极限求解的若干方法-应用数学毕业论.doc

毕业论文论题方向：数学与应用数学方向课题名称：极限求解的若干方法指导教师：张秀英学生姓名：赵彦辉2015年4月11日摘要：高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。极限理论是一种近代发展起来的重要数学思想，也是数学分析的基础和首要的教学内容。极限理论所研究的是变量在其变化过程中的趋势问题，在数学分析课程教学中所讨论的极限问题大体上分为两类：一类是数列的极限，它是微积分的基础,贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹法,单调有界法,施笃兹公式法等方法进行求解。另一类是函数的极限，它也是微积分学中的一个关键问题,是学习的主要内容之一,对函数极限概念的理解及对函数极限求法的掌握至关重要。求极限是数学分析中困难问题之一，中心问题有两个：一、证明极限的存在性，二、求解极限值。这两者有密切关系，两者是辩证统一的。用极限解决问题的方式通常是先考察未知量并设法将其与变量相关联，并确认以无限的过程来得到未知结果。本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。本文主要探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分等求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明,并以实例加以例解,弥补了一般教材的不足。关键词：夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.目 录摘 要01 引言02 极限的求法02.1 利用两个准则求极限02.2 利用极限的四则运算性质求极限02.3 利用导数的定义求极限02.4 利用两个重要极限公式求极限02.5 利用级数收敛的必要条件求极限02.6 利用单侧极限求极限02.7 利用函数的连续性求极限02.8 利用无穷小量的性质求极限02.9 利用等价无穷小量代换求极限02.10 利用中值定理求极限02.11 洛必达法则求极限02.12 利用定积分求和式的极限02.13 利用泰勒展开式求极限02.14 换元法求极限03 结 论0参考文献0致 谢01 引言极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。2 极限的求法2.1 利用两个准则求极限(1)函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数 N,当nN时，有，且则有 . 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。例1 求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则 又因为 （2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例2 证明下列数列的极限存在，并求极限。 证明：从这个数列构造来看显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得. 因为前面证明是单调增加的。 两端除以得 因为，则，从而 即是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。 令 则 则。 因为 解方程得 所以2.2 利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算法则叙述如下：若 1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。(1) (2)2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。若 B0 则：3: 通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。 （为常数）上述性质对于总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例3：求极限(1) (2) (3) (4) 已知，求解：(1) (2) (3) (4) 因为 所以 2.3 利用导数的定义求极限导数的定义：函数在附近有定义，则， 如果存在，则此极限值就称函数在点的导数记为.即在这种方法的运用过程中。首先要选好。然后把所求极限。表示成在定点的导数。例4： 求 解：取，则 2.4 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式 但我们经常使用的是它们的变形：在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例5：求下列函数的极限 (1) (2) 解：(1) （2）例6： 解：令t=.则sinx=sin( t)=sint, 且当时 故 例7：求解：原式=例8: 求的极限解：原式=利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。2.5 利用级数收敛的必要条件求极限 利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限。例9： 求 解：设 则 由比值判别法知收敛 由必要条件知2.6 利用单侧极限求极限形如：(1) 求含的函数趋向无穷的极限，或求含的函数趋向于的极限;(2) 求含取整函数的函数极限(3) 分段函数在分段点处的极限(4) 含偶次方根或的函数以及的函数，趋向无穷的极限. 这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例10： 求在的左右极限 解： 2.7 利用函数的连续性求极限即：这种方法适用于求复合函数的极限。如果 在点连续,而在点连续，那么复合函数在点连续。即也就是说，极限号可以与符号f互换顺序。例11： 求 解：令, 因为 在点 处连续 所以 2.8利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果,在某区间有界，那么.这种方法可以处理一个函数不存在但有界和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。例12：求解：因为 所以2.9 利用等价无穷小量代换求极限定理1 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理2 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：。说明：当上面每个函数中的自变量换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时，； 。定理3 如果函数都是时的无穷小，且，则当存在时，也存在且等于，即=。等价无穷小量：当时，称是等价无穷小量：记为 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。例13：(1)求解： 由(2)求的极限解：由 而；（）；（）故有= 注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于，故有又由于故有arctanx，(x).另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中，若因有tanx，而推出 = 则得到的结果是错误的。2.10 利用中值定理求极限1微分中值定理：若函数 满足在连续 .()在可导；则在内至少存在一点，使 例14：求 解： 2积分中值定理：设函数 在闭区间上连续; 在上不变号且可积，则在上至少有一点使得 例15：求 解： 2.11 洛必达法则求极限在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达法则。定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、应用洛必达法则，要分别求分子，分母的倒数，而不是求整个分式的倒数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否认为未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例16：(1) 求 (2) 求解：(1) 由 所以上述极限是待定型(2) 它为型 由对数恒等式可得 例17：求解：容易检验f(x)=1+与g(x)=在的邻域里满足定理的条件和，又因= -故由洛比达法则求得，=在此类题目中，如果仍是型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则，即考察极限是否存在。当然，这是和在的某邻域内必须满足上述定理的条件。例18：求解：利用 （），则得原式=在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，如下例，例19：求解：这是型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适当的变换，计算上就会更方便些，故令当时有，于是有=2.12 利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数。把所求极限的和式表示成在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。例20：求解：由于 可取函数区间为上述和式恰好是 在上等分的积分和。 所以 2.13 利用泰勒展开式求极限泰勒公式是本章的一大难点，大家在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式。实际上，泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用，大家可以通过多做一些相应的练习题来体会。泰勒展开式：若在点有直到阶连续导数,那 例21：求 解：泰勒展开式 于是 所以2.14 换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。例22： 求 解：令 则 3 结 论 本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法,以上只是众多求解极限方法的一小部分，或许并不全面，大家如有兴趣可以继续探索新的求解方法。在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的, 从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格， 我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限。因为数学知识博大精深，我们目前只接触到一点点而已，我们应不停的接受知识，虽然我们还处在那数学的基础层，但这并不妨碍我们对数学的喜爱与学习。参考文献1 陈传璋,金福临编.数学分析（上下册）第二版M，上海：高等教育出版社,2006: 123-1462 蔡子华主编.2005年数学复习大全（经济类）M，北京：现代出版社,20