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文档简介

全方位课外辅导体系 Comprehensive tutoring Operation system 中考数学图形变换讲座 王友新 中考体验1、(2007年广东中考)22如图,正方形ABCD的边长为3a,两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动,与BCF相应的EGH在运动过程中始终保持EGHBCF,对应边EGBC,B、E、C、G在一直线上。(1)若BEa,求DH的长;(2)当E点在BC边上的什么位置时,DHE的面积取得最小值?并求该三角形面积的最小值。D(第22题图)BCAEFGH3a3a 2、(2008年广东中考)22.(本题满分9分)将两块大小一样含30角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD(1)填空:如图9,AC= ,BD= ;四边形ABCD是 梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).(3)如图10,若以AB所在直线为轴,过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系,保持ABD不动,将ABC向轴的正方向平移到FGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,FBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.EDCHFGBAPyx图1010DCBAE图93、(2009年广东中考)20(本题满分9分)(1)如图1,圆内接中,、为的半径,于点,于点,求证:阴影部分四边形的面积是的面积的第20题图CEDBOFGA图1DBOCEA图2(2)如图2,若保持角度不变,求证:当绕着点旋转时,由两条半径和的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是的面积的4、(2010年广东中考)20已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF,如图(1)放置,点B、D重合,点F在BC上,AB与EF交于点G.CEFB90,EABC30,ABDE4(1)求证:是等腰三角形;(2)若纸片DEF不动,问绕点F逆时针旋转最小_度时,四边形ACDE成为以ED为底的梯形(如图(2)求此梯形的高5、(2010年广东中考)21如图(1),ABC与EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=9,BAC=DEF=90,固定ABC,将DEF绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止现不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G,H点,如图(2)题21图(1)BHFA(D)GCEC(E)BFA(D)题21图(2)(1)问:始终与AGC相似的三角形有 及 ;(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由)(3)问:当x为何值时,AGH是等腰三角形.知识回顾1. 一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,它是由移动的方向和距离所决定2. 平移的特征是:经过平移后的图形与原图形的对应线段相等,对应角相等,图形的大小 与形状都没有发生变化,即平移前后的两个图形全等;且对应点所连的线段平行3. 如果一个图形沿一条直线对折,对折后的两部分能互相重合,那么这个图形就是轴对称图形,这条直线就是它的对称轴 .4. 如果一个图形沿一条直线折叠,如果它能与另一个图形 重合 ,那么这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴,折叠后重合的对应点就是对应点 .5. 如果两个图形关于轴对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 6. 图形旋转的定义:把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角 7、旋转图形性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前、后的图形全等8、把一个图形绕着某一个点旋转180,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点 9、中心对称图形的性质:1关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分 2关于中心对称的两个图形是全等图形10、关于原点对称的点的坐标: 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点O的对称点P(-x,-y) 典例精析 一、平移问题例1 、两个直角边为6的全等的等腰直角三角形AOB和CED按图6所示的位置放置,与重合,与重合(1)求图6中,三点的坐标(2)固定不动,沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动,当点运动到与点重合时停止,设运动x秒后和重叠部分面积为y,求y与x之间的函数关系式(3)当以(2)中的速度和方向运动,运动时间秒时运动到如图7所示的位置,求经过三点的抛物线的解析式例2、如图15,矩形ABCD中,将矩形ABCD沿对角线AC平移,平移后的矩形为EFGH(A、E、C、G始终在同一条直线上),当点E与C重合时停止移动平移中EF与BC交于点N,GH与BC的延长线交于点M,EH与DC交于点P,FG与DC的延长线交于点Q设S表示矩形PCMH的面积,表示矩形NFQC的面积(1) 与相等吗?请说明理由(2)设,写出S和x之间的函数关系式,并求出x取何值时S有最大值,最大值是多少?(3)如图16,连结BE,当AE为何值时,是等腰三角形 二、轴对称问题例1. 把一个矩形纸片如图折叠,使顶点B和D重合,折痕为EF。 问题:(1)找出图中全等的三角形,并证明。(2)重合部分是什么图形?证明你的结论。(3)连结BE,判断四边形BEDF是什么特殊四边形,BD与EF有什么关系?并证明。 说明:折叠问题通常是轴对称变换,其中折痕是对称轴,解决这类问题的关键是搞清折叠前后哪些量(边、角)变了,哪些量(边、角)不变,折叠后又有哪些条件可利用。通过“轴对称变换”将条件集中,从而打开解题思路,折叠问题既可以训练学生的空间想象力,又可以培养学生分析问题能力。 变式提高1、如图,矩形纸片ABCD中,AB3 cm,BC4 cm现将A,C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,试求AF的长和重叠部分AEF的面积2. 如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B处,点A落在点A处,(1)求证:BE=BF;(2)设AE=a,AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明. 参考答案:由题意得,在矩形ABCD中,(2)答:三者关系不唯一,有两种可能情况:()三者存在的关系是证:连结BE,则 由(1)知,在中,()三者存在的关系是证:连结BE,则由(1)知,在中,例2、如图,已知正方形纸片ABCD,M、N分别是AD、BC的中点,把BC边向上翻折,使点C恰好落在MN上的P处,BQ为折痕,求PBQ的度数。 变式提高 1有一个数学活动,其具体操作过程是: 第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).((图1) (图2) 请解答以下问题:(1)如图2,若延长MN交线段BC于P,BMP是什么三角形?请证明你的结论(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP ? 例3、在一平直河岸同侧有两个村庄,到的距离分别是3km和2km,现计划在河岸上建一抽水站,用输水管向两个村庄供水方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图8-1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为,且(其中于点);图8-2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为,且(其中点与点关于对称,与交于点)ABPllABPC图8-1图8-2lABPC图8-3K观察计算(1)在方案一中, km(用含的式子表示);(2)在方案二中,组长小宇为了计算的长,作了如图8-3所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算, km(用含的式子表示)探索归纳(1)当时,比较大小:(填“”、“”或“”);当时,比较大小:(填“”、“”或“”);方法指导当不易直接比较两个正数与的大小时,可以对它们的平方进行比较:,与的符号相同当时,即;当时,即;当时,即;(2)请你参考右边方框中的方法指导,就(当时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一还是方案二? 参考答案(1);(2)探索归纳(1);(2)当,即时,;当,即时,;当,即时,综上可知:当时,选方案二;当时,选方案一或方案二;当(缺不扣分)时,选方案一 三、旋转问题基础题型:1如图 ,在RtABC中,ACB=90,A=40,以直角顶点C为旋转中心,将ABC旋转到ABC的位置,其中A、B分别是A、B的对应点,且点B在斜边AB上,直角边CA交AB于D,则旋转角等于( )A70 B80 C60 D50 2. 如图 ,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30 后得到正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长为_. 例1 已知:如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分DAE交CD于F,求证:AE=BE+DF 例2、如图,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,EAF=45,在保持EAF=45的前提下,当点E、F分别在边BC、CD上移动时,试确定BE+DF与EF的关系。 变式提高1如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中:(1)EAF的大小是否有变化?请说明理由(2)ECF的周长是否有变化?请说明理由 2如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且CBECDF(1)图1中的CBE可以通过怎样的旋转得到CDF;(2)在图1中,若G在AD上,且GCE45,则GEBEGD成立吗?为什么?(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,在直角梯形ABCD中,ADBC(BCAD),B90,ABBC12,E是AB上一点,且DCE45,BE4,求DE的长图2B C CA D DDCCDDDDD D E B C CA G D FE 图13如图,等腰ABC的是直角三角形,E,F分别是斜边BC上两点,且EAF=45试确定线段BE,EF,FC之间的数量关系 (非旋转基础题型)如图,E为正方形ABCD内一点,且EBC是等边三角形,求EAD与ECD的度数 变式提高例3、如图,E为正方形ABCD内一点,且 EAD=EDA=15 求证:EBC是等边三角形 拓展应用 1、如图,四边形和都是正方形,它们的边长分别为(),且点在上(以下问题的结果均可用的代数式表示)(1)求;(2)把正方形绕点按逆时针方向旋转45得图,求图中的;(3)把正方形绕点旋转一周,在旋转的过程中,是否存在最大值、最小值?如果存在,直接写出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由DCBAEFGGFEABCD. 参考答案(1)点在上,.(2)连结, 由题意易知,.(3)正方形AEFG在绕A点旋转的过程中,F点的轨迹是以点A为圆心,AF为半径的圆.第一种情况:当b2a时,存在最大值及最小值;因为的边,故当F点到BD的距离取得最大、最小值时,取得最大、最小值.如图所示时, 的最大值=的最小值=第二种情况:当b=2a时,存在最大值,不存在最小值;的最大值=.(如果答案为4a2或b2也可)F1ODCABGFEF22. 如图1,一副直角三角板满足ABBC,ACDE,ABCDEF90,EDF30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q【探究一】在旋转过程中,(1) 如图2,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系?并给出证明.(2) 如图3,当时EP与EQ满

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