《函数分布期望》PPT课件.ppt

概率论与数理统计概率论与数理统计 北京大学第北京大学第2 2版版 数学系信息与计算科学教研室数学系信息与计算科学教研室 GCGSHU.EDU.CNGCGSHU.EDU.CN 2.2 2.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在分析和解决实际问题时，经常要用到由一 些随机变量经过运算或变换而得到的某些变量- 随机变量的函数，它们也是随机变量，也有其自 身的分布。如我们能测量圆轴截面的直径d(r.v.), 而关心的却是其截面积 (也是r.v.) 在本节中我们将论述如何由随机变量X的分 布导出它的函数 Y = g(X) ( g( . ) 是已知的连续函 数) 的分布。 （一）（一） 离散型随机变量函数分布离散型随机变量函数分布 例1：设随机变量X的分布律为 解：解：由X的分布律可得 由此可得 （二）（二） 连续型随机变量函数分布连续型随机变量函数分布 例2：设随机变量X的概率密度为 求随机变量 Y = 2X+8 的概率密度。 解：解： 例3：设随机变量X的概率密度为 求随机变量 的概率密度。 解：解： 2.3 2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 一个随机变量，知道概率分布也就知道它的全部统 计特征。然而实际问题中，随机变量的概率分布往 往不易求得，也有不少问题并不要求全部统计特性. 如比较电子元件寿命,不能一个一个比较，而是用它 寿命平均比较；其次比较元件寿命“离散程度”,离散 程度大,说明生产不稳定，反之,说明生产比较稳定。 用来描述随机变量统计特征的数字，称为随机变量 的数字特征数字特征。 随机变量常用数字特征：数学期望数学期望( (均值均值) )、 方差、协方差方差、协方差和和相关系数相关系数。 一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望 对于随机变量，时常要考虑它平均取什么值。 先来看一个例子：一批钢筋共有10根，抗拉强度指 标为120和130的各有2根，125的有3根，110，135， 140的各有1根。 则它们的平均抗拉强度指标为： 从计算中可以看到，平均抗拉强度指标并不 是这10根钢筋所取得的 6 个值的简单平均，而是 以取这些值的次数与试验总次数的比值（即频率） 为权数的加权平均。 定义：定义： 例1. 甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 X1，X2，它们的分布律分别为： 试评定他们的成绩的好坏。 解：解： 很明显，乙的成绩远不如甲的成绩。 例2. 若有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一 把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取 到每把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除 去。试求试开次数 X 的数学期望。 解：解： 设X= k表示前面 k-1 次没有打开，第 k 次打开。 则 例3. 试求下列数学期望 10张中1张写数字1，2张写数字2，3张写 数字3，4张写数字4。 X的可能取值为2，3，4。 且 定义：定义： 例1. 设连续型随机变量X的概率密度为 求数学期望 E(X). 解：解： 例2. 若X服从a,b区间上的均匀分布,求EX. 解：解： EX= 例3 设随机变量X服从参数为的指数分布,求EX. 解解 X密度函数为 EX= 类似计算可得: 若XN(,2), 则EX= . 常用分布随机变量的数学期望常用分布随机变量的数学期望 例4. 某公司有足够的资金从事20个项目的独 立开发，任何一个项目开发成功的概率为0.1, 求下列问题: (1)至少一项开发成功的概率； (2)预期多少项目可以开发成功？ 解：解：设X为开发成功项目数， (1) 至少一项开发成功的概率为 (2)求项目可以开发成功的预期个数也就 是求随机变量X的数学期望， (个) 定理：定理：设Y = g(X)是 r.v.X 的函数，(其中g() 是连续函数) (1) 如X是离散型随机变量，其分布律为 则有 (2) 如X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 则有 例1：设随机变量X的分布律为 解：解： 例2 设随机变量X服从0,的均匀分布,求 解解 由题意得 数学期望的性质数学期望的性质 （假设所遇到的随机变量的数学期望均存在） 1. 设c是常数，则 2. 设X是随机变量，c是常数，则 3. 设X,Y是两个随机变量，则 这个性质可推广到任意有限个随机变量之和的情形。 4. 设X,Y是两个相互独立的随机变量，则 这个性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量 之积的情形。 例1：已知随机变量 X服从参数为1/2的指数分布，则 随机变量 Z=3X-2的数学期望E(Z)=（ ）。 解：解： EZ=3EX-2=4 解解 : : EZ=EX-EY=2-(-2)=4 E(XY)=(EX)(EY)=-4 例2：已知随机变量 X服从参数为2的泊松(Poisson) 分布, YN(-2,4),Z=X-Y,则EZ=( ); 若X,Y独立,则E(XY)=( ). 例3：一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客 有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下 车就不停车。以 X 表示停车的次数，求 E(X) (设每 位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅