压缩映像原理及其应用 毕业论文

I 2013 届毕业生 毕业论文 题 目 : 压缩映像原理及其应用 院系名称： 专业班级： 学生姓名： 学 号： 指导教师： 教师职称： 2013 年 5 月 25 日 I 摘 要 本文详细地 论述 了 间中的压缩映像原理 即不动点定理 和推广的压缩映像原理 ， 并对压缩映像原理进行探讨，发现它在 很多方面都有着重要的作用。然后 简单介绍了压缩映像原理在 证明积分中值定理方面 的应用， 在方程解的 存在和 唯一性 方面的应用， 在求方程的近似解和数列极限的应用， 以及在微分方程组和图论中 等 方面 的应用。 关键词 完备度量 空间 压缩映像原理 不动点定理 应用 in to it an in a to of in of to of of of to of of to of of 录 1 引言 . 1 2 压缩映像原理及其推广 . 2 个定义及压缩映像原理 . 2 广的压缩映像原理 . 5 3 压缩映像定理的一些应用 . 6 缩映像原理在 证明积分第一中值定理方面的应用 . 6 缩映像原理在方程解的存在性和惟一性方面的应用 . 7 缩映像原理在数列极限以及 求方程近似解中的应用 . 10 缩映像原理在线性方程组中的应用 . 13 缩映像原理在图论方面的应用 . 16 结 论 . 17 致谢 . 18 参考文献 . 19 1 1 引言 压缩映像原理 是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论 的重要组成部分 ,它与近代数学的许多分支都有着紧密的联系。 并且它 是泛函分析中的一个最常用、最简单的存在性定理。 特别是在建立各类方程 解的存在唯一性 问题中起着重要的作用，其中包括各类线性的和 非线性的、确定的和非确定型的微分方程、积分方程以及各类算子方程 等 方面都有着十分重要的作用 。 本文通过论述 压缩映像原理在数学某些方面应用具体实例，来说明用它可以处理一些传统方法比较难解决的问题，比如隐函数存在性定理 的证明 ， 微分和 积分方程解的存 在性和唯一性定理的证明 ，通过构造压缩映像使问题得以较为容易的 解决，参考文献【 1】参考文献【 14】对 微分方程、参考文献【 4】 参考文献【 15】 对积分方程 用压缩映像原理进行了证明，而 参考文献 【 9】、参考文献 【 12】对隐函数存在性定理都 用压缩映像原理进行了证明。 参考文献【 3】给出了压缩映像原理在图论中的应用。在求方程 近似解 的时候 ，函数 往往 需要满足很多的苛刻的条件才能 运用 牛顿切线法， 而通过用压缩映像原理构造数列则 会 使问题显得很简单，参考文献【 7】、参考文献【 10】参考文献【 13】对此有详细的说明。参考文献【 4】、参考文献【 8】根据压缩映像原理给出了判断线性方程组的解的存在性的方法，并给出了求近似解的方法。 设（ X， d）是一个完备度量空间，如果 f： X X 有性质 y)( x ,f ( y ) )( f ( x ) , 并且 (x) ( y ) )( y )( x ) ) ,( 1，则序列 (Z) 当 敛到一个定点 )(00 ，这里 y)( x ,( y ) )( x ) ,( 显然，当 f 0，故必存在一个数a,b ，使得 2 1 2 10 1c 知 22( 1 ) ( 1 )( ) 1()c c c c x c 故。由 压缩映像 原 理 知收敛。 设0nn 又 从而有00()x f x计算可得0即 。 定理 2可以还用于 求方程近似解 例 3 求方程 31 的近似解。 解 令 3( ) 1f x x ， 则 : 0 ,1 0 ,1f , 但对任意12, 0,121 2 1 2, ( ) ( ) 3f x f x x x ， (0 1) 。在 1 13 x的范围内 ,f 不是压缩映射 , 因此不能直接应用 压缩映像 原 理 。然而我们可以适当改变一下迭代格式 , 使压缩映像 原 理 能够应用。为此 , 引进一个参数 ( 0) ， 将方程3( 1 ) ( 1 ) ( )x x x G x ， 适当选择参数 , 可使 ( ) 1G x q。例如 , 取13 , 则当 0,1x 时 , 2222( ) 1 3 133G x x x 。 于是我们可采用迭代格式 31 21(1 )33n n nx x x 。 注： 用 线法求方程近似解 ,必须保证在迭代区间 , ( ), ( )f x f x 都存在且各自保持一定的正负号 , 由于函数单调性和凹凸性的不同 , 初始近似解的取法分 4 种情况 , 因而是比较麻烦的。利用 压缩映像原理 , 只须在 13 闭区间上构造出压缩映射 , 问题便可迎刃而解 , 无须考虑函数单调性、凹凸性、初始似值的选取 , 并且在迭代过程中无须计算 () 比起 线法方便了许多。 如果函数 ()12,x a,b x，存在大于零小于 1的，使1 2 1 2( ) ( ) -f x f x K x x(12( ) , f x x代替 ) ，则 f 本 身 就 是 压 缩 映 射 。 ( ) = + , ( 0 |a | 1 )f x a x b 和方程：= s i n + , ( 0 1 , a )x x a 为 常 数就是这种情形的例子。 缩映 像 原理在线性方 程组中的应用 定理 7 设给定线性方程组 x Ax b其 中 ()ij n ，1( , , )b b 1( , , ) , 如果11n ， ( 1, 2, , )方程组 ( 1) 有唯一解 x , 且这解可通过迭代序列极限得到 。 证明 : 方程组可以写成 1, ( 1 , 2 , , )ni i j j b i n 在 定义1( , ) m a x x y ，1( , , )，1( , , )则易知( , )完 备的度量空间。定义映射 : R ， x b于是 1 1( , ) m a x ( )ni j i x T y a 11 1m a x m a i n i n j a 1 1m a x ( , )j a d x y ( , ), ( 1)d x y 所以 , T 是 的压缩映射 。 由 此可 知 , 存在唯一的 ， 使得 Tx x , 即 x 是方程的 唯一解 , 且可由迭代序列极限得到 。 14 下面给出一个具体的例子。 例 4 设有线性方程组 1122331 1 1 5 41 1 1= + - 16 5 221 1 1 3 （） 试证明此方程组有唯一解，并确定用迭代法取 (0,0,0)x 所得的近似解的误差估计。 证明： 设 (x)F =1231 1 1 51 1 16 5 21 1 1 3+ 4 3= ( , , )x 3R ，且定义度量 d(x,y)= 113 - |,则 （ 3R ， d）是完备的。由于 d(F(x),F(y)= 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1m a x ( - ) - ( - ) + ( - ) , ( - ) + ( - ) + ( - ) , - ( - ) + ( - ) - ( - )6 6 5 6 5 2 6 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1m a x ( - ) ( - ) ( - ) , ( - ) ( - ) ( - ) , ( - ) ( - ) ( - )6 6 5 6 5 2 6 3 3 1 1 2 2 3 313 m a x - , - , =13 ( , )15d x y。 所以 压缩映像原理知，存在唯一不动点 *x = *） 。取 (0,0,0)x ， (4,)x ， ， n+1 n=F(x )x 15 =1 1 1 51 1 16 5 21 1 1 3+ 4， ， 即得一列收敛于 *x 的近似解。由于 d( 0x , 1x )=d( 0x ,F( 0x )=4。故有误差估计d( *x ) 0x ,F( 0x )=4151310 15。 如果取度量 d(x,y)= 13 22=1 | - | ，容易验证 ， d(F(x),F(y)= 221 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 31 1 1 1 1 1( - ) - ( - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + ( - )6 6 5 6 5 2 12 21 1 2 2 3 31 1 1+ - ( - ) + ( - ) - ( - )6 3 3 122 2 2 21 1 1 1* 4 + * 2 + * 2 +6 5 3 2d(x,x)= 199300d(x,x)。 从而可知 R 到自身的压缩映像 ，故有唯一的解*3,使得 *x = *） 。类似地，取 (0,0,0)x ， (4,)x ， ， n+1 n=F(x )x ，。可有误差估计 d( *x ) 0x ,1x )= 211中 k= 199300在线性代数中，由于可逆矩阵的优良性质，我们经常要判断一个方阵 容易想到的 方法就是看 |A|是否为零， 可是 当 并不是那么容易就做到的。下面我们根据压缩 映像 原 理来给出一个很简单的判段矩阵是否可逆的方法。 利用上面的例子，对线性方程组 Ax=b,只要 =1 , ( 1 , 2 , . . . , )n i j i a i n 16 则 Ax= 事实上， Ax=b 可以改写为 1, ( 1 , 2 , , )ni i j j b i n 即为 _=A +x x 上例知 其有唯一解，从而 Ax=b 有唯一解，即 缩映像原理在图论方面的应用 例 5 : 把一张小比例尺的地图 , 放在一张同地区的大比例尺地图内 , 则 将有且仅有一个 地名重合 (只 有一个坐标相同的点相重合 ) 。 证明 :把大地图中所有的地 点加在一起 看作 是 压缩映像原理 中的 完备度量空间 X (距离按通常定义 ) ； 并且 把小 比例尺 地图 上面 所覆盖的区域看作大 比例尺地图到自身的 一个 映象 , 显然这是一个完备度量空间中的压缩映 像 问题 , 故结论成立 ,并 且可 以 从任意一个地名开始 ,用 逐次逼近 求得 重合的 点。 17 结 论 压缩映像原理是非线性泛函分析中 重要的存在性定理， 用它 可以解决很多常规 的 数学方法 没有办法来 解决的问题，尤其是 用 在 一些 证明方程 的等式方面 的结论 的 时 候 ， 如果 发现 常规 方法效果不好 甚至 非常 麻烦， 这时 便 可以考虑根据所要证明的结论， 进而 构造 出 相 对 应的映射， 并 应用压缩映 像 原理看 看 是否能证明 出所要的结论 。 本文通过对压缩映像原理的研究及探讨， 发现各类方程的求解过程常 常 可 以转化为求映射的不动点 问题 ，并可通过 压缩映像原理 求 出 不动点。 通常情况下，在 将压缩映 像 原理应用 到 具体 问题时，关键是首先要根据所讨论的问题 构造 出 一个度量空间，然后 再 验证 这个 空间是完备的，最后 进一步 验证映射是 不是这个度量空间 到自身的映射，并且是 否是 压缩的。上述三步完成后，就可以直接应用 压缩映像原理 ， 从而 得到所要的不动点。 压缩映 像 原理是现代数学大厦中一个非常典型的例子，虽然它所依据的思想及证明都非常简单，但是它的应用却 异常 地 广泛且富有成效。 本文 通过从 各种 不同 的方面简单介绍的一些 它 的应用，表明 压缩映像原理 与各学科之间的联系 非常密 切 。 18 致谢 本 论 文 能够 顺利完成， 要 非常感谢我的指导教师 ,从论文的选题 一 直到论文的最终 定稿 ， 老师 都给予我尽心尽力的指导。 胡 老师多次 向我 询问写作进程 ,并为我指点迷津 ,帮我开拓 写作 思路 。胡 老师一丝不苟的作风 ,严谨治学的态度 ,深深地影响了我 。 在这里 ,表示我最 由衷 的感谢 ! 同时，也要感谢大 学四年 里 给我们讲授各门课程，孜孜不倦地向我们传授各种知识和经验的老师们。 是 他们严谨的学风，渊博的 学 识 以及 诲人不倦的品格一直激励着我不断上进，使我大学四年的 生活过的 充实而有意义， 在这里我所学到的一切 知识 ，必将使 我 终生 受益。 在本论文的写作中，我也参 考了许多作者的 文章及成果 ， 他们的想法和见解对我的写作思路有 很大的启发，在此向这些学者们表示 衷心 的感谢 。 感谢我的家人，同学，朋友 们 对我的大力支持，他们的关爱和支持 是 我能够继续去追求自己的人生理想和目标 的动心和信心 。感谢所有关心，帮助和支持我的人。 我 将 会在今后的人生道路 上坚实地走好每一步。 19 参考文献 1 【美】 动点理论及其应用 M李秉友 ,王向东译 1991:772 张石生 M3 张运章 J5（ 6） :454 龚怀云 M 2001. 5 李延保 ,楼宇同 . 应用泛函分析基础 M南京工学院出版社 ,1986. 6 刘烦初 . 泛函分析 M. 北京 :科学出版社 ,1998. 7 江泽涵 . 不动点类理论 M . 北京 :北