高考数学 数学思想的应用情形归纳 第17讲 分类讨论思想情形之11-151

第17讲：分类讨论思想情形之11-15【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一. 分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果.四、本讲讲了分类讨论思想情形之11-15, 情形11：不等式中的正负不确定要分和讨论；情形12：不等式中两根大小不确定要分类讨论；情形13：不等式中判别式正负不确定要分讨论；情形14：分段函数求值不确定在哪一段要分类讨论；情形15：一次函数的斜率正负不确定要分讨论.【方法讲评】分类讨论情形11不等式中的正负不确定要分和讨论.【例1】已知关于的不等式的解集为或.（1）求的值； （2）当时，解关于的不等式.【解析】（1）由题意知，是方程的两个实根，解得，.当时，不等式的解集为.【点评】（1）中的系数的正负情况不清楚，所以要分、三种情况讨论.（2）解二次型的不等式一般首先要研究二次项的系数，再研究对称轴和判别式，再研究两根的大小，再研究根的大小与区间的关系.【反馈检测1】解关于的不等式分类讨论情形12不等式中两根大小不确定要分类讨论. 【例2】已知关于的不等式（1）若此不等式的解集为，求实数的值；（2）若，解关于的不等式【解析】（1）由题意可知，和为方程的两根， 于是， （2）当时，由，得； 当时，不等式可化为，解得或； 当时，不等式可化为， 【点评】（1） 时，不等式可化为 ，此时两根为大小不确定，所以要分三种情况讨论. （2）时，不等式可化为，两个根分别为，两个根的大小确定，所以不需要分类讨论，所以并不是看到字母就要讨论，是某些数学元素“不确定”才要讨论.（3）解二次型的不等式一般首先要研究二次项的系数，再研究对称轴和判别式，再研究两根的大小，再研究根的大小与区间的关系. 这是一般规律.【反馈检测2】解关于的不等式：.分类讨论情形13不等式中判别式正负不确定要分讨论.【例3】解关于的不等式为常数）原不等式的解集为【点评】（1）当时，一元二次方程的判别式正负不能确定，所以要分三种情况讨论. （2）当时，方程的两根大小不确定，所以要分类讨论，所以本题有两级分类.第一级就判别式分类讨论，第二级就两根大小分类讨论. (3)对二次函数，一般先讨论的正负，再讨论对称轴和判别式，再讨论根的大小，再讨论根和区间的位置关系.【反馈检测3】解关于的不等式:，分类讨论情形14分段函数求值不确定在哪一段要分类讨论. 【例4】已知函数，若，则（ ）A. B. C. D. 【点评】(1)在计算时，由于不知道在分段函数的哪一段，所以不能直接代入函数，所以要分类讨论.（2）在时计算出，此时要注意和求交集，否则会多解. 注意数学逻辑“小分类求交，大综合求并”. 【反馈检测4】设函数，则不等式的解集为_分类讨论情形15一次函数的斜率正负不确定要分讨论.【例5】已知函数， ， ，其中是自然常数， .（1）当时，求的极值，并证明恒成立；（2）是否存在实数，使的最小值为3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：， ，当时， ，此时单调递减；当时， ，此时单调递增.的极小值为，即在上的最小值为1，令， ，当时， ， 在上单调递增，. 恒成立.（2）假设存在实数，使（）有最小值3，.当时， 在上单调递减， ， （舍去），时，不存在使的最小值为3.综上，存在实数，使得当时， 有最小值3.【点评】（1）中，分母是不是一次函数要分类讨论，时不是一次函数，时是一次函数.（2）时是一次函数，但是斜率的正负不确定要分类讨论.(3)时，函数的零点与定义域右端点大小无法确定，所以要分类讨论.所以本题要三级分类讨论.第一级分类：是不是一次函数，第二级分类：一次函数的斜率的正负，第三级分类：函数的零点与定义域右端点大小无法确定. 【反馈检测5】函数（）若曲线过点P（1，1），求曲线在点P处的切线方程；（）求函数在区间1，e上的最大值；（）若x1，e，求证：分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳 第03讲：分类讨论思想情形之11-15参考答案【反馈检测1答案】当时，；当时，或；当时，或；当时，【反馈检测2答案】当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.【反馈检测2详细解析】原不等式整理得.当时，原不等式为，；当时，原不等式为，当时，原不等式可化为，当时，原不等式可化为，当时，原不等式为，原不等式的集为或，若，则，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.综上，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.【反馈检测3答案】时，原不等式的解为，时，原不等式的解为，时，原不等式的解为，时，原不等式的解为.【反馈检测3详细解析】原不等式可化为： 当时，原不等式即为， .当时，原不等式变形为1）时，或 .2）时，若，则，.若，则，.若，则， 综上所述：时，原不等式的解为；时，原不等式的解为时，原不等式的解为；时，原不等式的解为 .【反馈检测4答案】【反馈检测4详细解析】由题意知， 当时，不等式为：当时， ， ，所以函数在上单调递增，