《定积分习题》PPT课件.pptx

定积分 习题课 一、主要内容 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 定积分存在定理 广义积分 定积分 的性质 牛顿-莱布尼茨公式 定积分的 计算法 二、内容提要 1 定积分的定义 定义的实质几何意义 物理意义 2 可积和 可积的两个充分充分条件 3 定积分的性质 线性性 可加性 非负性 比较定理 估值定理 积分中值定理 积分中值公式 若M 和 m 是 变上限定积分及其导数 牛顿莱布尼茨公式 定积分的计算法 （1）换元法 换元积分公式 （2）分部积分法 分部积分公式 微积分基本公式 利用对称区间上奇偶函数的性质简化 定积分的计算 广义积分 (1)无穷限的广义积分 (2)无界函数的广义积分 三、典型例题 例1 解 例2广义积分中值定理 设f(x) 在 a ,b上连续， g(x) 在 a ,b上可积，且 不变号，则 证 因f(x) 在 a ,b上连续，故f(x) 在 a ,b上必取得 最大值M和最小值m ， 又g(x) 在 a ,b上不变号 故不妨设 若则由上式知 可取a ,b内任一点 若 由介值定理 例3 证明 证一 由广义积分中值定理证二 例4求极限 证三 解 如果能把数列的通项写成 的形式就可以利用 或 把数列极限问题转化为定积分 的计算问题 与数列的极限有着密切联系 由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分 解 例 5 解 是偶函数, 例 6 证明Cauchy-Schwarz不等式 证 例7 记 则 另证 定积分不等式的证明方法辅助函数法 将一个积分限换成变量，移项使一端为 0 另一端即为所求作的辅助函数 F ( x ) 判定单调性，与端点的值进行 比较即得证 例8设 求 解 这是 型未定式的极限解由LHospital法则 a = 0 或 b =1将 a = 0 代入知不合题意 故b =1 例9 试确定 a , b 的值使 证明 证一由定积分的定义 （ 因 f ( x ) 是凸函数） 证二 记 则a 0 例10 设 上凸 故其上任一点的切线都在曲线的上方 在 x = a 处的切线方程为 证三 易证明当 t 0 时有 或 又曲线 例11 设 f ( x ) 在 a , b 上连续且 f ( x ) 0 证明 令 则 F ( x ) 在 a , b 上连续，在( a , b ) 内可导 即 F( x ) 单调增 设 则 由介值定理得 即 证 解 例12 例13 设 f ( x ) 在 0 , 1 上连续，且单调不增 证明 对任何有 证一 由积分中值定理 再由f ( x )单调不增 证二 则F(1)=0 再由f ( x )单调不增 证三 证四 证五由f ( x )单调不增 例14 计算 解一 = 0 = 0 解二 由定积分换元法知 例15 证明 方程 在 ( 0 , 1 ) 内至少有一根 证 则 F(x) 在 0,1 上连续，在 (0,1) 内可导 由 Rolle 定理 在 ( 0 , 1 ) 内至少有一根 例16 已知周期为L的函数在 上是连续的奇函数，证明 也是以L为周期的函数 证一 对称区间上奇函数的积分 证二 例18 设 f ( x ) , g ( x ) 在 a , b 上连续，证明 证关键在于作出辅助函数 F(x) 则 F(a) F(b) 的符号不易判别，得不出结论 两边积分得 则 F ( x ) 在 a , b 上连续，在 ( a , b ) 内可导 且F ( a ) = F ( b ) = 0 由 Rolle 定理知 注： 辅助函数法证