柯西不等式毕业论.doc

摘要柯西不等式是一个非常重要的公式，对于柯西不等式的深入了解对于我们解决一些问题有非常大的帮助。本文给出了柯西不等式的二维形式、三角形式、向量形式、一般形式、推广形式、积分形式，对于柯西不等式的证明本文也给出了多种证明方法包括构造二次函数法、数学归纳法、配方法、均值不等式法、向量法、行列式证明法、利用二次型法、利用线性相关性法，本文结尾对于柯西不等式在距离问题、证明等式及不等式、解三角形和几何相关问题、求最值、利用柯西不等式解方程、用柯西不等式解释样本线性相关系数的应用给出了具体的例子，帮助大家更好的理解和掌握柯西不等式。关键词： 柯西不等式；形式；证明方法；应用；例子Abstract Cauchyinequalityis a very importantformula,for in-depth understanding ofCauchy inequalityforwe have thevery big helpsolve some of the problems.This papergives the Cauchy inequalitytwo-dimensionalform,triangular form,a vector of the form,the general form,extended form, integral form,theproof of Cauchy inequalityis also given in this papersome provingmethod includes the construction oftwofunction method,the mathematical inductionmethod,distribution,mean inequality method, vector method,the determinantmethod,provedby two method,usinglinear correlationmethod,in the end,the Cauchy inequality in thedistance problem,proving inequality,triangleand geometricproblems,solving the most value,using the Cauchyinequality usingCauchy inequalityinterpretationgives the sampleof the linear correlation coefficientequation,specific examples,to help youbetter understand and master theCauchy inequality.Key words:Cauchy inequality;form;proof method;application; examples目录前 言1一 柯西不等式的知识背景2二 柯西不等式的形式3（1）二维形式3（2）三角形式3（3）向量形式3（4）一般形式3（5）推广形式3（6）概率论形式4（7）积分形式4（8）小结4三 柯西不等式的证明方法5（1）构造二次函数法5（2）数学归纳法5（3）配方证明法6（4）向量证明法7（5）利用均值不等式法7（6）利用行列式证明柯西不等式8（7）利用线性相关性证明柯西不等式9（8）利用二次型9四 柯西不等式的应用11（1）距离问题11（2）证明等式及不等式12（3）解三角形和几何相关问题13（4）求最值13（5）利用柯西不等式解方程14（6）用柯西不等式解释样本线性相关系数15（7）小结16参考文献17致 谢1818前 言现在我国数学界对于柯西不等式的证明及应用都有非常深厚的认识，各位数学教授以及爱好柯西不等式研究的学者朋友们在柯西不等式的证明以及应用方面都给出了很好的方法和思路，而我现在首要的任务就是将大家的方法和思路做一个统一的整理，对柯西不等式结合初等数学、高等数学给出严谨的证明方法。让我们更加清楚的认识到柯西不等式的证明方法和应用层次，在论文中我也会参考书籍资料挑选好的例题来增强大家对柯西不等式的理解，更加完美的诠释柯西不等式的魅力所在。一 柯西不等式的知识背景不等式作为我们学习和生活中非常重要的工具，为我们的学习和生活带来了很大的便捷。在学习上巧妙的运用不等式能使我们遇到的问题迎刃而解，在生活中运用不等式可以统筹规划，放大资源的利用，使生产更有效更有利可图。而柯西不等式做为不等式的典型的存在，在我们学习中显得尤为重要，所以在高中柯西不等式就和广大的学子见面了，但是当时的我们稚嫩懵懂，只知道拿来主义的运用柯西不等式，而并未对它的由来做充分的研究，对它的证明以及更深层次的运用更加没有过了解，但是在上大学后再一次见到了柯西不等式，所以如今借着论文的形式来对柯西不等式做一个简单的了解和研究。柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。柯西出生巴黎，是一位虔诚的天主教徒，在数学领域取得了很多成就，柯西不等式的发现就是他众多成就之一。但是要说真正让柯西不等式发光发热，Buniakowsky和Schwarz两位数学家功不可没，因为正是他们独立的在积分学中推而广之，才将柯西不等式的近乎完善的呈现在大家面前。所以柯西不等式准确的讲应该称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式。就这样柯西不等式得到了大家的追捧，尤其是很多的数学学者对柯西不等式更是爱不释手，所以柯西不等式的运用可以说是无时无刻都在发展，现今已知的关于柯西不等式运用在求解距离问题、证明等式及不等式、解三角形和几何相关问题、求最值、利用柯西不等式解方程、用柯西不等式解释样本线性相关系数数学问题方面比较显著。如果说数学是思维的体操，那柯西不等式一定是体操教员，对初等数学有很重要的指导作用。柯西不等式能打破常规，锻炼学生的数学思维，很好的提高数学思考能力和解题能力，能高瞻远瞩，使用起来能方便的解决数学中的问题，提高解题的效率。二 柯西不等式的形式相信大家对于柯西不等式形式的都有所了解，最常见的就是一般形式，但其实柯西不等式除了一般形式以外还有其他很多种形式。充分的了解这些形式，势必会增加我们对柯西不等式的了解，在解题的过程中灵活的运用，选择合适的形式，使我们的解题达到事半功倍的效果。同样对于诸多形式的了解和掌握也会为我们学习更深层次的数学理论奠定良好的基础。具体如下：（1）二维形式若都是实数，则柯西不等式可表述为，当且仅当时，等号成立。（2）三角形式若都是实数，则柯西不等式表述为：，当且仅当时，等号成立。（3）向量形式若两向量模的乘积大于等于两向量点乘的模，即，其中两向量，为零向量或者则等号成立（4）一般形式等号成立的条件是：，或者均为零。（5）推广形式此推广式又称卡尔松不等式，其表述是：在矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于个列元素之和的几何平均之积。（6）概率论形式（7）积分形式（8）小结从上述的众多形式我们不难看出，对于高等代数、数学分析、概率论这三个看似没有联系的数学基础课程，其实是存在内在联系的，虽然柯西不等式在这三门课程中以不同的形式存在，也拥有不一样的名称，但是其实质意义是一致的。三 柯西不等式的证明方法对于柯西不等式的了解我们不能局限于外表的形式，更要了解柯西不等式的证明过程，这样在学习和运用柯西不等式的过程中能有更为清晰的思路，在运用中才能做到游刃有余，从而帮助我们更好的解决问题。对于柯西不等式的的证明方法多种多样，大家所熟悉的有像构造二次函数法、数学归纳法、配方法、均值不等式法这些比较容易理解的方法和掌握的方法，但其实还有向量法、行列式证明法、利用二次型法、利用线性相关性法这些虽然相对其他方法稍难理解和记忆，但在证明柯西不等式时，也是非常不错的几种方法。在加强我们对于柯西不等式的理解和运用存在着非常重要的作用。具体方法如下：（1）构造二次函数法恒成立即当且仅当即时等号成立综上柯西不等式成立（2）数学归纳法i）当时，有，柯西不等式成立当时，有当且仅当时，等号成立时，柯西不等式成立ii)假设时，柯西不等式成立即当为常数,或时等号成立设则当为常数，或时等号成立即时不等式成立综合i）ii）可知,柯西不等式成立（3）配方证明法即当且仅当即时等号成立综上所述柯西不等式成立（4）向量证明法设n维空间中有两个向量其中为任意两组实数由向量长度定义，有又由向量的内积定义，其中为的夹角再而所以于是有即当且仅当时，即与共线时等号成立由综上所述，柯西不等式成立。（5）利用均值不等式法当时，柯西不等式成立当时，柯西不等式可化为由均值不等式可知即当且仅当时等号成立综上所述，柯西不等式得证.（6）利用行列式证明柯西不等式首先存在定理：设其中则等于中所有的阶子试与中对应的子试的乘积之和即（当时规定右边为零）再用上述定理给出柯西不等式的行列式证明方法如下：令矩阵，则故但由上述定理知：而及为实数，故当且仅当与成正比时等号成立于是即柯西不等式得证.（7）利用线性相关性证明柯西不等式设为向量空间若则成立当且仅当向量与线性相关时证明：i)设与线性相关，则存在不全为零的，使所以有或者，其中以上两种情况带入柯西不等式两端均可使等号成立ii)设与线性无关，则对每一个有，即至少有一个使于是或者这里，否则与线性相关与题设矛盾于是有不全为零和这样就有即于是iii)若柯西不等式等号成立，则不然由ii)将推出柯西不等式不等号成立故综上所述柯西不等式成立（8）利用二次型对于不等式即关于的二次型非负定，那么即，柯西不等式得证 四 柯西不等式的应用对柯西不等式形式和证明方法的理解其目的在于让我们更好的运用柯西不等式，所以柯西不等式作为工具我们就应该对它的应用有一定的掌握。而这也正是柯西不等式的本质意义。柯西不等式在不等式中占据很重要的地位，掌握好柯西不等式并灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面都有很好的应用。对柯西不等式的应用相信大家也都了解一二，论文的意义也在于把更多的柯西不等式的应用思路清晰的呈现在大家的面前，在以后的学习和研究中希望能对大家有所帮助。所以通过对学者论文以及相关书籍的整理，梳理出了以下几方面对于柯西不等式的应用，在论文中也会给出相应的典型例题帮助大家更好的理解柯西不等式应用的巧妙之处。主要应用包括下列几方面:（1）距离问题利用柯西不等式证明：平面点到直线的距离公式证明：对直线上的任意一点得，且由柯西不等式得：则有当时，等式成立，由垂线段最短可得（2）证明等式及不等式已知正数满足证明证明：利用柯西不等式有又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：设，且，求证：证明：上述不等式可以写成由综上不等式成立。已知，求证：。证明：由柯西不等式得：当且仅当时，等号成立于是有。（3）解三角形和几何相关问题设是内的一点，是到三边 的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得记为的面积，则故不等式成立。（4）求最值已知实数满足试求的最值解：由柯西不等式得即由条件可得，解得，当且仅当时等号成立。带入时，时，已知，求的最小值。解：当且仅当即时取最小值。（5）利用柯西不等式解方程在实数集内求解方程组解：由柯西不等式得（1）又即不等式（1）中仅等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件得从而有方程组可得求解方程组 解：原方程组可化简为运用柯西不等式得，两式相乘得到当且仅当时取等号故原方程组的解为。（6）用柯西不等式解释样本线性相关系数在线性回归中，有样本相关系数当且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度就越小利用柯西不等式解释线性相关系数先设，则有，由柯西不等式有，当时，此时，为常数点均在直线上当时，即而为常数此时为常数点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而找不到合适的常数使得点不都在直线附近，所以越接近于0，则相关程度越小 。（7）小结综上所述的柯西不等式应用的解释也不是最完美的，但这只是起到一个抛砖引玉的效果，希望更多的学者朋友给出更多精彩的例子，来不断的完善柯西不等式的应用。参考文献1 黄卫. 柯西不等式证明及应用. 赤峰学院学报，2011(4)2 徐鸿迟. 柯西不等式的微小改动. 数学通报，2002(3)3 黄宣国. 柯西不等式与排序不等式. 南山，湖南教育出版社4 王莲花，李晔，李战国，刘芳. 柯西不等式的证明及应用. 河南教育学院学报，2003(1)5 国家教委办. 1990-年全国统一考试. 数学试卷6 李永新，李德禄. 中学数学教材教法. 东北师大出版社7 盛聚，谢式千，潘承毅. 概率与数理统计. 高等教育出版8 竺欢乐. 用柯西不等式解释样本线性相关系数. 数学通讯, 2004(7)9 G.Buskes, A.van Rooij. Commutativity and the Cauchy-Schwarz Inequality. Positivity, 2000, Volume 4, Number 3 227-23110 Hasan, M.A. Generalized Wielandt and Cauchy-Schwarz Inequality. American Control Conference, Proceedings of the 200411 Di Stefano, L.Mattoccia. A Sufficient Condition Based on the Cauchy-Schwarz Inequality Efficient Template