材料力学能量方法PPT课件.pdf

Chapter13 Energy Method 共1页2共1页2 (Energy Method) 2 第十三章 能量法第十三章 能量法 (Energy Methods) 13-1 概述概述（Introduction) 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算( Calculation of strain energy for various types of loading ) 13-3 互等定理互等定理（Reciprocal theorems) 13-4 单位荷载法 莫尔定理单位荷载法 莫尔定理(Unit-load method (2) 若先在若先在 C 截面加截面加 F2, 然后在然后在 B 截面加截面加 F1. 分别计算两种加力方法拉杆的应变能分别计算两种加力方法拉杆的应变能. A B C a b F1 F2 共1页22共1页22 (Energy Method) 22 （1）先在）先在 B 截面加截面加 F1,然后在然后在 C 截面加截面加 F2 A B C a b F1 （a）在）在 B 截面加截面加 F1, B截面的位移为 外力作功为 （ 截面的位移为 外力作功为 （b）再在）再在C上加上加 F2 F2 C截面的位移为截面的位移为 F2 作功为作功为 1 1B F a EA EA aF FW B 22 1 2 1 111 () 2 2 222 1 22 C Fab WF EA () 2 2C F ab EA 共1页23共1页23 (Energy Method) 23 （c）在加）在加F2后后,B截面又有位移 在加 截面又有位移 在加 F2 过程中过程中 F1 作功（常力作功） 所以应变能为 作功（常力作功） 所以应变能为 A B C a b F1 F2 2 2B F a EA 12 312B F F a WF EA () 112212 22 1212 11 22 22 BCB VWFFF F aFabF F a EAEAEA 共1页24共1页24 (Energy Method) 24 （2）若先在）若先在C截面加截面加F2,然后然后B截面加截面加F1. （a）在）在C截面加截面加F2后后,F2作功 （ 作功 （b） 在） 在B截面加截面加F1后后,F1作功作功 A B C a b F1 F2 EA baF 2 )( 2 2 EA aF 2 2 1 共1页25共1页25 (Energy Method) 25 （c）加）加 F1引起引起 C 截面的位移 在加 截面的位移 在加F1过程中过程中F2作功（常力作功）作功（常力作功） A B C a b F1 F2 EA aF 1 EA aFF 21 所以应变能为所以应变能为 注意：注意： （1） 计算外力作功时） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别注意变力作功与常力作功的区别. （2）应变能）应变能V只与外力的最终值有关只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次 序无关 而与加载过程和加载次 序无关. () 112212 22 1212 11 22 22 BCB VWFFF F aFabF F a EAEAEA 共1页26共1页26 (Energy Method) 26 2 解解: 梁中点的挠度为梁中点的挠度为: 梁右端的转角为梁右端的转角为: Me 23 e 1 4816 M lFl EIEI 2 e 2 163 M lFl EIEI AC B F l/2l/2 梁的变形能为梁的变形能为: () 222 3 ee 1e2 111 2296616 M lM FlF l VFM EI 1 例题例题5 以弯曲变形为例证明 应变能 以弯曲变形为例证明 应变能V只与外力的最 终值有关 只与外力的最 终值有关,而与加载过程 和加载次序无关 而与加载过程 和加载次序无关. 共1页27共1页27 (Energy Method) 27 先加力先加力 F 后后,再加力偶再加力偶 Me （1）先加力）先加力F后后,C 点的位移 力 点的位移 力F 所作的功为所作的功为 3 1 48 Fl EI 3 1 11 2248 Fl WFF EI （2）力偶由零增至最后值）力偶由零增至最后值 Me B 截面的转角为截面的转角为 EI lM 3 e 力偶力偶 Me所作的功为所作的功为 EI lM MMW 32 1 2 1 e ee2 AC B F l/2l/2 AC B F l/2l/2 Me 1 共1页28共1页28 (Energy Method) 28 先加上的力先加上的力F所作的功为所作的功为 C截面的位移为截面的位移为 3 2 e 3 16 M l EI 2 e 33 16 M l WFF EI AC B l/2l/2 F与力偶与力偶Me所作的功为所作的功为 EI lM M EI lM F EI Fl FV 32 1 16482 1 e e 2 e 3 AC B F l/2l/2 1 Me 共1页29共1页29 (Energy Method) 29 两力作用点沿力作用方向 的位移分别为 两力作用点沿力作用方向 的位移分别为 F1 ,F2 （1）设在线弹性结构上作用力）设在线弹性结构上作用力 1 , 2 一、功的互等定理一、功的互等定理（ Reciprocal work theorem ） 13-3 互等定理互等定理（Reciprocal Theorems ) 1 2 F1 F2 共1页30共1页30 (Energy Method) 30 F1 F2 1 2 F1 和和 F2 完成的功应为 （ 完成的功应为 （2）在结构上再作用有力）在结构上再作用有力 F3 ,F4 沿沿 F3和和 F4方向的相应位移为方向的相应位移为 3 , 4 F3 3 4 F4 F3 和和 F4 完成的功应为完成的功应为 1122 11 22 FF 3344 11 22 FF 共1页31共1页31 (Energy Method) 31 （3）在）在 F3和和 F4的作用下的作用下,F1 和和F2 的作用点又有位移的作用点又有位移 F1 和和 F2 在在 1和和 2上 完成的功应为 上 完成的功应为 F1 F2 1 2 F3 3 4 2 1 FF 2211 因此因此,按先加按先加 F1,F2 后后F3,F4 的次序加力的次序加力,结构的应变能为结构的应变能为 FFFFFFV 2211443322111 2 1 2 1 2 1 2 1 1和和 2 共1页32共1页32 (Energy Method) 32 F1 F2 1 2 3 4 F3 若按先加若按先加F3,F4 后加后加F1, F2 的次序加力的次序加力,又可求得结构的应变 能为 又可求得结构的应变 能为 FFFFFFV 443344332211 2 2 1 2 1 2 1 2 1 由于应变能只决定于力和位移的 最终值 由于应变能只决定于力和位移的 最终值,与加力的次序无关与加力的次序无关,故故 2 1 VV FFFF 44332211 4 3 共1页33共1页33 (Energy Method) 33 功的互等定理功的互等定理（reciprocal work theorem）:第一组力在第二 组力引起的位移上所作的功 第一组力在第二 组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位 移上所作的功 等于第二组力在第一组力引起的位 移上所作的功. 二、位移互等定理二、位移互等定理（Reciprocal displacement theorem) 若第一组力若第一组力 F1,第二组力只有第二组力只有 F3,则 如果 则 如果 F1=F3,则有则有 FF 3311 31 共1页34共1页34 (Energy Method) 34 位移互等定理位移互等定理（reciprocal work theorem）： F1作用点沿作用点沿 F1 方向因作用方向因作用 F3而引起的位移等于而引起的位移等于F3 作用点沿作用点沿 F3 方向因作用方向因作用 F1而引起的位移而引起的位移.（The deflection at A due to a load acting at B is equal to the deflection at B due to the same load acting at A ) 三、注意三、注意（Notice） （1）力和位移都应理解为广义的）力和位移都应理解为广义的. （2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变 形引起的位移 只是由变 形引起的位移. 共1页35共1页35 (Energy Method) 35 13-4 单位荷载法 莫尔定理单位荷载法 莫尔定理 （Unit-load method （3）所加广义单位力与所求广义位移之积）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲必须为功的量纲; （2）去掉主动力去掉主动力,在所求 广义位移点在所求 广义位移点,沿所求广义位 移的方向加广义单位力时 沿所求广义位 移的方向加广义单位力时,结构产生的内力结构产生的内力; M （4）与）与M（x）的坐标系必须一致）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可 自由建立 每段杆的坐标系可 自由建立; M（x） 共1页40共1页40 (Energy Method) 40 A 例题例题5 抗弯刚度为抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用的等截面简支梁受均布荷载作用,用单位载 荷法求梁中点的挠度 用单位载 荷法求梁中点的挠度 wC 和支座和支座A截面的转角截面的转角.剪力对弯曲的影响 不计 剪力对弯曲的影响 不计. q B C l l/2 ql/2 ql/2 解解: 在实际荷载作用下在实际荷载作用下,任一任一 x 截面的弯矩为截面的弯矩为 22 )( 2 qx x ql xM)(0lx 共1页41共1页41 (Energy Method) 41 A AB 1 1/21/2 C （1）求）求C 截面的挠度 在 截面的挠度 在C点加一向下的单位力点加一向下的单位力, 任一任一 x 截面的弯矩为截面的弯矩为 x xxM 2 1 )( ) 2 (0 l x q B C l l/2 ql/2 ql/2 )( 384 5 )d 22 ( 2 2 )d( )( 4 2 2 0 EI ql x qx x ql EI x EI xxM xMw l/ l C 共1页42共1页42 (Energy Method) 42 ql/2 AA B 1 1/l 1/l x （2）求）求A截面的转角 在 截面的转角 在 A 截面加一单位力偶 引起的 截面加一单位力偶 引起的 x 截面的弯矩为截面的弯矩为 1 1 )(x l xM )(0lx q C l l/2 EI ql x qx x ql l x EIEI xxM xM l l A 24 )d 22 1)( 1)d( )( 3 2 0 （顺时针）（顺时针） ql/2 共1页43共1页43 (Energy Method) 43 B 例题例题6 图示外伸梁图示外伸梁,其抗弯刚度为其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求用单位载荷法求C点的挠 度和转角 点的挠 度和转角. A C q F=qa a2a 共1页44共1页44 (Energy Method) 44 BAA BC a2a 1 解：解： x AB: （1）求截面的挠度（在）求截面的挠度（在C 处加一单位力“处加一单位力“1”） C q F=qa a2aFRA x 1/2 2 R qa F A 22 )( 2 qx x qa xM 2 )( x xM 共1页45共1页45 (Energy Method) 45 BC:xqaxM)( xxM )( )( 3 2 )d)()d 2 )( 22 ( 1 4 0 2 0 2 EI qa xxqaxx xqx x qa EI w aa C BAA BC a2a C q F=qa a2a FRA 1/2 xx 1 共1页46共1页46 (Energy Method) 46 BA BC: AB: （2）求）求C 截面的转角（在截面的转角（在C处加一单位力偶）处加一单位力偶） 1 xx AB C a2a x C q F=qa a2a x 1/2a 22 )( 2 qx x qa xM a x xM 2 )( xqaxM)(1)( xM EI qa xqaxx a xqx x qa EI aa C 6 5 )(1)d()d 2 )( 22 ( 1 3 0 2 0 2 （）（） FRA 共1页47共1页47 (Energy Method) 47 例题例题7 刚架的自由端刚架的自由端A作用集中力作用集中力F.刚架各段的抗弯刚度已于图 中标出 刚架各段的抗弯刚度已于图 中标出. 不计剪力和轴力对位移的影响不计剪力和轴力对位移的影响. 计算计算A点的垂直位移及点的垂直位移及B 截面的转角截面的转角. a AB C F l EI1 EI2 解解:（1）计算）计算A点的垂直位移点的垂直位移,在在A点加垂 直向下的单位力 点加垂 直向下的单位力 B C l EI1 EI2 a 1 共1页48共1页48 (Energy Method) 48 AB: BC: a A B C F l EI1 EI2 x x FxxM )( FaxM )( xxM )( axM )( A B C 1 l EI1 EI2 x x a )( 3 )d( )( 1 )d( )( 1 d )()( d )()( 2 2 1 3 0 2 0 1 0 2 0 1 EI lFa EI Fa xaFa EI xxFx EI x EI xMxM x EI xMxM l a la y 共1页49共1页49 (Energy Method) 49 （2）计算）计算B截面的转角截面的转角,在在B上加一个单位力偶矩上加一个单位力偶矩 AB: BC: 0)( xM 1)( xM FxxM )( FaxM )( A B C F l EI1 EI2 x x a AB C l EI1 EI2 x x a 2 0 2 0 1 0 2 0 1 (1)d)( 1 (0)d)( 1 d )()( d )()( EI Fal xFa EI xFx EI x EI xMxM x EI xMxM l a la B （）（） 1 共1页50共1页50 (Energy Method) 50 例题例题8 图示刚架图示刚架,两杆的两杆的 EI 和和 EA 分别相同分别相同,试求试求C点的水平位移点的水平位移. C F a b A B 解解:在在 C点加一水平单位力点加一水平单位力 1 a b B A C 共1页51共1页51 (Energy Method) 51 F a b 1 a b xx A BB A CC CB : FxxM )(xxM )( 0)( N xF0)( N xF xx AB : FaxM )( axM )( FxF )( N1)( N xF 共1页52共1页52 (Energy Method) 52 ll C xxFxF EA xxMxM EI H)d()( 1 )d()( 1 NN )( 3 d1)( 1 23 0 EA Fb EI bFa EI Fa xF EA b xaFa EI xxFx EI ba d )( 1 d )( 1 00 F a b 1 a b xx A BB A CC xx 共1页53共1页53 (Energy Method) 53 例题例题9 图示为一水平面内的曲杆，图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性节点， 处为一刚性节点， ABC=90在在 C 处承受竖直力处承受竖直力F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度 分别是 ，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度 分别是 EI 和和 GIp ，求，求C点竖向的位移点竖向的位移. A B C F a b 共1页54共1页54 (Energy Method) 54 xx 解解:在在 C点加竖向单位力点加竖向单位力 BC: FxxM )(xxM )( 0)( xT0)( xT A B C F a b A B C 1 a b x x AB:FxxM )( xxM )( FbxT )(bxT )( 共1页55共1页55 (Energy Method) 55 xxA B C F a b A B C 1 a b x x ( )( )( ) ( ) ll p 11 dd C M x M xxT x T xx EIGI xxFx EI xxFx EI ba d )( 1 d )( 1 00 xbFb GI a d )( 1 0 p p 2 33 )( 3GI Fab ba EI F )( 共1页56共1页56 (Energy Method) 56 例题例题10 由三杆组成的刚架由三杆组成的刚架,B,C为刚性节点为刚性节点,三杆的抗弯刚度都是三杆的抗弯刚度都是 EI,试用单位载荷法求试用单位载荷法求A1,A2两点的相对位移两点的相对位移. A1A2 B C l l FF 共1页57共1页57 (Energy Method) 57 x lxM )(FlxM )( 解：在解：在A1,A2 处加一对水平单位力处加一对水平单位力. B,C 两支座的反力均为零两支座的反力均为零. A1B： BC： CA2： xx FxxM )(xxM )( FxxM )(xxM )( A1A2 B C l l FF x xx A1A2 B C l l 11 ) ( 3 5 )d)()d)(2 1 3 00 EI Fl x-l-Flx-x-Fx EI ll 共1页58共1页58 (Energy Method) 58 例题例题11 刚架受力如图刚架受力如图,求求A截面的垂直位移截面的垂直位移,水平位移及转角水平位移及转角. A B C ll q 共1页59共1页59 (Energy Method) 59 AB： BC： 解 ： 解:求求A点铅垂位移（在点铅垂位移（在A点加竖向单位力）点加竖向单位力） x x x x 2 )( 2 qx xM 2 )( 2 ql xM xxM )( lxM )( A B C ll q A B C ll q1 )( 8 5 )d 2 d 2 ( 1 4 00 22 EI ql xl ql xx qx EI ll y 共1页60共1页60 (Energy Method) 60 求求A点水平位移（在点水平位移（在A点加水平单位力）点加水平单位力） AB： BC： 2 )( 2 qx xM 2 )( 2 ql xM 0)( xM xxM )( )( 4 )d 2 d0 2 ( 1 4 00 22 EI ql xx ql x qx EI ll x x x x x A B C ll q A B C ll q 1 共1页61共1页61 (Energy Method) 61 x x 求求A点的转角（在点的转角（在A点加一单位力偶）点加一单位力偶） AB: BC： 2 )( 2 qx xM 1)( xM 2 )( 2 ql xM 1)( xM EI ql x ql x qx EI ll A 3 2 )d1) 2 (d1) 2 ( 1 3 00 22 x x A B C ll q A B C ll q 1 （）（） 共1页62共1页62 (Energy Method) 62 例题例题12 图示为一简单桁架图示为一简单桁架,其各杆的其各杆的EA相等相等. 在图示荷载作用下在图示荷载作用下 A、C 两节点间的相对位移两节点间的相对位移. F a a F AB C DE 13 2 4 5 67 8 9 a 共1页63共1页63 (Energy Method) 63 F a a AB C DE 13 2 4 5 67 8 9 a F a a F AB C DE 13 2 4 5 67 8 9 a 桁架求位移的单位荷载法为桁架求位移的单位荷载法为 1 1 n i iii EA lFF 1 NN 共1页64共1页64 (Energy Method) 64 1 2 3 4 5 6 7 8 杆件编号杆件编号 9 i FN i FN i l iii lFF NN 0 -F -F -F F -2F 0 1 0 0 0 0 a a a a a a a 0 2Fa 0 0 0 0 F2 F2 21/ 21/ 21/ 21/ a2 a2 2Fa/ 2Fa/ 2Fa/ EA Fa . EA Fa )( EA lFF i iii AC 124 2 3 2 9 1 NN A,C两点间的距离缩短两点间的距离缩短. 共1页65共1页65 (Energy Method) 65 例题例题13 计算图（计算图（a）所示开口圆环在）所示开口圆环在F力作用下切口的张开量力作用下切口的张开量 AB. EI=常数常数. B A O R F F (a) 共1页66共1页66 (Energy Method) 66 B A R P F d (b) B A R P 1 (c) 解：解： EI FR R EI FR R EI MM AB 3 0 22 0 3 d )cos(1 2 d )()( 2 )cos(1)( FRM)cos(1)( RM sd OO 共1页67共1页67 (Energy Method) 67 2 1 3 设弹性结构在支座的约束下无 任何刚性位移 设弹性结构在支座的约束下无 任何刚性位移. 作用有外力作用有外力: F1 ,F2 , ,Fi , 相应的位移为： 相应的位移为： 1 , 2 , , i , 13-5 卡氏定理卡氏定理(Castiglianos Theorem) F1 F2F3 结构的变形能结构的变形能 332211 2 1 2 1 2 1 FFFWV 共1页68共1页68 (Energy Method) 68 只给只给 Fi 一个增量一个增量 Fi . 引起所有力的作用点沿力方向的位 移增量为 引起所有力的作用点沿力方向的位 移增量为 , 123 2 1 3 F1 F2F3 在作用在作用Fi 的过程中的过程中, Fi 完成 的功为 完成 的功为 1 2 ii F 原有的所有力完成的功为原有的所有力完成的功为 1122 ii FFF 结构应变能的增量为结构应变能的增量为 1122 1 2 iiii VF FFF 共1页69共1页69 (Energy Method) 69 如果把原来的力看作第一组力如果把原来的力看作第一组力,而把而把 Fi看作第二组力看作第二组力. 根椐互等定理 略去高阶微量 根椐互等定理 略去高阶微量 1 2 ii F 1122 ii VFFF 1122 iiii FFF F ii VF 或者或者 i i V F 当 当 Fi 趋于零时趋于零时,上式为上式为 i i F V 这就是这就是卡氏第二定理卡氏第二定理（Castiglianos Second Theorem）（卡 氏定理 （卡 氏定理）（Castiglianos Theorem） 共1页70共1页70 (Energy Method) 70 （1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体 说明 ）卡氏第二定理只适用于线性弹性体 说明（Directions）： （ ： （2）Fi为广义力，为广义力， i为相应的位移为相应的位移 一个力一个力一个力偶一个力偶一对力一对力一对力偶一对力偶 一个线位移一个线位移一个角位移一个角位移相对线位移相对线位移相对角位移相对角位移 i i F V 共1页71共1页71 (Energy Method) 71 （3）卡氏第二定理的应用 （ ）卡氏第二定理的应用 （a） 轴向拉伸与压缩 （ ） 轴向拉伸与压缩 （b） 扭转） 扭转 x F xF EA xF EA xxF FF V iii i d )()( 2 )d( NN 2 N x F xT GI xT GI xxT FF V iii i d )()( 2 )d( pp 2 （c） 弯曲） 弯曲 x F xM EI xM EI xxM FF V iii i d )()( 2 )d( 2 共1页72共1页72 (Energy Method) 72 （4） 平面桁架） 平面桁架 i j n j jj i i F F EA lF F V N 1 N （5） 组合变形） 组合变形 i i F V 2 )d( 2 )d( 2 )d( 2 p 22 N lll i EI xxM GI xxT EA xxF F x F xM EI xM x F xT GI xT x F xF EA xF iii d )()( d )()( d )()( p NN 共1页73共1页73 (Energy Method) 73 例题例题14 外伸梁受力如图所示外伸梁受力如图所示,已知弹性模量已知弹性模量EI.梁材料为线弹性 体 梁材料为线弹性 体.求梁求梁C截面的挠度和截面的挠度和A截面的转角截面的转角. F A BC Me la FRA 共1页74共1页74 (Energy Method) 74 AB: BC: e1 e 11 )()(Mx l Fa l M xM 1 11 )( x l a F xM 1 )( 1 e 11 l x M xM 222 )(FxxM 0 )( e 22 M xM 2 22 )( x F xM A BC la FRA F x1 x2 解解: e RA MFa F ll Me 共1页75共1页75 (Energy Method) 75 1 0 11 d )()( x F xM EI xM w l C A BC la FRA F x1 x2 2 0 e 2222 1 0 e 11 d )()( d )()( x M xM EI xM x M xM EI xM al A 2 0 2222 d )()( x F xM EI xM a )( ) 363 ( 1 3 e 2 FalaMFla EI ) 63 ( 1 e FlalM EI Me （）（） 共1页76共1页76 (Energy Method) 76 例题例题15 刚架结构如图所示刚架结构如图所示 .弹性模量弹性模量EI已知。材料为线弹性已知。材料为线弹性. 不 考虑轴力和剪力的影响，计算 不 考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和截面的转角和D截面的水平位移截面的水平位移. A B C D a a 2a Me 解解 : 在在C截面虚设一力偶截面虚设一力偶 Ma , 在 , 在D截面虚设一水平力截面虚设一水平力F. )( 2 1 ea RR MM a F FF AyD FRD FRAx FRAy FF Ax R Ma F 共1页77共1页77 (Energy Method) 77 CD: xMM a FxM)( 2 1 )( ae x F xM )( a x M xM 2 )( a CB: aMM a FxM2)( 2 1 )( ae xa F xM 2 )( 0 )( a M xM AB:x F xM )( 0 )( a M xM x x A B C D a a 2a Me x FxM a FxxM )( FRD FRAx FRAy Ma F 共1页78共1页78 (Energy Method) 78 2a x x A B C D a a Me 0 0 a F Mx F V 0 0 a a F MC M V a xx EI 0 d0 1 a xxaM EI 0 e )d2( 1 a xx a xM EI 2 0 e d 2 1 )( 6 17 2 e EI aM 0d00dd 22 1 2 000 e e aaa xxMx a x a xM EI EI aM 3 2 e FRD FRAx FRAy （）（） Mc F 共1页79共1页79 (Energy Method) 79 例题例题16 圆截面杆圆截面杆ABC,（ABC=90）位于水平平面内）位于水平平面内,已知杆 截面直径 已知杆 截面直径 d 及材料的弹性常数及材料的弹性常数 E ,G .求求C 截面处的铅垂位移截面处的铅垂位移.不计 剪力的影响 不计 剪力的影响. A B C l l q 共1页80共1页80 (Energy Method) 80 BC:弯曲变形弯曲变形 x F xM )( 2 )( 2 qx FxxM A B l Q MB x A B C l l qF x x AB:弯曲与扭转的组合变形 （扭转变形） （弯曲变形） 弯曲与扭转的组合变形 （扭转变形） （弯曲变形） qlFF 2 2 ql FlM B xqlFQxxM)()( x F xM )( 2 )( 2 ql FlMxT B l F xT )( 共1页81共1页81 (Energy Method) 81 0 Fi F V 64 4 d I 32 4 p d I ll x F xT GI xT x F xM EI xM x F xM EI xM 0 p 0 d )()( d )()( d )()( lll xl ql GI xxqlx EI xx qx EI 0 2 p 00 2 d 2 1 d 1 )d)( 2 ( 1 )( 24 11 p 44 GI ql EI ql 共1页82共1页82 (Energy Method) 82 例题例题17 图示刚架各段的抗弯刚度均为图示刚架各段的抗弯刚度均为 EI .不计轴力和剪力的影 响 不计轴力和剪力的影 响. 用卡氏第二定理求截面用卡氏第二定理求截面 D 的水平位移的水平位移 D和转角和转角 D. Ma x F1 F ABC D ll 2 l 解解:在在D点虚设一力偶矩点虚设一力偶矩 Ma CD:弯曲变形弯曲变形 a )(MFxxM x F xM )( 1 )( a M xM 共1页83共1页83 (Energy Method) 83 但是轴力不计但是轴力不计,因此横截面上 的内力只计弯矩 因此横截面上 的内力只计弯矩. F1 ABC F 2Fl Ma 将力将力 F 向向C 简化得： 力 简化得： 力 F（产生拉伸变形） 力偶矩 （产生拉伸变形） 力偶矩 2Fl（产生弯曲变形）（产生弯曲变形） Ma（产生弯曲变形）（产生弯曲变形） AC产生拉伸与弯曲的组合变 形 产生拉伸与弯曲的组合变 形. 横截面上的内力有轴力和弯矩横截面上的内力有轴力和弯矩. F1 x F ABC D ll 2 l Ma 将将Ma向向C简化得简化得: 共1页84共1页84 (Energy Method) 84 x BC段：段： BA段：段： 1 )( a M xM 1 )( a M xM l F xM 2 )( l F xM 2 )( a 2)(MFlxM xFMFlxM 1a 2)( F1 F ABC D ll 2 l x F 2Fl x EI Fl 2 13 2 d1)2(d12 1 00 1 ll xxFFlxFl EI FF MD M V 1 a 0 a l xFx EI 2 0 d1 1 Ma Ma 共1页85共1页85 (Energy Method) 85 13-6 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法 (The method of moment areas for the mohrs integration) 等直杆的情况下等直杆的情况下,莫尔积分中的莫尔积分中的EI为常量为常量,可提到积分号外面可提到积分号外面 xxMxM EI l )d()( 1 xxMxM l )d()( 只需计算只需计算: 共1页86共1页86 (Energy Method) 86 因为是由单位力或单 位力偶引起的弯矩 因为是由单位力或单 位力偶引起的弯矩, 故沿杆长方 向的图一般是由直线或折 线组成 故沿杆长方 向的图一般是由直线或折 线组成. M(x)图一般是曲线图一般是曲线. M(x) M(x) l dx x C xC M(x)M(x) MC M M xxMxM l )d()( EI M x EI xMxM C l d )()( ( ) l tandx M xx tan CC xM 共1页87共1页87 (Energy Method) 87 xC C M(x) x x )(xM l 设在杆长为设在杆长为 l 的一段内的一段内M（x）图 是曲线 ）图 是曲线 BxAxM)( 设直线方程是设直线方程是M(x)是直线是直线, xxMxBxxMA xxM)BxA( xxMxM ll l l )d()d( )d( d )()( 00 0 l xxM 0 )d(为为 l 段内图段内图 M(x) 的面积的面积 xxM l 0 )d( 共1页88共1页88 (Energy Method) 88 M(x) x lx )(xM xC C C 为图为图M(x)的形心的形心,xC为其坐标 为图 为其坐标 为图M(x)对对 y 轴坐标的静矩轴坐标的静矩 l xxxM 0 )d( C l xxxM 0 )d( C cC ll l M xBAxBA xxMxBxxMA xxMxM )( )d()d( d )()( 00 C xBA 是和是和 M(x) 图的形心对应处的图的形心对应处的 M(x) 的值的值. 共1页89共1页89 (Energy Method) 89 M(x) x lx )(xM xc C 对于等直杆有对于等直杆有 d )()( 1 EI M xxMxM EI c l 即积分可用即积分可用M(x)图的面积图的面积 和与和与 M(x)图形心图形心C对应的的乘积来代替对应的的乘积来代替MC 当当M图为正弯矩时图为正弯矩时, 应代以正号应代以正号. 当当M图为负弯矩时图为负弯矩时, 应代以负号应代以负号. 也应按弯矩符号给以正负号也应按弯矩符号给以正负号.MC 注意注意 有时有时M(x)图为连续光滑曲线图为连续光滑曲线, 而为折线而为折线, 则应以折线的转折点为界则应以折线的转折点为界, 把积分分成几段把积分分成几段,逐段使用图乘法逐段使用图乘法,然后求其和然后求其和. M(x) 共1页90共1页90 (Energy Method) 90 b 几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式 a l 三角形三角形 C C l 顶点顶点 二次抛物线二次抛物线 3 bl 3 al 2 hl 8 5l 8 3l lh 3 2 共1页91共1页91 (Energy Method) 91 l 顶点顶点 c N 次抛物线次抛物线 l 顶点顶点 c 二次抛物线二次抛物线 3l/4l/4 3 hl 1 n hl l n n 2 )1( 2 n l 共1页92共1页92 (Energy Method) 92 例题例题18 均布荷载作用下的简支梁均布荷载作用下的简支梁,其其 EI 为常数为常数. 求跨中点的挠度求跨中点的挠度. A B C q l/2l/2 F A B C l/2l/2 以图的转折点为界以图的转折点为界,分两段使用图乘法分两段使用图乘法.M(x) 4l C1 1 C2 2 1 C M 2 C M 8 2 ql 8 25l/ 共1页93共1页93 (Energy Method) 93 24283 2 32 21 qllql l l MC 32 5 48 5 A B C q l/2l/2 A B C F l/2l/2 )( 384 5 32 5 24 2 43 21 EI qllql EIEI M EI M w CC C 4l C1 1 C2 2 1 C M 2 C M 8 2 ql 8 25l/ 共1页94共1页94 (Energy Method) 94 例题例题19 图示梁图示梁,抗弯刚度为抗弯刚度为EI,承受均布载荷承受均布载荷q及集中力及集中力F作用作用. 用图乘法求用图乘法求: （1）集中力作用端挠度为零时的）集中力作用端挠度为零时的F值； （ 值； （2）集中力作用端转角为零时的）集中力作用端转角为零时的F值值. F C AB al q 共1页95共1页95 (Energy Method) 95 F C AB解：解： a a l q M ql2/8 Fa 0 ) 2123 2 2 3 2 2 ( 1 32 aql - aFa aFal EI wC )(8 3 ala ql F 1 AB al C M 共1页96共1页96 (Energy Method) 96 例题例题20 图示开口刚架图示开口刚架,EI为常数为常数.求求A和和B两截面的相对角位移两截面的相对角位移 和沿 和沿F力作用线方向的相对线位移力作用线方向的相对线位移AB. a a a/2a/2 A B F F 共1页97共1页97 (Energy Method) 97 解：解： Fa/2 a/2 F F Fa/2 Fa/2 a/2 a/2 1 EI Fa EI Fa AB 3 2 ) 2 1 2 1 2 3 1 8 1 ( 2 3 3 0 AB a/2B a a a/2