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文档简介

如何用数学来 反映山势的平缓 与陡峭程度? H A B C D F Xk Xk+1 X0X1 X2 y O 例:如图,是一座山的剖面示意图: A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示 ; 问题:当自变量x表示登山者的水平位置, 函数值y表示登山者所在高度时,陡峭程度应怎样表示? 登山问题 x H A B C D F Xk Xk+1 X0X1 X2 y O O y xx1x2 y0 y1 A(x1,y1) B(x2,y2) 选取平直山路AB放大研究 : 若 自变量的改变量 函数值的改变量 直线AB的斜率: D1 X3 H A B C D F Xk Xk+1 X0X1 X2 y O O y xx0x1 y0 y1 A(x0,y0) B(x1,y1) O y xx2x3 y2 y3 C(x2,y2) D1(x3,y3) 直线AB的斜率:直线CD1的斜率: x y0 x0x1 O Y x A(x0,y0) y1 B(x1,y1) y2C(x2,y2) y3D(x3,y3) y4E(x4,y4) y0 x0x1 O Y x A(x0,y0) y1 B(x1,y1) y2C(x2,y2) y3D(x3,y3) y4E(x4,y4) 平均变化率 曲线陡峭程度 数形 变量变化的快慢 建构数学 华罗庚 函数的平均变化率 已知函数 在点 及其附近有定义, 令 , 则当 时,比值 叫做函数 在 到 之间的平均变化率 思考:函数平均变化率的几何意义? O A B x yY=f(x ) x0X0+x f(x0) f(X0+x) x 直线 AB的 斜率 函数平均变化率: 函数值的改变量与自变量的改变量之比 观察函数f(x)的图象 过曲线 上的点 割线的斜率。 思考:(1) x 、 y的符号是怎样的? (2)该变量应如何对应? 理解: 2、 对应性: 若 美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中,青蛙马上就感到了危险, 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中,然后开始慢慢加热水锅。刚开始,青蛙自然悠哉游哉, 毫无戒备。一段时间以后,锅里水的温度逐渐升高,而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险,最后,一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。 例1.求函数 在 到 之间的平均变化率 解:当函数 在 到 之间变化的时候 函数的平均变化率为 分析:当 取定值, 取不同数值时 , 该函数的平均变化率也不一样. ( 2 ) 求函数 在 到 之间的平均变化率 解:当函数 在 到 之间变化的时候 函数的平均变化率为 课堂练习: 甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时 间的关系分别如图(1)(2)所示, (1)甲乙二人哪一个跑得快? (2)甲乙二人百米赛跑,快到终点时,谁跑得比较快? 甲 乙 O (1) 路程 t y O 甲 乙 t0 t 100m 知识运用再做两个题吧 ! 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及邻近一点B(-1+x,-2+y), 则y/x=( ) A 、 3 B、 3x-(x)2 C 、 3-(x)2 D 、3-x D y=kx+b在区间 上的 平均变化率有什么特点? 2.求下列函数的在区间 平均变化率: (1)y=1 (2)y=2x+1 (3)y=-2x 例3:已知函数 ,计算函数在下列区间上的平均变化率。 解:当函数 在 到 之间变化的时候 函数的平均变化率为 变化区间自变量改变量平均变化率 (1,1.1 ) 0.12.1 (1,1.01) 0.012.01 (1,1.001)0.0012.001 (1,1.0001)0.00012.0001 要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体 在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律 是 s =s(t ),那么物体在时刻t 的瞬时速度v,就是物 体在t 到 t+Dt 这段时间内,当 Dt0 时平均速度 的极限即 瞬时速度 函数的瞬时变化率 设函数 在 附近有定义, 当自变量在 附近改变 时, 函数值相应的发生改变 如果当 趋近于时, 平均变化率 趋近于一个常数 , 则数 称为函数 在点 处的瞬时变化率。 导数的概念 也可记作 若这个极 限不存在,则 称在点x0 处不 可导。 设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义,当自变量 x 在 x0 处 取得增量 x ( 点 x0 +x 仍在该定义内)时, 相应地函数 y 取 得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 ),若y与x之比当 x0的极 限存在,则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 ,并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数记为 即 说说明: (1)函数在点处处可导导,是指时时, 有极限如果不存在极限,就说说函数在 处处不可导导,或说说无导导数点 是自变变量x在处处的改变变量, ,而 是函数值值的改变变量,可以是零 (2) 由导导数的定义义可知,求函数在处处的 导导数的步骤骤: (1)求函数的增量:; (2)求平均变变化率:; (3)取极限,得导导数: 例: 高台跳水运动中, 秒 时运动员相 对于水面的高度是 (单位: ),求运动员在 时的瞬时 速度,并解释此时的运动状态;在 呢? 同理, 运动员在 时的瞬时速度为 , 上升 下落 这说明运动员在 附近,正以大约 的速率 。 割线PQ的的变化情况在 的过程中, 请在函数图象中画出来 你能描述一下吗? P Q M 求已知曲线的切线. 作业 课本82.B2 报纸A14 一是:根据物体的路程关于时间的 函数求速度和加速度. 二是:求已知曲线的切线. 例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 时,原油的温度(单位:)为 计算第2 h和第6 h,原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义。 3.1.1 导数的几何意义 P x y 0 T 一是:根据物体的路程关于时间的 函数求速度和加速度. 二是:求已知曲线的切线. 课堂小结: 函数的平均变化率 函数的瞬时变化率 例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 时,原油的温度(单位:)为 计算第2 h和第6 h,原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义。 3.1.1 导数的几何意义 P x y 0 T P x y o T 的切线方程为 即 圆的切线定义并不适 用于一般的曲线。 通过逼近的方法,将 割线趋于的确定位置的 直线定义为切线(交点 可能不惟一)适用于各 种曲线。所以,这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。 根据导数的几何意义,在点P附近,曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。 大多数函数曲线就一小范围来看,大致可看 作直线,所以,某点附近的曲线可以用过此点 的切线近似代替,即“以直代曲” (以简单的 对象刻画复杂的对象) 1.在函数 的 图像上,(1)用图形来体现导数 , 的几何意义. (2)请描述,比较曲线分别在 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在 附近呢? (2)请描述,比较曲线分别在 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在 附近呢? 增(减): 增(减)快慢: =切线的斜率 附近:瞬时变化率(正或负) 即:瞬时变化率(导数) (数形结合,以直代曲)画切线 即:导数 的绝多值的大小 =切线斜率的绝对值的 大小 切线的倾斜程度 (陡峭程度) 以简单对象刻画复杂的对象 (2) 曲线在 时,切线平行于x轴,曲线在 附近比较平坦,几乎没有升降 曲线在 处切线 的斜率 0 在 附近,曲线 ,函数在 附近单调 如图,切线 的倾斜程度大于切线 的 倾斜程度, 大于 上升 递增 上升 这说明曲线在 附近比在 附近 得迅速 递减 下降 小于 下降 2如图表示人体血管中的药物浓度 c=f(t) (单位:mg/ml)随时间t(单位:min) 变化的函数图像,根据图像,估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时,血管中 药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1) 血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 从图象上看,它表示 曲线在该点处的切线的斜率. 函数f(t)在此时刻的导数, (数形结合,以直代曲) 以简单对象刻画复杂的对象 抽象概括: 是确定的数 是 的函数 导函数 的概念: t 0.2 0.4 0.60.8 药药物浓浓度的 瞬时变时变 化率 小结: .函数 在 处的导数 的几何意义,就是函数 的图像在点 处的切线AD的斜率(数形结合) 切线 AD的斜率 3.导函数(简称导数) 2.利用导数的几何意义解释实际生活问题 ,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学 思想方法。 以简单对象刻画复杂的对象 课堂小结 今天这节课,你学到了 哪些知识? 小结: 1.函数的平均变化率 定义 2.函数的平均变化率 的几何意义 3.函数的平均变化率的求法 是曲线上两点对应割线的斜率 美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅

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