《CH52换元积分法》PPT课件.ppt

换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法换元积分法。通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元。 在求导法则中, 对于复合函数, 有一个求导的链式法则 (1) 对不定积分来说有类似的法则吗？我们如何利用 (1)式中的链式法则，从右端的函数f (x) (x)求 出左端的原函数f (x), 就是现在要研究的问题。 解决问题的关键在哪里呢？再看(1)式的特点 外部函数 的导数 中间变量u 中间变量 u的导数 复合函数求导数得到的函数是两个因子的乘积 外部函数的导数 中间变量的导数。 如果从被积函数中你能看出这种形式，问题的 答案就出来了。 第二节 换元积积分法 解决方法利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 一、第一类换元法 将复合函数的求导法则反过来用于不定积分 凑微分 凑微主要是配凑内层函数的微分 即 如果u是中间变量：u(x),且设(x)可微，那么， 根据复合函数微分法 从而根据不定积分的定义就得 第一类换元公式（凑微分法） 说明:使用此公式的关键在于将 化为 定理 观察重点不同，所得结论不同. 注定理说明：若已知 则 因此该定理的意义就在于把 中的换成另一个 的可微函数后，式子仍成立 又称为积分的形式不变性 这样一来，可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。 由定理可见，虽然 是一整体记号，但可把视为自变量微分 凑微分 凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化 凑微分法的基本思路： 与基本积分公式相比较，将不同的部分 中间变量和积分变量变成相同 步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量 凑微分 第一换元积分法本质 换回 直接 对外 函数 积分 求 解：函数3x2cosx3看上去象某复合函数求导而得： cosx3 3x2 sinu的导数 中间变量u 中间变量u的导数 因此猜测sinx3是一个原函数，求导数验证 所以 使用这种方法的基本想法 从被积 函数中找到一个作中间变量的函数，其 导数是作为一个因子出现的。 这个想法在相差一个常数因子时也 可以用。使用这种方法要求想象出复合 函数的形式。 例1 求 解 例2 求 解 例3 求 解 例4 求 解 例5 求 解 2x1u 换元 u 2x1 回代 一般地 例6 求 解 请同学们自己计算 解: uu du 重算一遍 解：能想出原函数的形式吗？ 记得这个公式吗？如何用这个公式？ 常用凑微分公式 1.求 2.求 练 习 3.求 4.求 1.求 解 答 案 解：原式 答 案 2.求 答 案 4. 解 答 案 v有些题并不能直接利用凑微法， 需要经过变形之后才能利用凑微 法。 例7 求 解 例8 求 例9 求 解 例10 求 解 例11 求 解 例12 求 解 v对于 、 利用积化和差公式和凑微法很简单 的几步就可解决此类不定积分 积 化 和 差 例13 求 解 例 求 解 基 本 积 分 表 基 本 积 分 表 例 求 解 例 求 例 求 解 说明：当被积函数是三角函数相乘时 ，拆开奇次项去凑微分