毕业论文-浅谈中学数学中的逆向思维.doc

学科代码：070101 学 号：092014020059 贵 州 师 范 大 学 求 是 学 院（本 科）毕 业 论 文 题 目：浅谈中学数学中的逆向思维 -以实习学校学生解题为例 院 系：求是学院 专 业：数学与应用数学 年 级：2009级 姓 名：晏 勇 指导教师：罗 淼(副教授)完成时间：2013年 4月15日浅谈中学数学中的逆向思维 -以实习学校学生解题为例 摘要：逆向思维是数学中的一种重要的解题思想，它在公式、定理、定义都有体现，它是一种学生解题的新思路，这种思路摆脱定势的传统思维，摒弃已有的习惯性解题框架。最终使解决的问题大大的简化。 那么这种思想如何在教学课堂中体现，如何让培养学生的这种逆向思维，也是新课改课程下，老师们面临的一大任务和挑战。本文是结合实习学校上课情况，进行编写。关键词：公式；定理；定义；逆向思维本文是以实习学校班级学生做题情况为研究对象进行编写，实习期间发现很多学生解题思维比较定势，很多问题都是以常规思维解题，不管有多麻烦，最终还是一股劲的做下去，最后的结果是算出来了，但是过程比较繁琐。其实这也是现阶段的学生的一种普遍的现象。在数学解题中，通常是从已知到结论的方式，然而有些数学题，若总是按照这种思维方式则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解答，在这种情况下，只要我们多注意定义、定理、公式的逆用，往往可以使问题简化。经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性。现实生活中也往往会用到逆向思维，当然它给人们带来的是方便、简约、快捷等好处。很多的数学教师也在努力的研究这一中使用的方法，将这样的思想带入教学中去。在当代素质教育的形式下，要求我们的要培养多方面的高素质人才，最重要的就是要培养创新性人才，那逆向思维的培养也是必不可少的，本文着重介绍了，教师在在教学工作中应该做到什么，如培养学生的逆向思维，提出了几点意见，希望对未来的老师的教学有点帮助。教学是一个灵活的过程，老师应该发挥主导作用，有力的引导学生多方面思考问题，灵活发挥学生的想象力，更具学生的实际情况，更有力的培养他们如何利用已有的只是解决实际问题。1.逆向思维的应用1.1.什么是逆向思维和其他的数学思维一样，逆向思维是数学解题当中的一种常规思维，也是重要的一种思维方式。逆向思维也就是我们说的求异思维，它是对我们常规的、司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。当人们都朝着一个固定的、常用的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维。其实在现实生活中，大多数的人也是习惯于沿着事物发展的“正方向”去思考问题并寻求解决办法。有时候绞尽脑汁也无法给出结论。其实，有些问题，尤其是一些特殊问题，从结论入手，逆向思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，往往就会使得解决的这个问题轻而易举，甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来，这就是逆向思维和它的魅力。当然这也是我们研究这种方法的目的所在。1.2.逆向思维在初、高中的应用下面来看下面初、高中数学中的几道题目（以自己在实习学校为例）：(1).初中例题（2012年下半年白云区沙文中学初一（4）班）。 初中数学中讲解了两个公式第一个是完全平方公示还有一个是平方差公式我现在来看一下这两个公示的引用。 例1：计算 解法一： 解法二 显然，逆向运用幂的性质解本题要简单的多。 例2：计算： 分析：如果本题采用常规方法：先同分后相加，必然感到繁琐且难以下手。若逆向用减法法则：或则带来很大的简便。 解：由题意可知：在此我们再来看看初一数学中的另外一道数学题： 例3：计算时，若不逆用幂的性质：将无法进行。 从这三道题中用逆向思维显然比较简单，但大多数同学都是以第一种思路做出来的，比如第一道中，运用了两个公式第一个是完全平方公示还有一个是平方差公式，首先看这题目大多数学生会很容易的想到完全平方公式，形成定势的思维方式致使学生无法养成逆向思考的原因。(2).高中例题 这是我在实习学校中同学们的一次家庭作业题（2012上半年白云区第六中学高一（2）、（4）班）。 例1:已知正数a、b、c成等差数列，求证：， 也成等差数列。(高一数学） 从交上来的本子看，大多数同学的的做法都是从条件入手，所以很多同学都没有做出来，有的同学虽然做出来了但是解题的方法比较繁琐，下面我们来分析一下：其实我们可以从结论入手，要证原结论成立，只需证：（等差中项）即而所以上式成立，所以原结论成立。 例2. k为何实数时？x的任何值都不满足不等式（高一数学）我们分析一下也可以知道其实这道题只去找k的取值范围是没法找的，但是我们从这个不等式入手姐可以看到满足k的取值范围。解：这一问题等价于“为何实数时？不等式 对一切实数恒成立”则可以令由抛物线性质可知：欲使 ,应有，即由此解得。所以，当时，的任何值都不满足不等式 可以看出，和初中数学相比，高中数学在学科特点上出现了数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增等新特点。而且在新课程改革后，相比原来的老教材，新教材中的高中数学以必修和选修两种类型出现，选修是以必修课中的不足之处提出来的，当中增加了大量的探究性活动素材和众多的研究性学习，为所有学生的数学学习构筑不同的起点；增加了大量的数学阅读材料，以学生的全面发展为本，让学生经历知识的形成与应用的过程，倡导学生自主学习、主动探索和发现，培养学生主动体验获取知识的技能，从而进一步发展学生的实践能力和创新能力；增加了实际应用型知识板块，通过学生自主探究，数学建模实践过程，获得学习心得体会，从而建立起符合个人知识特点的认知水平；改变了传统教材的数学知识的单一接受模式，强调学生学习过程能力的培养，强调知识运用的灵活性。这就要求高中学生要改变以往对数学学科的认识，努力的适应初高中数学的特点变化，从而更快进入角色，只有这样才能为真正的学好数学做准备。由此可看出新课程改革下对学生的教法、学法都要有所改变，对刚进入高中的学生了来说还不太适应，学生也养成了思维定势的习惯，无法转变解题思路。2.如何看待正向思维与逆向思维2.1.正向思维和逆向思维的关系 正向思维和逆向思维处于矛盾的两个方面,没有逆向思维也就没有正向思维, 没有正向思维也就没有逆向思维,它们相辅相成的。因此,它们应该具有同等重要的地位然而,在一般的数学教材中,运用逆向思维来处理的内容很少,由此导致学生的逆向思维能力很差，遇到问题是不会灵活处理问题。他们的思维活动长期 处于正向定势思维活动之中,因此,给出一个数学问题后,他们总是想方设法通过正向思维来思考去获得问题的解决的思路。但是,有很多数学问题利用正向思维很难获得问题的解决。如果改变一下思维方式,采用逆向思维去思考,则可以使问题很快得到解决,甚至可以得出一些创新的解法 。由此可见,在数学学习过程中,教师应注意学生逆向思维的培养,这样就会使得学生能够更加灵活地去解决数学问题。2.2.逆向思维在社会生活中的优越性 在大力倡导素质教育的今天, 逆向思维能力的培养对于提高学生的思维能力,培养高素质人才也有着十分重要的意义.这种思维方式学生们在现实生活中也会有很大的帮助。比如我们都知道的司马光砸缸的故事，如果当时伙伴的第一反应是把他从缸里拉出来，可能无法在有效的时间救出伙伴，但是关键时刻司马光知道了，砸缸会让水很快的流出，这对救援节省了不少时间。当然这样的逆向思考的例子很多，法拉第两次“后过来试试看”使大规模生产和利用电能成为可能，而这又引发了第三次产业革命。美国汽车大王福特一世在街上散步时，偶然间看到肉铺仓库里的几个工人顺次分别切牛的里脊肉、胸肉、头网，他的脑海里马上浮现出与些相反的过程：让工人顺次分别装上汽车的种种零部件。在传统的动物园内，无精打采的动物被关在笼子里让人参观。然而有人反过来想，把人关在活动的“笼子”里(汽车中)，不是可以更真实地欣赏大自然中动物的面貌吗?于是野生动物园应运而生。从上面的例子中我们都可以看出，这些无不体现生活中逆向思维的应用价值与好处。我们应该在传统的思维方式上，还应具有一定的逆向思维方式。认真思考事物的本质特征，适当的运用一些逆向思维观察，培养自己的多想思维能力。真正的将理论和实际联系起来看问题。那么，怎样才能培养学生的逆向思维呢？对于现在的教师来说我们应该怎样做呢？3.如何培养学生的逆向思维3.1.影响学生思维定势的主要原因 从以上数学事例和生活事例中我们可以看出，“逆向思维”在解决一些数学问题与一些实际问题时，确实起到简洁明了的作用，这样的方法是我们应该值得推广引用的，这就要求我们的老师在平时的教学中，多反思应如何培养和提高学生的“逆向思维”的能力？要回答这个问题我们首先分析一下影响学生思维定势的主要原因。 不管是初中还是高中，逆向思维都是我们学生们应该重点掌握的一个解题方法，就从学生们平常做题的情况来看，大多数学生都没有掌握这样的方法，不知道什么时候转换为逆向思维解题。初中生从思维过程上看，由正向思维序列转到逆向思维序列是思维方向的重建，是从一个方面其作用的单向联想转化为从两个方面都起作用的双向联想。这种转化给学生带来了一定的困难性，另外，一种思维在其逆向思维过程中并不一定恰好重复原来的途径，所以正向思维的训练并不能代替逆向思维的训练，需要我们从某些特殊问题上多做引导。而且从思维能力看，初中学生的思维是刚刚从直观、具体的形象思维向抽象的逻辑思维转化，学生在解答数学问题时的思维必然受到传统的教学方法的约束；只具有机械的记忆和被动的模仿，思维往往会固定在教师设计的框框之内的一种定势。高中生也是一样，初中的解题思路和方法也带入了高中，致使思维没有很好的展开，大多数学生还是一样的思路，思维定势，不活跃，无法将复杂问题简单化，这对培养全面发展的学生，照成了很大的阻碍。同时大多数老师以“建立定理证明定理运用定理”这三部曲或采用“类型+方法”的传统教学模式进行教学，忽视了逆向思维的培养与训练，使得学生不能迅速而准确地由正向思维转向逆向思维，简化做题步骤。这样，学生往往也就形成了一种定势思维，无法有效的进行逆向思考。从上面的问题我们可以总结出几点建议。3.2.教学中如培养学生的逆向思维 实践证明，在教学中，关注学生的逆向思维的训练，不仅能培养思维的灵活性、敏捷性、深刻性和双向性，而且还能克服由单向思维定势造成解题方法的刻板和僵化，以及不善于在新条件下独立发现新方法、新结论等不足之处。第一，必须有扎实而丰富的基础知识和基本思想方法为前提，只有具备大量的知识信息，才能从事物的不同方向、不同联系上去考虑问题，而且在教学中要充分注意类比、引申、拓广、举反例等多种思维方法的培养，从最简单、最基本以及日常生活中的实例开始，只要遇到可以运用逆运算、逆变形来简化解题过程，训练逆向思维，使学生慢慢培养和具备逆转心理的习惯，使学生能从多角度和全方位地研究数学问题。使之形成习惯。例如在概念的教学中培养逆向思维能力、在公式的教学中培养逆向思维能力、加强反证法的教学、注重反例的逆用等。这些就可以让学生是可转换利用逆向思维这种方法。 第二，提倡变式教学，“模式化+变式”是逆向思维训练的高效率的形式之一；这就要求我们的老师要符合新课标的理念，不要只是模式化的教学。例如：在平时教学中老师可以多讲一些有关要用到“逆向思维”的例子，让学生们多加练习，多加注意，让学生们多多尝试常规思路带给他们的不便，接着老师多多引导，此路不通就要反其道而行之，马上是学生有“柳暗花明又一春”的感觉，这样就可能会马上奏效。第三，培养学生的逆向思维的能力，要因材施教，应注意学生的可接受性，因为许多逆向问题对一个普通班级里的中、下学生来说，考虑起来还是比较困难的，所以对他们来说应该适当训练就好，更加注重培养他们的基础知识的掌握；对学有余力或者成绩比较好的学生来说，加强逆向思维的训练，对培养他们的学习兴趣，拓广解题思路，提高思维能力重要的作用。最后，逆向思维在数学教材中时常出现的.通过以上的例证可以看出, 可以看出逆向思维在数学教学中是非常重要的，学生逆向思维的培养并非几次课几次练习就能提高的，发展学生的逆向思维要以扎实而丰富的基础知识为依据,只有这样才能从事物的各个方面去考虑问题.教师在教学中要鼓励学生大胆提出问题、解决问题,对学生打破常规的提问,争论教师都应该支持.只有这样才能发展学生的逆向思维,常此下去不仅可以提高教学质量,更重要的是学生的智力和能力也会得到逐步提高,当然学生创新意识的培养也会有很大帮助。总而言之，在数学教学中，依据课本内容和学生的认识水平，学生学习的主题，我们应该以素质教育导向，发展全面学生为目的培养学生的各种能力为目的，灵活教学方法，从初中开始有计划有步骤地渗透，使其成为由知识转化为能力的纽带，成为提高学生的学习效率和数学能力的法宝。让学生真正的从学习中解脱出来，成为真正会学习的主人。参考文献：1孙翠萍，李焕茜.逆向思维在解题中的应用J.河北理科教学研究，2003 （3）.2梁素华.关于培养逆向思维能力的几个例子.赤峰教育学院学报2001年06期.3何明.数学中的逆向思维方法J数学通报，1995（1）.4郑芸.逆向思维在数学教学中的应用J浙江水利水电专科学校学报， 1999 （6）.5张景云.谈逆向思维能力的培养J中学数学， 1996（6）.6郑文晶.数学中的逆向思维方法J呼伦贝尔学院学报，2001（3）.7马英典.数学教学中如何培养学生的逆向思维能力J四川教育学院学报,2004（9）.8鲍焕明,郑文高.浅谈逆向思维在数学教学中的作用.2000年第01期致谢词 经过半年的忙碌和工作，本次毕业设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不足的地方，如果没有导师的督促指导,本篇论文将无法定稿。首先要感谢我的指导老师罗淼，是他在这段时间的细心指导下才能完成今天的这篇论文。罗老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从外出实习到查阅资料，设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计，修改公式等整个过程中都给予了我细心的指导。一旦有时间就细心地指导，我的设计较为复杂烦琐，但是罗老师仍然细心地纠正公式、内容中的错误。除了敬佩罗老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作。当然还要感谢大学四年来所有的老师，为我们数学专业知识的基础，为以后的教学工作打下了一定的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励。此次毕业设计才会顺利完成。最后感谢我的母校贵州师范大学求是学院。贵州师范大学求是学院本科毕业论文诚信声明 本人郑重声明：所呈交的毕业论文题目浅谈中学数学中的逆向思维是本人在实习老师的指导下，进行研究工作所取得成果。本文应用个人的集体的研究成果，均已在文中以明确明确的方式注明。除此之外，本文不包含其他个人或集体已发表或撰写过的作品和成果。本人完全意识到本声明应承担的法律责任。 作者签名： 日 期：ag an employment tribunal clai Emloyment tribunals sort out disagreements between employers and employees. You may need to make a claim to an employment tribunal if: you dont agree with the disciplinary action your employer has taken against you your employer dismisses you and you think that you have been dismissed unfairly. For more informu, take advice from one of the organisations listed underFurther help. Employment tribunals are less formal than some other courts, but it is still a legal process and you will need to give evidence under an oath or affirmation. Most people find making a claim to an employment tribunal challenging. If you are thinking about making a claim to an employment tribunal, you should get help straight away from one of the organisations listed underFurther help. ation about dismissal and unfair dismissal, seeDismissal. You can make a claim to an employment tribunal, even if you haventappealedagainst the disciplinary action your employer has taken against you. However, if you win your case, the tribunal may reduce any compensation awarded to you as a result of your failure to appeal. Remember that in most cases you must make an application to an employment tribunal within three months of the date when the event you are complaining about happened. If your application is received after this time limit, the tribunal will not usually accept i. If you are worried about how the time limits apply to you If you are being represented by a solicitor at the tribunal, they may ask you to sign an agreement where you pay their fee out of your compensation if you win the case. This is known as adamages-based agreement. In England and Wales, your solicitor cant charge you more than 35% of your compensation if you win the case.youre clear about the terms of the agreement. It might be best to get advice from an experienced adviser, for example, at a Citizens Advice Bureau. To find your nearest CAB, including those that give advice by e-mail, click onnearest CAB.For more information about making a claim to an employment tribunal, seeEmployment tribunals.The (lack of) air up there Watch m Cay man Islands-based Webb, the head of Fifas anti-racism taskforce, is in London for the Football Associations 150th anniversary celebrations and will attend Citys Premier League match at Chelsea on Sunday.I am going to be at the match tomorrow and I have asked to meet Ya ya Toure, he told BBC Sport.For me its about how he felt and I would like to speak to him first to find out what his experience was.Uefa hasopened disciplinary proceedings against CSKAfor the racist behaviour of their fans duringCitys 2-1 win.Michel Platini, president of European footballs governing body, has also ordered an immediate investigation into the referees actions.CSKA said they were surprised and disappointed by Toures complaint. In a statement the Russian side added: We found no racist insults from fans of CSKA.Age has reached the end of the beginning of a word. May be guilty in his seems to passing a lot of different life became the appearance of the same day; May be back in the past, to oneself the paranoid weird belief disillusionment, these days, my mind has been very messy, in my mind constantly. Always feel oneself should go to do something, or write something. Twenty years of life trajectory deeply shallow, suddenly feel something, do it.一字开头的年龄已经到了尾声。或许是愧疚于自己似乎把转瞬即逝的很多个不同的日子过成了同一天的样子；或许是追溯过去，对自己那些近乎偏执的怪异信念的醒悟，这些天以来，思绪一直很凌乱，在脑海中不断纠缠。总觉得自己似乎应该去做点什么，或者写点什么。二十年的人生轨迹深深浅浅，突然就感觉到有些事情，非做不可了。The end of our life, and can meet many things really do?而穷尽我们的一生，又能遇到多少事情是真正地非做不可？During my childhood, think lucky money and new clothes are necessary for New Year, but as the advance of the age, will be more and more found that those things are optional; Junior high school, thought to have a crush on just means that the real growth, but over the past three years later, his writing of alumni in peace, suddenly found that isnt really grow up, it seems is not so important; Then in high school, think dont want to give vent to out your inner voice can be in the high school children of the feelings in a period, but was eventually infarction when graduation party in the throat, later again stood on the pitch he has sweat profusely, looked at his thrown a basketball hoops, suddenly found himself has already cant remember his appearance.童年时，觉得压岁钱和新衣服是过年必备，但是随着年龄的推进，会越来越发现，那些东西根本就可有可无；初中时，以为要有一场暗恋才意味着真正的成长，但三年过去后，自己心平气和的写同学录的时候，突然就发现是不是真正的成长了，好像并没有那么重要了；然后到了高中，觉得非要吐露出自己的心声才能为高中生涯里的懵懂情愫划上一个句点，但毕业晚会的时候最终还是被梗塞在了咽喉，后来再次站在他曾经挥汗如雨的球场，看着他投过篮球的球框时，突然间发现自己已经想不起他的容颜。Originally, this world, can produce a chemical reaction to an event, in addition to resolutely, have to do, and time.原来，这个世界上，对某个事件能产生化学反应的，除了非做不可的坚决，还有，时间。A persons time, your ideas are always special to clear. Want, want, line is clear, as if nothing could shake his. Also once seemed to be determined to do something, but more often is he backed out at last. Dislike his cowardice, finally found that there are a lot of love, there are a lot of miss, like shadow really have been doomed. Those who do, just green years oneself give oneself an arm injection, or is a self-righteous spiritual.一个人的时候，自己的想法总是特别地清晰。想要的，不想要的，界限明确，好像没有什么可以撼动自己。也曾经好像已经下定了决心去做某件事，但更多的时候是最后又打起了退堂鼓。嫌恶过自己的怯懦，最终却发现有很多缘分，有很多错过，好像冥冥之中真的已经注定。那些曾经所谓的非做不可，只是青葱年华里自己给自己注射的一支强心剂，或者说，是自以为是的精神寄托罢了。At the moment, the sky is dark, the air is fresh factor after just rained. Suddenly thought of blue plaid shirt; Those were broken into various shapes of stationery; From the corner at the beginning of deep friendship; Have declared the end of the encounter that havent start planning. Those years, those days of do, finally, like youth, will end in our life.此刻，天空是阴暗的，空气里有着刚下过雨之后的清新因子。突然想到那件蓝格子衬衫；那些被折成各种各样形状的信纸；那段从街角深巷伊始的友谊；还有那场还没有开始就宣告了终结的邂逅计划那些年那些天的非做不可，终于和青春一样，都将在我们的人生中谢幕。Baumgartner the disappointing news: Mission aborted. r plays an important role in this mission. Starting at the ground, conditions have to be very calm - winds less than 2 mph, with no precipitation or humidity and limited cloud cover. The balloon, with capsule attached, will move through the lower level of the atmosphere (the troposphere) where our day-to-day weather lives. It will climb higher than the tip of Mount Everest (5.5 miles/8.85 kilometers), drifting even higher than the cruising altitude of commercial airliners (5.6 miles/9.17 kilometers) and into the stratosphere. As he crosses the boundary layer (called the tropopause),e can expect a lot of turbulence. We often close ourselves off when traumatic events happen in our lives; instead of letting the world soften us, we let it drive us deeper into ourselves. We try to deflect the hurt and pain by pretending it doesnt exist, but although we can try this all we want, in the end, we cant hide from ourselves. We need to learn to open our hearts to the potentials of life and let the world soften us.生活发生不幸时，我们常常会关上心门；世界不仅没能慰藉我们，反倒使我们更加消沉。我们假装一切仿佛都不曾发生，以此试图忘却伤痛，可就算隐藏得再好，最终也还是骗不了自己。既然如此，何不尝试打开心门，拥抱生活中的各种可能，让世界感化我们呢？Whenever we start to let our fears and seriousness get the best of us, we should take a step back and re-evaluate our behavior. The items listed below are six ways you can open your heart more fully and completely.当恐惧与焦虑来袭时，我们应该退后一步，重新反思自己的言行。下面六个方法有助于你更完满透彻地敞开心扉。Whenever a painful situation arises in your life, try to embrace it instead of running away or trying to mask the hurt. When the sadness strikes, take a deep breath and lean into it. When we run away from sadness thats unfolding in our lives, it gets stronger and more real. We take an emotion thats fleeting and make it a solid event, instead of something that passes through us.当生活中出现痛苦的事情时，别再逃跑或隐藏痛苦，试着拥抱它吧；当悲伤来袭时，试着深呼吸，然后直面它。如果我们一味逃避生活中的悲伤，悲伤只会变得更强烈更真实悲伤原本只是稍纵即逝的情绪，我们却固执地耿耿于怀By utilizing our breath we soften our experiences. If we dam them up, our lives will stagnate, but when we keep them flowing, we allow more newness and greater experiences to blossom.深呼吸能减缓我们的感受。屏住呼吸，生活停滞；呼出呼吸，更多新奇与经历又将拉开序幕。2. Embrace the uncomfortable We all know what that twinge of anxiety feels like. We know how fear feels in our bodies: the tension in our necks, the tightness in our stomachs, etc. We can practice leaning into these feelings of discomfort and let them show us where we need to go.我们都经历过焦灼的煎熬感，也都感受过恐惧造成的生理反应：脖子僵硬、胃酸翻腾。其实，我们有能力面对这些痛苦的感受，从中领悟到出路。The initial impulse is to run away to try and suppress these feelings by not acknowledging them. When we do this, we close ourselves off to the parts of our lives that we need to experience most. The next time you have this feeling of being truly uncomfortable, do yourself a favor and lean into the feeling. Act in spite of the fear.我们的第一反应总是逃避以为否认不安情绪的存在就能万事大吉，可这也恰好妨碍了我们经历最需要的生活体验。下次感到不安时，不管有多害怕，也请试着勇敢面对吧。3. Ask your heart what it wants倾听内心Were often confused at the next step to take, making pros and cons lists until our eyes bleed and our brains are sore. Instead of always taking this approach, what if we engaged a new p