[理学]第二节 相似矩阵.ppt

5.2 1 一、相似矩阵的概念和性质 定义5.2 对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得 则称A与B 相似,记为 矩阵的“相似”关系具有以下特性： (1)反身性： (2)对称性： 证 (3)传递性： 证 相似的矩阵必等价，即 若 ，则 . 2 相似矩阵的性质： 定理5.7 相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同. 证 推论1 相似矩阵的行列式相等； 推论2 相似矩阵的迹相等； 推论3 若矩阵A与一个对角阵相似, 3 注意 : 特征值相同的矩阵不一定相似. 但它们不相似, 因为对任意可逆阵P, 即与 E 相似的矩阵只有它自己。 相似矩阵的其它性质： 相似矩阵的秩相等； 若P,Q为可逆矩阵,则有 4 A ,B 同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵 及伴随矩阵也分别相似。 只证(3)，其余证明留作练习. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 为常数) 5 例1 解 6 n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量。 二、矩阵可相似对角化的条件 定理5.8 如果一个矩阵能与一个对角阵相似,则称该矩 阵可以(相似)对角化。 证 必要性：设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆 阵P,使 7 即 即 即得 必要性得证。 上述步骤倒过来写,即得充分性证明。 8 推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化. 因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 注意: 这个条件是充分的而不是必要的. 如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性 无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如 果能找到n个线性无关的特征向量, A还是能对角化 9 n阶矩阵A可对角化的步骤： （1）求出 的所有不同根（即的全部特 征值） ,其重数依次为 ； （2）对每一特征值 ,解方程组 得基础 解系 ; （3）若存在 ，则A不能对角化. 否则A可对角 化，以这些基础解系的向量为列 构成矩阵，则P可逆且 10 因此，若 ，则有重要等式： 其中 为多项式，m为正整数. 注 （1）特征值在 中的顺序与特征向量在P中的 顺序应一致； （2）满足 的可逆矩阵P不唯一； （3）为检验 是否正确，可用下列式 子验证： 11 例2 判断下列矩阵是否可对角化？若能，则求P， 使 为对角阵，并计算 、 及 解 （1） (1)(2) 得A的特征值为 ，又 得 ，所以，由推论5.7知A不能对角化. 12 （2）由 得A的特征值为 . 对 ，解方程组 ，由 得基础解系为 . 对 ,解方程组 ,由 13 得基础解系为 . 所以A有3个线性无关的特征向量，A可对角化. 令 则P可逆且 又易求 故 14 由特征多项式可知： . 令 ，则 所以， . 15 例3 解 设求可逆阵P， 16 特征向量 特征向量 17 特征向量 特征向量 特征向量 18 令 则 19 例4 解 求可逆阵P， 判断矩阵 能否对角化，若能， 特征向量 20 特征向量 可对角化, 21 例5 解 求可逆阵P， 只有一个线性无关的特征向量, 判断矩阵 能否对角化，若能， 所以不能对角化. 22 例6 解 得A的特征值为值为 23 24 例7 解 25 从而A可相似对角化. 秩为1 ， 26 从而A不可相似对角化. 秩为2 ， 27 一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若