天津大学考研运筹学真题及解析.pdf

2009201320092013 年天津大学招收硕士学年天津大学招收硕士学 位研究生入学考试试题位研究生入学考试试题 832832 运筹学基础运筹学基础 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 1 目目 录录 天津大学招收天津大学招收 20092009 年硕士学位研究生入学考试试题年硕士学位研究生入学考试试题 2 2 天津大学招收天津大学招收 20102010 年硕士学位研究生入学考试试题年硕士学位研究生入学考试试题 8 8 天津大学招收天津大学招收 20112011 年硕士学位研究生入学考试试题年硕士学位研究生入学考试试题 1414 天津大学天津大学招收招收 20122012 年硕士学位研究生入学考试试题年硕士学位研究生入学考试试题 1919 天津大学招收天津大学招收 20132013 年硕士学位研究生入学考试试题年硕士学位研究生入学考试试题 2323 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 2 天津大学招收天津大学招收 20092009 年硕士学位研究生入学考试试题年硕士学位研究生入学考试试题 共七题。所有答案必须写在答题纸上，并写清楚题号，答案写在 试题上无效。 一、单项选择题（共 24 分，每题 3 分） 1、根据线性规划的互补松弛定理，影子价格大于零的资源一定 剩 余；安排生产的产品机会成本一定 利润。 A、没有，小于 B、没有，大于 C、没有，等于 D、有，等于 2、 目标线性规划模型的一个主要特点是引入了 变量， 模型的目标就 是这些变量的极 化。 A、正偏差，大 B、负偏差，小 C、正或负偏差，大 D、正或负偏差，小 3、线性规划模型中，若某一变量的目标函数系数发生变化，以下结果中不 可能出现的是 A、可行域改变 B、可行域不变 C、最优基不变，目标函数值改变 D、最优基不变，目标函数值 也不变 4、将非平衡运输问题化为平衡运输问题，在表上相当于增加一个虚设 的 ，在模型中相当于增加若干个 变量 A、产地，松弛 B、销地，剩余 C、产地或销地，松弛 D、产地或销地，松弛或剩余 5、网络最大流问题标号法的理论基础是： A、贝尔曼最优性原理 B、K-T 定理 C、单纯性原理 D、最大流最小截定理 6、矩阵对策又称 对策，它在纯策略意义下有解的充要条件是：该 解为 . A、二人有限，鞍点 B、二人有限零和，鞍点 C、二人有限零和，驻点 D、二人有限零和，K-T 点 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 3 7、某人收益为 x 的效用为 u(x)，若 u(x)对 x 边际递减，则他对风险的态 度是 。 A、风险中立 B、厌恶风险 C、追求风险 D、无法确定 8、基于蒙特卡洛法的系统模拟技术主要适用于对 系统进行模拟。 A、动态连续 B、静态连续 C、动态离散 D、静态离散 二(30 分)、某公司准备以甲、乙、丙三种原料生产 A、B、C、D、E 五种型 号的产品， 每一单位产品对各种原材料的消耗系数以及价格系数等已知条件 如下表： A B C D E 资源限量 甲 1 2 3 3 0 450 乙 4 3 2 1 1 400 丙 1 3 0 1 3 500 单位产品价 格 10 6 8 4 9 另外，根据客户要求，产品 C 和 E 的产量比应为 1 比 2，产品 B 的产量不小 于 50. (1) 列出在以上条件限制下，用于确定 A、B、C、D、E 五种产品的产量，使 总销量收入 z 最大的线性规划模型，令 、依次表示各型 号产品的产量，约束依上面所述顺序，并记住模型为模型 1； (2) 利用 Lindo 软件中解线性规划的程序解上述问题 （模型 1） ， 解得的部分 结果如下： OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1845.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 5.000000 0.000000 X2 50.000000 0.000000 X3 57.500000 0.000000 X4 0.000000 0.900000 X5 115.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 4 2) 172.500000 0.000000 3) 0.000000 1.700000 4) 0.000000 3.200000 5) 0.000000 2.300000 6) 0.000000 -8.700000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT RHS ALLOWABLE INCREASE ALLOWABLE DECREASE 2) 450.000000 INFINITY 172.500000 3) 400.000000 1150.000000 16.666666 4) 500.000000 25.000000 287.500000 5) 0.000000 16.666666 104.545456 6) 50.000000 16.666666 50.000000 根据以上计算结果，回答以下问题： 最优方案和最大销售收入各是什么？ 按次方案生产，现有的原料是否还有剩余？如有剩余，指出哪一样有剩 余，剩余多少？ 如果市场上有一卖主愿以每单位 2.0 的价格出售乙原料 500 单位，还有 另一买主愿以每单位 5.0 的价格收购丙原料 200 单位，那么该公司应选 择购买 500 单位乙还是出售 200 单位丙在收益上更为合算，为什么？ 若 D 产品的价格系数增大到 4.5 时，生产 D 产品是否会使总收入更大？ 为什么？ 在原考虑的 A、B、C、D、E 五种型号产品基础上，如果又提出新产品 F， 它对甲、乙、丙的消耗系数分别为 5、3、2，价格系数为 11，是否应考 虑生产 F，为什么？ 为提高产品质量，拟增加一道检验，A、B、C、D、E 五种产品每单位需 检验时间分别为 0.2，0.1，0.1，0.5，0.1（工时） ，可用于该项生产的 总检验工时为 25（工时） ，原最优生产方案会否因增加此要求而改变， 为什么？ 3) 写出模型 1 的对偶模型 三(24 分)、一项目分解成若干工作（工序） ，各工序的紧前工序、正常工作 时间如下表，要求： 工作 紧前工作 正常工作时间（天） A 2 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 5 B A 7 C A 4 D A 5 E D 5 G D、C 3 H D 4 K G 3 M G、H 4 N B、E 2 (1) 根据上表条件初步画出网络计划图如下图， 请检查这个网络图是否有遗 漏的工作（包括虚工作） ，如有，请予修改。 （注意：请将修改后的图画 在答题纸上，不能在下图上修改。 ） (2) 在修改后的图上标出正常工作时间下的关键线路（用双线或其它色笔） 并写出以下时间参数： 工作 N 的最早完成时间EF5-8= 工作 K 的最迟开始时间LS6-8= 工作 C 的总时差TF2-4= 此时的项目完工期T= (3) 若因合同变更要求工期比原计划提前 2 天， 经分析， 有些工作可以适当 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 6 缩短工作时间（赶工） ，下表给出了可以缩短的工作、它们的最短工作 时间和直接费率（缩短 1 天增加的费用） ，表中未列出的工作不能缩短 时间。现要求以尽可能小的总费用实现该工期，哪些工作应赶工，赶工 几天？调整后该网络计划有几条关键线路？ （简要说明调整的过程， 画 出最终调整后的网络计划图并标出各条关键线路。 ） 工作 最短工作时间（天） 直接费率（百元/天） B 5 2 C 3 3 D 4 9 E 4 2 H 3 5 M 3 3 四(18 分)、 有一牧场， 开始时有 200 头牲畜， 场主在每年初需要做出决策： 要卖出多少头，继续饲养多少头。已知一年间饲养和繁殖的结果，年末头数 是年初的 1.4 倍。每头每年的饲养费用是 300 元（以年初头数计） ，如果卖 出，每头价格 p 与卖出头数 u 的关系是 p=2000-0.2u，0u10000 现场主需做一个 5 年的决策计划， 使总收入最大。 请建立此问题的动态 规划模型：写出其阶段变量、状态变量、决策变量、状态转移、阶段指标、 递推方程（不解） 。 五(15 分)、对于系统容量有限的 M/M/1 排队模型（M/M/1/N/） ，设顾客的 平均到达率为，系统的平均服务率为，系统状态概率为 Pn。证明 (1-) = (1-0) 并解释此等式的直观意义。 （提示：0= 1 1+1， = 0， = ） 六(24 分)、某工程公司正在进行某一建筑的主体结构施工，正当雨季，需 停工两个星期，停工期间，工程队可将施工机械搬走或留在原处。如搬走， 搬运费 1800 元；如留在原处，一种方案是花 500 元做防护措施，防止雨水 浸泡机械，若不做防护措施，发生（高水位）雨水浸泡将损失 10000 元，若 下暴雨发生洪水，则不管是否有防护措施，施工机械留在原处都将受到 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 7 60000 元损失。据历史资料记载，该地区夏季高水位发生率是 25%，洪水的 发生率是 2%。该工程公司需要对此做出决策。 (1) 请画出决策树，并依据最大期望收益准则求解； (2) 对结果进行分析，在实际决策中或由期望效用准则可能会怎样? 七(15 分)、某公司生产的产品需要一种配件。原先该公司一直采用不允许 缺货的经济批量公式确定订货批量， 现出于成本原因公司考虑采用允许缺货 （随后补上）的策略。已知该公司产品的需求为R=800 件/年，每次对配件 的订货费用为C1=150 元，存储费为C2 =3 元/件年，发生缺货时的损失为 C3 =20 元/件年。 (1) 计算采用允许缺货的策略较之原先不允许缺货策略带来的费用上的节 约； (2) 如果公司为保持一定的信誉，自己规定缺货的比例不高于 15%，请分析 这种情况下，允许缺货的策略是否还能被采用？ 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 8 天津大学招收天津大学招收 20102010 年硕士学位研究生入学考试试题年硕士学位研究生入学考试试题 注：所有答案必须写在答题纸上，并写清楚题号，答案写在试 题上无效。 学术型考生做一至七题，全日制专业学位考生做一至六和 八题。 一、单项选择题（共 12 分，每题 2 分） max = max = 1、 记P为 线 性 规 划 .AX b 0 ， 又 记IP为 整 数 规 划 . AX b 0 且为整数 ，则 P 的目标函数最优值（ ） A、不大于 IP 的目标函数最优值 B、不小于 IP 的目标函数最优值 C、等于 IP 的目标函数最优值 D、 可能大于也可能小于 IP 的目标 函数最优值 2、将非平衡运输问题化为平衡运输问题，在表上相当于增加一个虚设 的 ，在模型中相当于增加若干个 变量。 （ ） A、产地，松弛 B、销地，剩余 C、产地或销地，松弛 D、产地或销地，松弛或剩余 3、已知 T 是图 G 的一棵支撑树，以下结论中正确的是（ ） 。 A、T 是使 G 的所有顶点都连通的边数最少的 G 的子图。 B、T 的边数等于 G 的顶点数。 C、T 是连通的，且可能有图。 D、T 的顶点数可能少于 G 的顶点数。 4、某电子设备厂对一种元件的需求为每年 2000 件，不需要提前订货，每 次订货费为 25 元。该元件每件成本为 50 元，年存储费为成本的 20%。则每 次订货的最佳批量为（ ） 。 A、150 B、135 C、120 D、100 5、 排队系统中的队长是指 ， 其概率分布中的表示 。（ ） A、系统中的平均顾客数，系统中有 n 个顾客的概率 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 9 B、系统中的平均顾客数，系统中平均有 n 个顾客的概率 C、系统中的顾客数，系统中有 n 个顾客的概率 D、系统中的顾客数，系统中平均有 n 个顾客的概率 6、 设 R 为0， 1上均匀分布的随机变量， X 是分布函数为 F(x)的随机变量， 则 X=（ ） 。 A、1() B、1() C、() D、() 二(18 分)、一个连锁公司正在考虑其在四个城市：北京、上海、西安和兰 州的货栈的运营计划。 这些货栈可以运营也可以不运营， 每个货栈每周能够 存储 100 单位的货栈，如果运营，每周的运营费用分别为：北京 4000 元， 上海 5000 元，西安 3000 元，兰州 1500 元。这些货栈存储的货物将运送到 A、B、C 三个区，A 区每周需要 80 单位货物，B 区每周需要 70 单位货物，C 区每周需要 40 单位货物，从不同货栈到各区的单位运费如表 1 所示，货栈 的运营还受到以下条件限制： (1) 如果北京货栈和上海货栈都运营，则西安货栈不运营； (2) 只有上海货栈运营，兰州货栈才运营。 建立本问题的数学规划模型， 在满足上述需求与限制的条件下使公司每周的 运营与运输成本最小（不解） 。 表 1 单位运费（元/单位） 货栈货栈 目的地目的地 A区 B 区 C 区 北京 20 40 50 上海 48 15 26 西安 26 35 18 兰州 24 50 35 需求量需求量 80 70 40 三(20 分)、 有 6 万元资金拟向三个项目投资， 三个项目的预期收益分别为： 1(1)21 + 7 1 0 0 1= 0 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 10 2(2)32 + 5 2 0 0 2= 0 3(3)43 + 3 3 0 0 3= 0 式中是对项目 i 的投资， 均取万元的整数倍。 问如何分配各项目的投资额， 使总收益最大。如用动态规划方法求解本问题（按逆序递推） ，要求： (1) 写出本问题的状态变量，决策变量以及第 2 阶段状态为 2 的允 许决策集合2(2)的定义或表达式； (2) 写出本问题的状态转移方程和递推方程； (3) 计算第 2 阶段状态为 4 的最优指标函数2(4)和最优决策2 (4). 四(30 分)、一项目分解为若干工序，各工序时间受不确定因素影响，因而 对各工序时间做“三点估计”，然后应用公式 (，) = +4+ 6 和 2 = ( 6 ) 2 分别计算出各工序时间的均值和方差，计算结果连 同各工序的紧前工序列于表 2。 表 2 工序 紧前工序 工序时间均值（天） 工序时间 A 1 0.00 B 1 0.11 C A 2 1.33 D A 1 0.00 E D 4 1.78 F C，E 18 9.00 G E 2 0.00 H E 7 2.78 I G，H 3 0.11 J H 4 1.11 K I，J 12 2.66 L F，K，M 3 0.00 M B，D 7 1.88 要求： (1) 根据表 2 条件画出网络计划图的一部分如下图， 请在答题纸上画 出网络计划图； （注意：必须将图画在答题纸上，不能在下图上修改） 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 11 (2) 如要求以 0.85 的可能性完成预定工期， 这一预定工期应为多少 天？（要分析计算的过程，可利用附表） ； 附表：标准整态分布数值表 X X 1.001.00 1.041.04 1.081.08 ( (x x) ) 0.840.84 0.850.85 0.860.86 (3) 如工序 1 的施工环境发生较大变化，需对其工序时间重新进行 三点估计，得到乐观估计时间为 6 天，悲观估计时间为 8 天，最可能时间为 7 天，此时若还要求项目在(2)中得到的预定工期内完成，可能性（概率） 为多少？ 五(30 分)、某车站的一个车场办理接进列车的作业，列车接近后，即可由 机车推顶通过驼峰而分解车辆，分解完毕，该列车则离开车场。设列车到达 强度为平均每小时 3 列。 机车推顶列车可视为列车接受服务， 平均服务时间 （从推顶开始至整个列车离开车场）为 15 分钟，并服从负指数分布。推顶 机车仅一台，车场配备若干股道以停放列车，当股道无空闲时，到达的列车 就要暂时被拒绝接入车场而排在场外等候。 (1) 证明：这时的拒绝接车率 = ，其中 n 为股道数， = ； (2) 若管理者考虑到维持铁路线上列车运行的正常秩序， 希望拒绝接 车率不超过 10%，试问车场至少应配备多少股道？ 六(10 分)、设矩阵对策G = (A，1，2)，其中= （这时 G 称为反对 称型矩阵） 。证明：对策 G 的值 v = 0。 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 12 七(30 分)、 （全日制专业学位考试不做第七题，做第八题） 考虑线性规划问题（P） min = b 0 其中X = (1, ) ， 表示某工厂第 j 中设备用于生产 m 种产品时的 运行时间（小时） ，C = (1, ) ， 表示第 j 种设备每小时的运行费 用，A = ()，表示第 j 种设备每小时生产第 i 种产品的数量，b = ( 1, ) ，表示第 i 种产品的市场需求。 如果这时有一个推销同类产品的中间商人愿以价格1, 向 工厂提供所生产的产品，现列出其与(P)对偶的线性规划问题(D) max = C 0 其中Y = (1, ) ，请解释： (1)(D)的目标、约束的实际意义； (2)(P)中资源影子价格的实际意义； (3) 对偶性质CX YXA Yb的实际意义，以及该不等式均为 等式时的实际 意义。 八(30 分)、 （全日制专业学位考试做，学术型考生不做） 某公司生产一种化工产品， 其质量主要取决于所用原料的纯度， 根据统计信 息可将原料分成“纯度好”和“纯度差”两种状态，其概率均为 0.5。最早 考虑在产品生产前增加一道“提纯”工序，使原料处于“纯度好”的状态， 但费用颇大。收益表如表 3 所示。 表 3 表 4 提纯提纯 ( (d d1 1) ) 不提纯不提纯 ( (d d2 2) ) 纯度好纯度好1 1 (0.5)(0.5) 10001000 40004000 P(P() ) P(P(X Xi i / /) ) x x1 1 x x2 2 P(P(X Xi i) ) x x1 1 x x2 2 P(P(X Xi i ) ) x x1 1 x x2 2 1 1 0.50.5 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 13 纯度差纯度差2 2 (0.5)(0.5) 10001000 100100 2 2 0.50.5 P(xP(x1 1)=)= P(xP(x2 2)=)= 为此，有人建议在生产前对原料进行检验，以决定是否做提纯处理。今公司 准备对原料采用抽样检验以节约费用， 根据以往经验， 抽样检验后得出“纯 度好”（记1）的信息其可靠度为 90%，而得出“纯度差”（记2）的信息 其可靠度为 80%。抽检费用为 50 元。 (1) 根据先验概率分析，公司应不应该对原材料进行“提纯”？ (2) 计算该问题的完全信息期望值 EVPI， 并据此进行初步判断， 有没有 必要对原料采用抽样检验？ (3) 填完表 4 所示的后验概率计算表格（要求小数点后保留 2 位） 。进 行预后分析，并据此判断有没有必要对原料采用抽样检验？要求画 出决策树。 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 14 天津大学招收天津大学招收 20112011 年硕士学位研究生入学考试试题年硕士学位研究生入学考试试题 注：所有答案必须写在答题纸上，并写清楚题号，答案写在试 题上无效。 学术型考生做一至七题，全日制专业学位考生做一至五和 八题。 一(35 分)、食品罐头厂建立一个用于收购桃子的线性规划，厂内生产两种 桃子的产品：罐头和果脯，收购的桃子分为 A 和 B 两个等级，罐头全部由 A 级桃子制作，而果脯用 A 级和 B 级混合制成。目标是满足约束的条件下，获 利最大的收购计划。设： 1=用于制罐头的 A 级桃吨数， 2=用于制果脯的 A 级桃吨数， 3=用于制果脯的 B 级桃吨数， 线性规划模型如下（重量单位：吨，货币单位：千元） max = 0.151+ 0.122+ 0.123 . 1 180 （罐头需求量） 2 + 3 125 （果脯需求量） 1 + 2 225 （A 级桃数量） 3 75 （B 级桃数量） 42 + 3 0 （果脯质量要求） 1,2,3 0 问题 1. 加入松弛变量48，已写出初始单纯形表如表 1。 表 1 0.15 0.12 0.12 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 180 1 1 1 125 1 1 1 225 1 1 75 -4 1 1 0 0.15 0.12 0.12 在表 1 的基础上经过迭代，得到某单纯形表如表 2，请将表 2 填写完整。 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 15 表 2 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -4 4 -1 1 -0.03 问题 2. 据表 2 回答一下问题： 1. a) 写出现阶段基本可行解（变量名称、含义）及目标函数值； b) 判断该解的最优性并给出原因； c)是否存在其他解？为什么？ 2. 食品厂愿为增添 1 吨 A 级桃子支付的单价不超过多少？以此价购买的数 量是多少？ 3. 确定保持最优解不变，用于制作罐头桃子的单位利润变化的范围。 4. 一种新产品桃干是由 A、B 级桃各占一半制成，为了使其经济上可行，其 最低定价为何？ 二(20 分)、设，分别为下列两个问题 (I) min (II) min .t.Ax = b,x 0, .t.Ax = b + d,x 0, 的最优值， 是问题(I)的对偶问题的最优解。 使证明：+ () . 三(20 分)、 如下图， 节点 1， 2， 3 表示 3 个储油罐； 4， 5， 6 表示 3 个泵站； 7，8 是两个需求点。各条弧表示连接管道，弧上带括弧的数字是该段管道 的容量。储油罐的储油足够多。要求： (1) 各管道的输油量分别为多少时两个需求点得到油最多？ (2) 原管道上的阀门已老旧，现考虑更换部分管道上的阀门，更换的费 用与管道的容量成正比，假设各管道更换阀门的费用均为容量的同 一系数 k(k0)。 确定至少更换哪几条管道上的阀门即可完全控制向 两个需求点的供油量而且花费最少。 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 16 四(25 分)、一复合系统的结构如下图示意，它由 4 个部件串联组成，第 k 个部件的功能由该部件专用的原件完成，为提高系统的可靠性，第 k 个 部件可在原有一个元件的基础上再并联一个相同的元件(因空间所限，只 能并联一个)，若第 k 个元件的可靠度为，则第 k 个部件的可靠度为= (1 )+1，= 0 或 1，表示是否再并联一个元件，整个系统的可靠 度为各部件可靠度的乘积。 已知 4 种元件的可靠度及价格如下如表 3 表 3 元件 单价Ck（元/个） 可靠度Pk E1 40 0.95 E2 15 0.90 E3 25 0.95 E4 10 0.85 假设该系统每个部件已有一个元件，现又有 50 元经费用于提高系统的可靠 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 17 性， 要求确定在哪个部件上再并联一个元件使系统的总可靠性最大？现拟用 动态规划方法解决问题，要求： (1) 写出状态变量、决策集合、状态转移方程、阶段指标、 （逆序） 递推方程和终端条件的表达式。 (2) 分析第 3 阶段的状态集合，并计算第 3 阶段状态为 35 时的最优指 标函数值。 五(20 分)、高速公路有一个入口 A 和一个出口 B。入口 A 收费取卡，出口 B 验卡通关。A 和 B 都只有一个通道。车辆到达服从 Poisson 分布，收费时间 服从负指数分布，入口 A 车辆到达平均速率为 5 辆/分钟，平均收费取卡时 间为 10 秒/辆。出口 B 车辆平均验卡通关时间为 6 秒/辆。 (3) 求收费站 A 的平均驻留车辆数，排队等待收费的平均车辆数，车辆 平均驻留时间，车辆平均排队等候时间，收费站 A 忙的概率，收费 站 A 空闲的概率。 (4) 求收费站 B 的车辆平均到达速率。 六(15 分)、 （该题为学术型考生必答） 甲乙两人进行零和对策，两人的纯策略集分别为1= 1，2，3，2= 1，2，3， 甲的赢得矩阵为 A = 314 29 215 当 x 为何值时， 矩阵对策G = 1，2，A在纯策略下有解，且对策值为 x？ 七(15 分)、 （该题为学术型考生必答） 证明决策分析中采用最大期望收益准则 （EMV） 和最小期望机会损失准则 （EOL） 求最优决策所得的结果是一致的。 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 18 八(30 分)、 （全日制专业学位考试做，学术型考生不做） 某服装厂设计了一款新式女装准备推向全国， 如直接大批生产与销售， 主观 估计成功与失败的概率各位0.5， 成功与失败的获利分别为1200万元和-500 万元，如果取消生产销售计划，则损失设计与准备费用 40 万元。为稳妥起 见，可先小批试销，试销的投入需 45 万元，根据历史资料与专家估计，试 销成功的占 84%，大批生产试销失败的事例中试销成功的占 36%。试根据以 上数据， 先计算在试销成功与失败两种情况下， 进行大批量生产与销售时成 功与失败的各自概率，再画出决策树按期望值准则确定最优策略。 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 19 天津大学招收天津大学招收 20122012 年硕士学位研究生入学考试试题年硕士学位研究生入学考试试题 二、单项选择题 2、 管理科学是以 为指导的一门技术科学， 以 的方法分析和 解管理决策的技术科学。 A、系统观，定量 B、唯物观，定性 C、系统观，确定 D、 唯物观，定量 2、 根据线性规划的互补松弛定理， 影子价格大于零的资源一定 剩余； 安排生产的产品机会成本一定 利润。 A、没有，小于 B、没有，大于 C、没有，等于 D、有，等于 max = max = 3、 记P为线性规划.AX b 0 ， 又记IP为整数规划. AX b 0 且为整数 ， 则 P 的目标函数最优值（ ） A、不大于 IP 的目标函数最优值 B、 不小于 IP 的目标函数最优 值 C、等于 IP 的目标函数最优值 D、可能大于也可能小于 IP 的目标函数最优值 4、网络最大流问题标号法的理论基础是： A、贝尔曼最优性原理 B、K-T 定理 C、单纯性原理 D、最大流最小截定理 5、矩阵对策又称 对策，它在纯策略意义下有解的充要条件是：该 解为 . A、二人有限，鞍点 B、二人有限零和，鞍点 C、二人有限零和，驻点 D、二人有限，K-T 点 6、某人收益为 x 的效用为 u(x)，若 u(x)对 x 边际递减，则他对风险的态 度是 。 A、风险中立 B、厌恶风险 C、追求风险 D、无法确定 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 20 7、排队系统中的队长是指 ，其概率分布中的表示 。 A、系统中的平均顾客数，系统中有 n 个顾客的概率 B、系统中的顾客数，系统中有 n 个顾客的概率 C、 系统中的平均顾客数，系统中平均有 n 个顾客的概率 D、系统中的顾客数，系统中平均有 n 个顾客的概率 8、 设 R 为0， 1上均匀分布的随机变量， X 是分布函数为 F(x)的随机变量， 则 X=（ ） 。 A、1() B、1() C、() D、() 二、考虑线性规划问题(P) min = 1+ 2+ 1.53 . 1+ 3= 1 2+ 3= 1 1,2,3 0 (1) 写出(P)的对偶模型(D)，并用图解法求解(D)； (2) 将 D 增加松弛变量后化为等式； (3) 由互补松弛定理，本题(P)和(D)的最优解满足= 0，对所有 j，若 还满足+ 0，则称解是严格互补的。请以本题说明：当(P)和(D) 中有多重最优解时，则满足严格互补条件的解是多重最优解中的非顶点 解。 （提示：可由观察法得到，(P)的最优解为x= (0,0,1)T） 。 三、一项目的网络计划图如图 1，有关数据见表 1， 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 21 图 1 项目网络图 表 3 工作时间和资源数据 工作 正常工作时 间（天） 最短工作时 间（天） 直接费率 （百 元/天） 每天需人 工数（人） A 2 2 2 B 6 5 8 3 C 2 2 2 D 4 3 1 2 E 4 3 6 2 F 2 2 1 G 3 2 2 3 H 2 2 2 要求： (1) 计算各工作为正常工作时间时以下时间参数 工作 F 的自由时差时间 FF3-5= 工作 C 的总时差 TF2-3= 工作 D 的最早完成时间 EF2-4= 工作 A 的最迟开始时间 LS1-2= 此时的关键线路和（计算）工期 (2) 若因合同变更要求工期比原计划提前 1 天，并要求以尽可能小的费用增 加实现该工期，应让哪个工作赶工（缩短时间）？ (3) 如果该项目每天最多只能提供 5 个人工，在原计划各项工作均在最早开 始时间开工的基础上，应如何调整某些（或某个）工作的开始时间，以 满足这一资源限制，又不延长工期？ 四、 某企业一个产品的生产中用到一种检测仪器， 预测今后 5 年该仪器的年 初购买价格c(k)如表 2。 为保持必要的精度， 该仪器最多使用 3 年就要淘汰 更新，淘汰的仪器可以有偿转让给其它要求精度较低的企业，预测使用 t 年后的仪器转让收入 n(t)见表 3， 购置的新仪器在使用 t 年后再用 1 年的运 营费用 m(t)也见表 3。 现企业需制定该仪器 5 年的更新计划， 使总成本最小 （5 年末该仪器不再使用，其转让所得抵消部分成本） 。本问题可用动态规 划方法求解。 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 22 表 2 预测第 k 年初的购买价格 时间 k 1 2 3 4 5 价格 c(k)(元) 10000 10000 11000 12000 13000 表 3 预测的m(m(t t) )和n(n(t t) ) 已使用时间 t 0 1 2 3 运营费用m(t)(元) 800 1200 1800 转让收入n(t)(元) 9500 8000 6000 4500 若选择第 k 年初仪器已使用的年数为状态变量， 请写出： 决策变量、 决策集合()、 状态转移方程、 阶段指标(,)、 （逆序） 递推方程 （含 终端条件）的表达式，第 5 阶段和第 4 阶段的状态集合5和4（不解） 。 五、进货成本每架 100 美元，每次进货的订货成本为 5 美元。假设进货后占 用的资金（机会成本）损失为每 1 美元每年 20 美分，请问商店每隔多长时 间进一次货、每次进货多少架可使总成本最低？ 六、某仓库贮存的一种商品，每天的到货与出货量分别服从泊松分布，其平 均值分别为和， 因此该系统可近似看作是 （M/M/1/） 的排队系统。 设进货的商品至出货前（包括正在出货）在该仓库的存贮费每天每件1元， 仓库一旦发生缺货，其损失为每天每件2元，已知2 1 0，要求： (1) 推导每天总期望费用的公式； (2) 求使总期望费用为最小的 = 的值； (3) 分析：随着2和1的差距逐渐增大，为使总期望费用最小， 和 的关 系将发生怎样的变化？ 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 23 天津大学招收天津大学招收 20132013 年硕士学位研究生入学考试试题年硕士学位研究生入学考试试题 注：所有答案必须写在答题纸上，并写清楚题号，答案写在试 题上无效。 学术型考生做一至七题，全日制专业学位考生做一至六和 八题。 三、单项选择题（共 18 分，每题 3 分） 3、 运筹是一门以 技术为主要工具，为管理决策提供科学依据的 科学，其核心思想是 。 A、定量；基础；整体优化 B、定量；技术；整体优化 C、定量；工程；系统工程 D、定性；哲学；系统观 2、下述这些图形阴影部分都是一些数学模型可行域，则 描述是正确 的。 A、I,II 是线性规划可行域，但 III,IV 不是线性规划可行域 B、II,III 是线性规划可行域，但 I,IV 不是线性规划可行域 C、I,II,III 是线性规划可行域，但 IV 不是线性规划可行域 D、以上四个都不对 3、下列 不是 EOQ 库存模型的影响因素。 A、需求率 B、订货量 C、存储费 D、缺货量 4、对于 M/M/1/ /的排队系统，若已知稳态时顾客平均到达率为，服 务机构的平均服务率为， 系统的状态概率( = 0,18)， 则稳态情况下， 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 24 系统的有效到达率为 。 A、8 B、 C、0 D、8 5、某人收益为 x 的效用为 u(x)，若 u(x)对 x 边际递增，则他对风险的态 度是 。 A、风险中立 B、厌恶风险 C、追求风险 D、无法确定 6、设 R 为0，1区间上 分布的随机变量，X 是分布函数为 F(x)的随机 变量，则 X= 。 A、0-1，1() B、二项，1() C、泊松，1() D、 均匀，1() 二、(20 分) 某产品有 A1 和 A2 两种型号，需要经过 B1、B2、B3 三道工序， 其中 B3 工序有两种加工方式 B31 和 B32，只能选择其中一种加工方式。两 种产品型号对各工序的每周单位工时消耗， 两种产品型号的单位利润， 以及 各工序每周工时限制见表所示。 问工厂如何安排生产， 才能使总利润最大？ 要求产量为整数，只列模型，不求解。 三、(25 分)某工厂生产 N 种产品，它们都要使用某种原材料，现该原材料 共有a吨， 若分配吨原材料给j种产品， 则可生产的收益g()j=1.2N 现 工厂需拟定总收益最大的原材料分配方案， 试就以下 1、 2 两小题选答一题。 1.(1)写出此问题的数学规划模型 (2)拟用动态规划方法求解，请写出此问题的阶段变量，状态变量，决策 变量，状态转移方程，阶段指标，指标函数，基本方程（不解） 。 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 25 2.若工厂生产 N=3 种产品（分别称为 A,B,C）共有原材料 a=3 吨，各种产品 被分配该原材料后产生的收益表见表 2。 请用动态规划方法求解使总收益最 大的分配方案。 表 2 分配量 产 品 A B C 0 0 0 0 1 10 6 8 2 17 17 11 3 20 18 11 四、(32 分)某项目初拟网络计划如图 1 图 1 初拟网络计划图 在审核时，项目经理指出：因工作 A、E、M 用同一台设备施工，必须按 一定的顺序，既可以先 A 后 E 再 M（此为方案 1）也可以先 E 后 A 再 M（此 方案 2）要求： (1) 画出方案 1 即先 A 后 E 再 M 方案的网络计划图； (2) 图 2 是方案 2 即先 E 后 A 再 M 的方案网络计划图，求关键路线和工期。 图 2 方案 2 网络计划图 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 26 (3) 该项目最终选定方案 2 实施，在进行到第 10 天时，对实际进度做了调 查，发现工作 B、E 已完成。工作 C 只完成一部分，余下的部分还需 4 天时间才可以完成，其它工作都还没开始。若不对尚未完成的工作做任 何调整，则工期将比原计划拖后几天？ (4) 技术人员对(3)中提到的检查情况对尚未完成的工作做了如下分析：工 作 A 可以赶工（缩短）1 天，每赶工 1 天需增加 7（千元）费用，工作 D 可以赶工（缩短）2 天，每赶工 1 天需增加 4（千元）费用，工作 G 可 以赶工（缩短）2 天，每赶工 1 天需增加 6（千元）费用，工作 F 可以 赶工（缩短）2 天，每赶工 1 天需增加 5（千元）费用，工作 N 可以赶 工（缩短）1 天，每赶工 1 天需增加 3（千元）费用，其他工作不能赶 工，根据以上条件给出使工期仍为原方案 2 工期且增加费用最低的调整 方案。 五、(20 分)某企业为改善经营管理降低成本，拟建立主要原材料的经济批 量和安全备用量制表，根据过去消耗情况得知耗用量、到货期均不固定。 分析以往资料得知主要原材料才 100 周内每周的消耗数量 （见表 3） 以及 100 次到货所需的时间统计表（见表 4） 表 3 主要原材料每周需用量统计表 需用量 （件） 0 1 2 3 4 5 6 次数 2 8 22 34 18 9 7 累积概率 2 10 32 66 84 93 100 对应的随 机数 00-01 02-09 10-31 32-65 66-83 84-92 93-99 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 27 表 4 主要原材料到货时间统计表 到货时间（周） 1 2 3 4 5 次数 23 45 17 9 6 累积概率 23 68 85 94 100 对应的随机数 00-22 23-67 68-84 85-93 94-99 成本部门核算这种原材料存货每周占成本为 10 元/本，每批订购费 25 元，缺货损失为 100 元/件，初步确定库存量不足 13 件时就要订货，订货批 量每次 16 件，设期初余额为 20 件，基于表 5 给出的随机数，模拟 14 周的 使用、到货、存货量及成本，并计算第 14 周的平均成本。 表 5 主要原材料到货量、存货量及成本统计表 周 需要数量（件） 到货情况（周） 存货数量（件） 成本 订购成 本 缺货 损失 总成本 随机数 需求量 随机数 到货时间 到货量 余额 0 1 33 2 50 3 13 82 4 59 5 30 6 24 7 02 8 15 9 38 10 12 85 11 92 12 79 13 59 14 11 六(10 分)、某服务机构共有两个服务窗口，假设顾客到达服从泊松分布， 窗口服务时间服从负指数分布。现考虑如何设置排队规则，有两种方案： 每个窗口各排一队，这时可认为每个窗口的=4，=5；两个窗口共排一 队，这时可以认为两个窗口总共的=8，每个窗口的=5， （提示在 M/M/C 20092013 年天津大学招收硕士学位研究生入学考试试题 28 中，= 1 0 !(1)2, 0 = () !(1) + () ! 1 =0 1 ） 七(25 分) （全日制学术型考生做） (1) 证明： 若1= 1，2，1， 2= 1，2，2， 1= ()， 2= (+ )，则1，2同解，并且2= 1+ . (2) 考虑两个混合策略矩阵对象，设局中人 I 的赢得矩阵 A= 133 421 322 ，证 明：X= (1 3,0, 2 3) 和Y = (1 3, 1 3, 1 3) 分别为局中人 I 和 II 的最优混合策略，对象值= 7 3； (3)