《函数微积分基础》PPT课件.ppt

极限和连续 1.数列极限 2.函数极限 3.连续函数 数列的极限 授课计划 学时：2学时（1次课） 内容：1.数列极限的定义 2.数列极限的性质 3. 数列收敛的判定定理 数列极限的概念 例1：我国古代哲学著作庄子“天 下篇”中有这样一段话：“一尺之棰，日 取其半，万世不竭.”它描述了截取过程 中棒长剩余量的变化情况，用数学描述其 过程，可得如下数列 数列极限的概念 例2：我国古代数学家刘徽（公元3世纪 ）利用圆内接正多边形来推算圆的面积的 方法割圆术，用数学描述其过程，可 得如下数列 数列极限的概念 数列极限的概念 如果当n越来越大时，an和某个常数A靠 得越来越近，就说数列an 极限是A，记 为 数列极限的概念 但是考察下面的数列，你会发现，当n 越来越大时，an和某个常数A“靠得不是 越来越近” 数列极限的概念 为什么会出现上述情况呢？原因在于“ 越来越大”和“越来越近”比较含糊，需 要给出确切的含义. 数列极限的概念 定义：设an 为一数列，A为一常数，如果对 于任意给定的正数，总总存在正整数N，使得对对 于nN时时的一切an ，不等式 | an -A|N时的一切 an都与A同号. 收敛数列极限的性质 定理2.4（四则运算法则） 收敛数列极限的性质 定理2.5（保序性）设数列an的极限为 A，数列bn的极限为B，若存在NN，当 nN时an bn ，则A B. 数列收敛性的判定准则 定理2.6（夹逼原理）设数列an的极限 和数列bn的极限均为A，若存在NN， 当nN时an cn bn ，则cnA. 数列收敛性的判定准则 数列收敛性的判定准则 定理2.7（单调有界原理）单调有界数 列必有极限. 另外的描述：单调增加（减少）有上（ 下）界的数列必定收敛. 数列收敛性的判定准则 定理2.8（Cauchy收敛准则）略 练习 课本P23例题和P27习题1.2 函数的极限 授课计划 学时：6学时（3次课） 内容：1.函数极限的定义 2.无穷小和无穷大 3.性质和判定定理 4.两个重要极限 5.无穷小阶的比较 函数极限的概念 若记anf(n)，易见数列是一种特殊的 函数，仿照数列极限的定义，下面我们给 出函数yf(x)当x时收敛的概念 函数f(x)当x+时的极限 定义1：设yf(x)为一函数，A为一常 数，如果对于任意给定的正数，总总存在 正数X，使得对对于适合xX的一切x ，都 有不等式 | f(x)A|+时的 极限 .记作 函数极限的概念 例题：证明 函数f(x)当x时的极限 定义2：设yf(x)为一函数，A为一常 数，如果对于任意给定的正数，总总存在 正数X，使得对对于适合x-时的 极限 .记作 函数极限的概念 例题：证明 函数f(x)当x时的极限 定义3：设yf(x)为一函数，A为一常 数，如果对于任意给定的正数，总总存在 正数X，使得对对于适合|x|X的一切x 都有 不等式 | f(x)A|时的 极限 .记作 函数极限的概念 几何解释: 函数极限的概念 可以证明 水平渐近线： 函数极限的概念 在很多实际问题中还需要研究当自变量 x趋于有限值x0时函数yf(x)的极限问题 。 函数f(x)当x x0时的极限 定义4：设函数yf(x)在x0的某去心邻 域内有定义，A为一常数，如果对于任意 给定的正数，总总存在正数，使得对对于 适合0 x0时的 极限 .记作 函数极限的概念 几何解释: 函数极限的概念 函数极限的概念 定义5：设函数yf(x)在x0的左侧某个 邻域内有定义，A为一常数，如果对于任 意给定的正数，总总存在正数，使得对对 于适合x0 x0时的 左极限 .记作 函数极限的概念 定义6：设函数yf(x)在x0的右侧某个 邻域内有定义，A为一常数，如果对于任 意给定的正数，总总存在正数，使得对对 于适合x0 x0时的 右极限 .记作 函数极限的概念 可以证明 函数极限的概念 无穷小 定义7：当xx0 (x)时，以零为 极限的函数(x)称为当xx0 (x)时 的无穷小量，简称为无穷小. 无穷小的等价定理 定理1： 其中(x)是当xx0 (x)时的无 穷小量. 无穷小性质 定理2：无穷小量的性质： （1）有限个无穷小的代数和是无穷小. （2）有限个无穷小的乘积是无穷小. （3）无穷小与有界函数的乘积是无穷小. 无穷大 定义8：如果对于任意给定的M0，总总存 在0(或X0)，使得对对于适合 0 X)的一切x ,都有不 等式 | f(x)| M 成立，则称函数f(x)在xx0 (或x) 时为无穷大 .记作 无穷大 注1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数 的一种状态. 注2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 反之不真 ! xxycos= 无穷大 定理3：在自变量的同一变化过程中， 如果f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小； 反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0， 则1/f(x)为无穷大 函数极限的性质 定理4(唯一性):若存在必唯一. 定理5(局部有界性):若存在则必局部有界. 定理6(局部保号性):函数和极限值有相同 符号. 定理7(局部保序性):函数大的,极限不小. 函数极限的四则运算法则 定理8(四则运算法则): 夹逼原理 定理9：如果 h(x)f(x)g(x), 且 h(x)和g(x)的极限均为A，则 f(x)的极限 也为A. 一些例题 例题： 两个重要极限 第一个 两个重要极限 第二个 两个重要极限 一些例题 无穷小的比较 定义10：设(x)，(x)是同一个自变量变化 过程中的无穷小， （1）若 ，则称(x)是比(x)高阶的 无穷小， 记作(x)o(x) （2）若 ，则称(x)与(x)是同 阶无穷小 （3）若 ，则称(x)与(x)是等价无 穷小， 记作(x)(x) 无穷小的比较 一些例题和常用结论 无穷小替换法 定理（无穷小替换法）： 设 都是同一个极 限过程的无穷小，若 并 且 存在，则 无穷小替换法 定理使用中注意的事情 例题 连续函数 1.连续函数的定义 2.连续函数的性质 3.函数的间断点 4.闭区间上连续函数 授课计划 学时：4学时（2次课） 内容：1.函数连续的定义和性质 2.初等函数的连续性 3.间断点 4.闭区间上连续函数的性质 引子和增量 引子：物理现象（物体长度随温度变化 ，运动的距离随时间变化）这种连续 不断的变化现象如何用数学描述？ 增量：如果变量x从它的一个初值x1变到 终值x2 ，称差x2 x1为变量x的增量，记 为x x2 x1 函数的增量yf(x0 +x ) f(x0) 函数连续性的定义 定义1：设函数yf(x)在点x0的某邻域 内有定义，如果当自变量x的增量 x x x0趋于零时，对应的函数的增量 yf(x0 +x ) f(x0)也趋于零，则称 函数yf(x)在点x0连续。 请用数学式子表示上面的文字描述！ 左连续和右连续 左连续和右连续 函数在开区间(a,b)内连续 函数在闭区间a,b上连续 几个基本初等函数的连续性 例题1：正整数幂函数yxn 例题2：三角函数ysinx ycosx 例题3：指数函数yex 连续函数的性质 性质1：（四则运算） ytanx ycotx yx2sinx ycos2x yexsinx 性质2：（单调反函数的连续性） y arcsinx y arctanx y lnx 连续函数的性质 性质3：（复合函数的连续性）：设函数 u(x)满足 ，且函数yf(u)在 ua连续，则有 请换个数学式子表示上面的极限！ 连续函数的性质 结论： （1）基本初等函数在他们的定义域内是连续的 。 （2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的 。 由此可见：求连续函数在连续点的极限等于求 该点的函数值。 函数的间断点及其分类 定义2：函数yf(x) 的不连续点称为间 断点。 间断点类型：第一类（左右极限都存在 的间断点）和第二类（第一类以外的间断 点）。 请用数学式子表述一下 函数的间断点及其分类 有可去间断点 有跳跃间断点 函数的间断点及其分类 有振荡间断点 有无穷间断点 函数的间断点及其分类 较难例题：确定a和b的值，使下列函数 有无穷间断点x0和可去间断点x1 闭区间上连续函数的性质 定理1：（最大最小值定理） 定理2：（有界性定理） 定理3：（零点存在定理）（最常用） 定理4：（介值定理）（次常用） 闭区间上连续函数的性质 例1：证明方程x3-4x2+10至少有一个小于1的 正根。 例2：证明一元三次方程至少有一个实