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第二章 数数列列 2.2 等差数列 2.2.1 等差数列(一) 学习目标 1.理解等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式. 2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解 决一些简单的问题. 3.掌握等差中项的概念,深化认识并能运用. 1 预习导学 挑战自我,点点落实 2 课堂讲义 重点难点,个个击破 3 当堂检测 当堂训练,体验成功 知识链接 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4 年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算.这样 举行奥运会的年份数构成一个数列,这个数列有什么特 征呢?这个数列叫什么数列呢? 预习导引 1.等差数列的概念 如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的差等于_ 常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差 数列的 . 2.等差中项 如果三个数x、A、y组成等差数列,那么A叫做x与y的 , 且A 等差中项 2同一 个 公差 3.等差数列的通项公式 若等差数列的首项为a1,公差为d,则其通项an_ . 4.等差数列的单调性 等差数列an中,若公差d0,则数列an为 数列; 若公差d0,则数列an为 数列. 递减 a1(n 1)d 递增 要点一 等差数列的概念 例1 若数列an的通项公式为an10lg 2n,试说明数列an为 等差数列. 解 因为an10lg 2n10nlg 2, 所以an1an10(n1)lg 2(10nlg 2)lg 2(nN). 所以数列an为等差数列. 规律方法 判断一个数列是不是等差数列,就是判断an1 an(n1)是不是一个与n无关的常数. 跟踪演练1 数列an的通项公式an2n5,则此数列( ) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 解析 an1an2(n1)5(2n5)2, an是公差为2的等差数列. A 要点二 等差中项及其应用 例2 (1)在1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等 差数列,求此数列. 解 1,a,b,c,7成等差数列, b是1与7的等差中项.b 3. 又a是1与3的等差中项,a 1. 又c是3与7的等差中项,c 5. 该数列为1,1,3,5,7. (2)已知数列xn的首项x13,通项xn2npnq(nN, p,q为常数),且x1、x4、x5成等差数列.求:p,q的值. 解 由x13,得2pq3, 又x424p4q,x525p5q,且x1x52x4, 得325p5q25p8q,即q1, 将代入,得p1. 规律方法 在等差数列an中,由定义有an1anan an1 (n2,nN),即an ,从而由等差中项的定 义知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一 项的等差中项. 跟踪演练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项 为5,求m和n的等差中项. 解 由m和2n的等差中项为4,得m2n8. 又由2m和n的等差中项为5,得2mn10. 两式相加,得mn6.m和n的等差中项为3. 要点三 等差数列的通项公式及应用 例3 (1)若an是等差数列,a158,a6020,求a75. 解 设an的公差为d,首项为a1. (2)已知递减等差数列an的前三项和为18,前三项的乘积为66. 求数列的通项公式,并判断34是该数列的项吗? 数列an是递减等差数列, d0.故取a111,d5. an11(n1)(5)5n16. 即等差数列an的通项公式为an5n16. 令an34,即5n1634,得n10. 34是数列an的第10项. 规律方法 在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最 基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间 的联系不明显,则均可化成有关a1,d的方程(组)求解, 但是要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量. 跟踪演练3 已知an为等差数列,分别根据下列条件写出 它的通项公式: (1)a35,a713; 解 设首项为a1,公差为d,则 ana1(n1)d1(n1)22n1. (2)前三项为a,2a1,3a. 1.已知等差数列an的通项公式an32n,则它的公 差d为( ) A.2 B.3 C.2 D.3 解析 由等差数列的定义,得dan1an32(n 1)(32n)2. C 1 2 3 4 2.在ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则角B等于( ) A.30 B.60 C.90 D.120 解析 因为A、B、C成等差数列,所以B是A,C的等差 中项,则有AC2B,又因ABC180,所以3B 180,从而B60. B 2 3 41 3.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则 等于( ) 解析 b是x,2x的等差中项,b 又x是a, b的等差中项,则2xab, 1 2 3 4 C 4.在等差数列an中,已知a1 ,a2a54,an33,求n的 值. 解 a2a5(a1d)(a14d)2a15d4, 1 2 3 4 课堂小结 1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法有: (1)an1and(d为常数,nN)an是等差数列; (2)2an1anan2(nN)an是等差数列; (3)anknb(k,b为常数,nN)an是等差数列. 但若要说明一个数列不

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