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文档简介

4-4 a b x y o 求曲边梯形面积的方法 (1)分割 （2）代替 （3）求和 （4）取极限 定积分的元素法(微元法） (1) dA=f(x)dx (2) 求分布不均匀的细棒质量 设想把细棒分成许多小段 dA=f2(x)-f1(x)dx 1）直角坐标系情形 dx 一、积分在几何上应用 1. 平面图形的面积 dA=g2(y)-g1(y)dy dy 解两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 解两曲线的交点 选 为积分变量 解两曲线的交点 选 为积分变量 例4已知函数y=x2，在区间（0，1）上求一点t,使S=S1+S2 最小？ y 解：S(t)=t0 (t2-x2)dx+1t (x2-t2)dx =4/3 t3-t2+1/3 S(t)=4t2-2t=0 =t=1/2 S”(1/2)0 dA=ydx dx 如果曲边梯形的曲边为参数方程 解椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 解 曲边扇形的面积 2）极坐标系情形（P222） 解由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 注意到： 解 利用对称性知 例 3 求r = a sin3所围的面积。 解 这是三叶玫瑰线，由 sin3 0，有 由对称性 双纽线 笛卡儿叶形线 二、平面曲线弧长的概念 合理假设： 弧微分 弧长 1）直角坐标情形 解 所求弧长为 证 根据椭圆的对称性知 故原结论成立. 曲线弧为 弧长 2）参数方程情形 弧微分 解： 参数方程 曲线弧为 弧长 3）极坐标情形 解 三、平行截面面积已知立体的体积（P223） 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 解取坐标系如图 截面面积 （x,y) 解取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 例3 已知立体为以长轴a=10 ,短轴b=5椭圆为底, 垂直于长轴的载面都是等边三角形,求其体积。 解：建立坐标系： 取长轴为x轴，椭圆中心为原点. 垂直于x轴截面的边长： y 立体体积 圆柱圆锥圆台 四 、 旋转体的体积 定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一 条直线（轴）旋转一周而形成的立体图形。 x y o 旋转体的体积为 1）：小圆柱体法： 体积元素小圆柱体： dx dy 解直线 方程为 解 例3 参看教材224页 解 （2）小柱壳法 a bx y o 体积元素（柱壳） 体积为 体积元素为小柱壳：dV=2x |f(x)| dx (周长高厚) X x+dx dy 例1 柱壳法 利用这个公式，可知上例中 解 体积元素为： dx 例4曲线 和x轴围成一平面图形，求此平面图形 绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。 解 在1，2上取积分元素，得 例5求由曲线y=x2-2x, y=0, x=1, x=3所围平面图形分别绕x 和y轴旋转一周, 所得的旋转体体积. x y o 旋转曲面的面积为 五、(P22
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