9 因此结合选项来看就是 6， 7， 8， 9 30. 当然一般性数理关系很多，我们在这里不可能一一枚举， 这里只是介绍一些公务员考试中常见的又容易被大家忽视的简单数理知识，如需要在这一块有一个根本性的提高， 这需要大家在平时复习做题时要多多积累这些方面的经验，把这些日 常发现的小规律小经验进行总结并用小本子摘录下来。 2、 四则混合运算定律的运用。 - 10 - 运算表达式主要是介绍四则混合运算里面的交换律、结合律、分配律及其运用。 加法交换律 :两个数相加 ,交换加数的位置 ,它们的和不变 .a+b=b+a 乘法交换律 :两个数相乘 ,交换因数的位置 ,它们的积不变 .ab=ba 交换加数或因子的位置的目的是在混合运算中达到简便快速的技巧， 如： 394+7812+606 394+606+7812 1000+7812 8812。 4 17 25 4 25 17 100 17 1700. 加法结合律 :三个数相加 ,先把前面两个数相加 ,再加第三个数 ,或者先把后面两个数相加 ,再和第一个数相加 ,它们的和不变 . 乘法结合律 :三个数相乘 ,先把前面两个数相乘 ,再乘第三个数 ,或者先把后面两个数相乘 ,再和第一个数相乘 ,它们的积不变 . 结合律通常跟交换律一同使用，通过交换律调整位置，或者规避运算 优先级的运算规则将易于口算的项先结合起来运算。如： 25 125 32 25（ 4 8) 125=(25 4) (8 125)=100 1000=100000 分配律： 两个数乘上一个相同的数，他们的积相加，等于两个不同的数相加乘上相同的数 。公式形式： am+a（ m+n），逆向看 a（ m+n）分解成 am+ 例如： 3537+6537 =37(35+65) =37100 =3700 运用这些定律解题，需要我们善于抓住题目各个数据的共同特征或易于计算的组合部分。 例题 31： 200220032003 200320022002 的值为： 【 04 国考】 A 60 B 60 C 0 D 80 【 解析 】 参考答案 C。 我们发现减号两边都含有共同部分就是 2002 和 2003 这个明显的数值，如何才能将其分离使我们需要思考的切入点。 200220032003 200320022002 20022003 10001 20032002 10001 0，分离之后的答案一目了然。当然你也可以 用简约形式来代入解题，如把 2002 看作 1， 2003看作 2，那么题干可 以转化为 1 2211=0。 例题 32： )413121)(514131211()51413121)(4131211( 的值是 多少？【 08 北京】 解析 】参考答案 D。 抓住相同部分，我们可以把减号的左边部分的第二个括号里面加上 1 就和减号后面部分具有相同的表达式，再利用分配律即可快速解答。 )413121)(514131211()4131211()514131211)(4131211( 把减号之间的表达式利用交换律调配一下。先用第一个减去第三个再计算 )4131211()514131211( =51 3、 数理关系中的最大值和最小值问题 当两个数值和固定，则两个数乘积有最大值 如： a+b 12，则 最大值为 a b 6时， 大值为 36。论证过程： a=12 12-b)b=12=+126=-(b26)+36=-(2+36 - 11 - 最终的形式就是一个一元二次函数，在坐标轴上是一个开口向下的抛物线有最大值。 当两数 a/N 和 N/b 乘积固定， a/N 和 N/b 随着同一个变量 N 一个变小，一个变大时：如 a 在逐渐变小， b 在逐 渐变大，则当 a/N=N/b 时和有最小值。 在我们公务员考试题目应用中也涉及到类似的问题。下面我们就来通过几个真题看看是如何应用这种知识的。 例题 33：将进价为 90 元的商品按 100 元一个出售，能卖出 500 个，已知这种商品如果每个涨价 1 元，其销量就会减少 10 个，为了获得最大利润，售价应定为 ( ) 【 06 黑龙江】 【 解析 】参考答案 B。 利润最大化，主要取决于单个利润和数量的乘积最大 化。利润的增加 x 和数量的减少10x，则可以得到总利润表达式 (x+10) (500 10x) 10(x+10)(50 我们这个时侯就发现 x+10 和 50和是一个固定值 因此乘积最大就是 x+10 50 x 20 因此答案就是 120. 例题 34：数列（ 1/4 +9），（ 1/2 +9/2），（ 3/4 +3），（ 1+ 9/4），（ 5/4 + 9/5）， 中，数值最小的项是： 【 10 福建】 A. 第 4 项 B. 第 6 项 C. 第 9 项 D. 不存在 【 解析 】 参考 答案 B. 先把表达式整理出来，表达式为 N/4+9/N。 我们知道 N/4 是增加的， 9/N 是减少的，一开始因为 N/4 是小于 9/N 所以结果变化是逐渐减少的。当 N/4 大于 9/N 时则呈现开始变大的趋势。 因此 N/4=9/N 是一个最小值。即 N 6. 4、 比较大小 这种题型往往并不需要将全部数字都直接计算，只需找到某个判断标准进行判断即可。如何寻找判断标准，就需要应试者从题干中取寻找相互比较数据之间的相似性或者找参照数。 例 35：分数 4/9、 17/35、 101/203、 3/7、 151/301 中最大的一个是（ ） 【 05 国家】 A 4/9 B 17/35 C 101/203 D 151/301 【 解析 】 参考 答案 D。 仔细观察这道题，很快就发现各分数的分子跟分母之间具有相同的关系，分子 2 1分母。这样这几个分数可以表示为： 1/2 1/18， 1/2 1/70， 1/2 1/406， 1/2 1/14， 1/2 1/602； 减数分子都是 1，分母越大分数越小。减数越小，差值越大。 参照标准数就是 1/51/301. 例 36：满足不等式的最大数应为： 35（ ） b C a=b D无法确定 【 子任 号解析】参考答案 我们发现其实开根也可以用幂指数的方式来表达，如 =1/3)=-(152)(1/6) b=1/2)=-(63)(1/6),因为 a 的取值最大只能取到 6. 这里也可以通过几何面积图解法。 如图： - 18 - 二、 消 “元 ”思想 “元 ”是指未知数，通俗点说，在解题的过程中我们要学会设而不求，利用关系表达式的 加减乘除关系抵销某些未知数，从而简化运算形式。 如我们中学所学的解二元一次方程组的方法，即采用了消“元”思想。 求解 (1)2x+5y=13 (2)4x+7y=28 的 x 和 y 的值。 分析 ：我们可以通过 2 个表达式之间的关系，将某一个未知数通过相减的关系抵销。如此题 我们可以把未知数 x 的系数配成相同的。然后通过 2 个表达式的整体加减去相互抵销。 (1)=4x+10y=26 变化后的 (1)和 (2)相减 =3y=26则 y=. 这个时侯再去代入任意一个表达式求解出 x。 消 “元 ”思想的应用非常广泛，其核心是选