解直角三角形在实际生活中的应用.doc

解直角三角形在实际生活中的应用山东 李浩明在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考一、航空问题例1（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为，B村的俯角为（如图1）求A、B两个村庄间的距离（结果精确到米，参考数据）图1 分析:要求A、B两个村庄间的距离,由题意知AB=PB，在RtPBC中,可求得，又因为PC=450，所以可通过解直角三角形求得PB.解：根据题意得：，所以，所以，所以AB=PB.在中，PC=450，所以PB = .所以(米)答：A、B两个村庄间的距离为520米 二、测量问题例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 米的C处，用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为，已知测角仪器的高CD=米，求旗杆AB的高(精确到米) 图2EDCBA分析:要求AB的高,由题意知可知CD=BE,先在RtADE中求出AE的长,再利用AB=BE+AE求出AB的长.解：在RtADE中，ADE=. DE=，ADE=. AE=DEADE =. AB=AE+EB=AE+DC=.答：旗杆AB的高为米三、建桥问题例4.（2008年河南）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线ADCB到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地一直BC=11km，A=45，B=37桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km参考数据：，sin370.60，cos370.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形，将两条路线路程之差转化为，作高线DH,将ADG转化为两个直角三角形，先在在中求DH、GH，再在中求AD、AH,此题即可得解.解：如图，过点作于，交于，四边形为平行四边形HG图3，两条路线路程之差为 在中， 在中，即现在从地到地可比原来少走约4.9km四、图案设计问题例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值图4 分析:要求圆的半径的值，需在直角三角形ODH中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH中，根据条件、坡面的坡度求出、，然后在直角三角形ODH中利用勾股定理列出方程，从而求出的值解：由已知，垂足为点，则，在中，设，又，得，解得，在中，解得航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.图1北6030D例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东的方向上该货船航行分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在岛周围海里的区域内有暗礁若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C作CDAB于D，然后通过解直角三角形求出CD的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得AB=24=12，CAB=90-60=30，CBD=90-30=60，所以C=30，所以C=CAB，所以CB=AB=12.在RtCBD中，sinCBD=，所以CD=CBsinCBD=12. 所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险例2 如图2，一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？FFFAAABBBDDDCCCMNKE图2图3图4分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解.解法一：如图3，过点B作BMAH于M，则BM/AF.所以ABM=BAF=30.在RtBAM中，AM=AB=5，BM=.过点C作CNAH于点N，交BD于K.在RtBCK中，CBK=90-60=30.设CK=x，则BK=x. 在RtCAN中，因为CAN=90-45=45，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN.又NM=BK，BM=KN，所以x+=5+x.解得x=5.因为54.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.解法二：如图4，过点C作CEBD于E.所以CE/GB/FA.所以BCE=GBC=60，BCA=FAC=45.所以BCA=BCE-ACE=60-45=15.又BAC=FAC-FAB=45-30=15，所以BCA=BAC.所以BC=AB=10.在RtBCE中，CE=BCcosBCE=BCcos60=10=5.也54.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.实际中的仰角和俯角问题视线视线水平线俯角仰角铅垂线图1在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.梳理总结：仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.例1 (成都)如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角为，测得乙楼底部B点的俯角为，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.E图2分析:过点C作CEAB于点E, 在RtBCE和RtACE中, BE和AE可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.解:作CEAB于点E,CEDB,CDAB,且CDB=,四边形BECD是矩形.CD=BE,CE=BD.在RtBCE中, =,CE=BD=90米.AB图3BE=CE(米).CD=BE=(米).在RtACE中, =,CE=90米. AE=CE(米).AB=AE+BE=(米).答:甲楼高为米,乙楼高为米.反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.例2 （乐山）如图3，小山上有一棵树现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端到水平地面的距离要求：画出测量示意图；写出测量步骤（测量数据用字母表示）；根据（2）中的数据计算AEFHCDB图4分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在RtAGF和 RtAEF中, 利用三角函数可得, ,再根据HE-FE=CD=m建立方程即可.解：（1）测量图案（示意图）如图4所示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点安装测角仪，测得此时树尖的仰角;第二步：沿前进到点，用皮尺量出之间的距离;第三步：在点安装测角仪，测得此时树尖的仰角;第四步：用皮尺测出测角仪的高.（3）计算：令AE=x,则得,又得, HE-FE=HF=CD=m, 解得，AB=反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效. ABCD图5快乐套餐:1.(泰安)如图5，一游人由山脚沿坡角为的山坡行走600m，到达一个景点，再由沿山坡行走200m到达山顶，若在山顶处观测到景点的俯角为，则山高等于 （结果用根号表示）图62.(安徽)如图6，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲乙两人分别在相距8