高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第41讲 数列不等式的证明方法_第1页
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第41讲 数列不等式的证明方法【知识要点】证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法.一、数学归纳法一般地,证明一个与自然数有关的命题,有如下步骤:(1)证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;(2)假设当(,为自然数)时命题成立,证明当时命题也成立.综合(1)(2),对一切自然数(),命题都成立.二、放缩法证明不等式时,有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小,使其化繁为简,化难为易,达到证明的目的,这种方法称为放缩法.放缩的技巧:添加或舍去一些项,如:将分子或分母放大或缩小,如:利用基本不等式等,如:三、分析法证明不等式时,从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐步探索,最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件,这种证明的方法称为分析法,它是执果索因的方法.用分析法证明时,要注意格式,一般格式是“要证明,只需证明”.一般用分析法寻找思路,用综合法写出证明过程.【方法点评】方法一数学归纳法解题步骤一般按照数学归纳法的“两步一结论”步骤来证明.【例1】用数学归纳法证明:【点评】利用数学归纳法证明不等式时,关键在于第二步,证明这一步时,一定要利用前面的假设和已知条件.【反馈检测1】已知,(其中)(1)求及;(2)试比较与的大小,并说明理由方法二放缩法解题步骤一般放缩数列通项,或放缩求和的结果.【例2】已知函数(1)当时,求函数在上的极值;(2)证明:当时,;(3)证明: .(2)令 则 上为增函数. (3)由(2)知 令得, 【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式,是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不等式,有时需要放缩通项,有时是需要放缩求和的结果,本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当,所以放的度很重要,有时需要把每一项都放缩,有时需要把前面两项不放缩,后面的都放缩,有时需要把后面的项不放缩,所以要灵活调整,以达到证明的目的. 【反馈检测2】已知数列满足(1)求及通项公式;(2)求证:【反馈检测3】将正整数按如图的规律排列,把第一行数1,2,5,10,17, 记为数列,第一列数1,4,9,16,25, 记为数列(1)写出数列,的通项公式;(2)若数列,的前n项和分别为,用数学归纳法证明:;(3)当时,证明:【反馈检测4】已知函数(1)当时,比较与1的大小;(2)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;(3)求证:对于一切正整数,都有【反馈检测5】已知函数.(1)讨论的单调性与极值点;(2)若,证明:当时,的图象恒在的图象上方;(3)证明:.方法三分析法解题步骤从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐步探索,最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件.【例3】已知函数是奇函数,且图像在点 处的切线斜率为3(为自然对数的底数)(1)求实数、的值;(2)若,且对任意恒成立,求的最大值;(3)当时,证明: (2)当时,设,则 设,则,在上是增函数因为,所以,使 时,即在上为减函数;同理在上为增函数从而的最小值为所以,的最大值为 【点评】本题的第3问,由于结论比较复杂,一下子看不出证明的方向,所以要采用分析法来证明.【反馈检测6】已知函数.(1)当时,试确定函数在其定义域内的单调性;(2)求函数在上的最小值;(3)试证明:.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第41讲:数列不等式的证明方法参考答案【反馈检测1答案】(1),;(2)当或时,,当时,【反馈检测1详细解析】(1)取,则;取,则,时,即时结论也成立,当时,成立. 综上得,当或时,;当时,【反馈检测2答案】(1), ;(2)见解析.【反馈检测3答案】(1),;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【反馈检测3详细解析】(1)由,得:, 当时,又,时等式成立; 假设时等式成立,即,则时, ,时等式也成立 根据,都成立 【反馈检测4答案】(1)或;(2)见解析.【反馈检测4解析】(1)当时,其定义域为因为,所以在上是增函数故当时,;当时,;当时,(2)当时,其定义域为,令得,因为当或时,;当时,所以函数在上递增,在上递减,在上递增且的极大值为,极小值为又当时,;当时,因为函数仅有一个零点,所以函数的图象与直线仅有一个交点.所以或(3)方法二:用数学归纳法证明:当时,不等式左边,右边因为,所以,即时,不等式成立假设当时,不等式成立,即那么,当时,由(1)的结论知,当时,即所以即即当时,不等式也成立综合知,对于一切正整数,都有【反馈检测5答案】(1)在和上单调递增,在上单调递减.为极大值点,为极小值点;(2)见解析;(3)见解析.(2)当时,令,当时,时,在上递减,在上递增,时,恒成立.即时,恒成立,当时,的图象恒在的图象上方.(3)由(2)知,即,令,则,不等式成立.【反馈检测6答案】(1)的单调递减区间为,单调递增区间为;(2);(3)见解析. 【反馈检测6详细解析】(1)函数的定义域为,当时,则,解不等式,得;解不等式,得,故函数的单调递减区间为,单调递增区间为;当,即当时,当,当时,此时函数在处取得极小值,亦即最小值,即,综上所述,;由(1)知,当时,函数在区间上单调递增,即函数在区

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