江苏高考数学复习导数及其应用第19课导数与函数不等式的综合问题教师用书.docx

第19课 导数与函数、不等式的综合问题最新考纲内容要求ABC利用导数研究函数的零点问题利用导数证明不等式最值与不等式各类不等式与函数最值的关系如下表：不等式类型与最值的关系任意的xD，f(x)M任意的xD，f(x)minM任意的xD，f(x)M任意的xD，f(x)maxM任意的xD，f(x)maxM存在xD，f(x)M任意的xD，f(x)ming(x)任意的xD，f(x)g(x)min0任意的xD，f(x)g(x)任意的xD，f(x)g(x)maxg(x2)任意的xD1，任意的xD2，f(x)ming(x)max任意的x1D1，存在x2D2，f(x1)g(x2)任意的xD1，任意的xD2，f(x)ming(x)min存在x1D1，任意的x2D2，f(x1)g(x2)任意的xD1，任意的xD2，f(x)maxg(x)max存在x1D1，存在x2D2，f(x1)g(x2)任意的xD1，任意的xD2，f(x)maxg(x)min1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式f(x)g(x)对xR恒成立，等价于f(x)ming(x)max.()(2)函数f(x)x3ax2bxc的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点()(3)函数F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，则f(x)g(x)()(4)“存在x(a，b)，使f(x)a”与“任意x(a，b)，使f(x)a”，这两个说法相同()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若函数ym与y3xx3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为_(2,2)y3(1x)(1x)，令y0，得x1，所以y极大值2，y极小值2，作出函数y3xx3和ym的大致图象(如图)，根据图象知2m0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_. 【导学号：62172105】(，1)(0,1)记函数g(x)，则g(x)，因为当x0时，xf(x)f(x)0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减；又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)上单调递增，且g(1)g(1)0.当0x0，则f(x)0；当x1时，g(x)0，综上所述，使f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)角度2证明不等式(2015福建高考节选)已知函数f(x)ln x.(1)证明：当x1时，f(x)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1)解(1)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)，则有F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)1满足题意当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)1满足题意当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则有G(x)x1k.由G(x)0，得x2(1k)x10，解得x11.当x(1，x2)时，G(x)0，故G(x)在1，x2)内单调递增从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1)，综上，k的取值范围是(，1)角度3不等式恒成立问题已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：对一切x(0，)，ln x恒成立解(1)由题意知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递减，当x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.即实数a的取值范围是(，4(2)证明：问题等价于证明xln x(x(0，)又f(x)xln x，f(x)ln x1，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)minf.设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，从而对一切x(0，)，ln x恒成立规律方法1.用导数证明不等式的思路利用导数证明不等式常构造函数(x)，将不等式转化为(x)0(或0)的形式，然后研究(x)的单调性、最值，判定(x)与0的关系，从而证明不等式2利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围(2)函数思想法：第一步：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值(最值)；第三步：构建不等式求解.利用导数解决函数的零点问题已知函数f(x)ex(x2axa)，其中a是常数(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)k在0，)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 【导学号：62172106】解(1)由f(x)ex(x2axa)可得f(x)exx2(a2)x当a1时，f(1)e，f(1)4e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye4e(x1)，即y4ex3e.(2)令f(x)exx2(a2)x0，解得x(a2)或x0.当(a2)0，即a2时，在区间0，)上，f(x)0，所以f(x)是0，)上的增函数，所以方程f(x)k在0，)上不可能有两个不相等的实数根当(a2)0，即aa，又f(0)a.所以要使方程f(x)k在0，)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是.规律方法1.在解答本例(2)时应判断f(x)f(0)是否成立，这是容易忽视的地方2该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一变式训练设f(x)ln x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)的零点个数解(1)f(x)的定义域是(0，)，f(x).当a0时，f(x)0，(0，)是f(x)的增区间，当a0时，令f(x)0，x(负舍去)，当0x时，f(x)时，f(x)0，所以(0，)是f(x)的减区间，(，)是f(x)的增区间，综上，当a0时，f(x)的增区间是(0，)，当a0时，f(x)的减区间是(0，)，f(x)的增区间是(，)(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数，当a0时有零点x1，当a0时，f(ea)a(e2a1)0，所以f(x)在(0，)上有一个零点，当a0时，由(1)f(x)在(0，)上是减函数，f(x)在(，)上是增函数，所以当x时，f(x)有极小值，即最小值f()(ln 2a1)当(ln 2a1)0，即a时，f(x)无零点，当(ln 2a1)0，即a时 ，f(x)有一个零点，当(ln 2a1)0，即0a时f(x)无零点，当a或a0时，f(x)有一个零点，当0a时f(x)有2个零点思想与方法1利用导数证明不等式的方法证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口2利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“a0，所以a1，所以a1，即实数a的取值范围是(，1)2已知函数f(x)x33a2x1的图象与直线y3只有一个公共点，那么实数a的取值范围是_(1,1)f(x)3x23a2，令f(x)0，则xa.由题意知当a0时，f(a)a33a311，所以1a0时，f(a)a33a313，即a31，所以0a0，若af，b2f(2)，cf，则a，b，c的大小关系是_. 【导学号：62172108】ac0时，h(x)f(x)xf(x)0，此时函数h(x)单调递增afh，b2f(2)2f(2)h(2)，cfhh(ln 2)h(ln 2)，又ln 22，ac0时，有0的解集是_(，2)(0,2)x0时，0，(x)为减函数，又(2)0，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)8已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是_2,0y|f(x)|的图象如图所示：要使|f(x)|ax，只需找到yax与yx22x相切时的临界值即可，由y|x02可知a2，结合图象可知，当实数a满足2a0时，有|f(x)|ax.9设f(x)|ln x|，若函数g(x)f(x)ax在区间(0,4)上有三个零点，则实数a的取值范围是_由题意，可知方程|ln x|ax在区间(0,4)上有三个根，令h(x)ln x，则h(x)，又h(x)在(x0，ln x0)处切线yln x0(xx0)过原点，得x0e，即曲线h(x)过原点的切线的斜率为，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为，所以实数a的取值范围是.10已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，且f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_(，1)(1，)令F(x)f(x)x，由f(x)可知，F(x)f(x)0.F(x)在R上单调递减又f(1)1，f(x2)可化为f(x2)x2f(1)，即F(x2)1，即x1或x1.二、解答题11已知函数f(x)x3x26xa.(1)若对于任意实数x，f(x)m恒成立，求实数m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围解(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)，因为x(，)，f(x)m恒成立，即3x29x(6m)0恒成立，所以8112(6m)0，解得m，即m的最大值为.(2)因为当x0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)a；当x2时，f(x)取得极小值f(2)2a.故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)0有且仅有一个实数根，解得a，即实数a的取值范围为(，2).12(2017如皋市高三调研一)设函数f(x)ln xax2(a0)(1)讨论函数f(x)零点的个数；(2)若函数f(x)有极大值为，且存在实数m，n，m4a. 【导学号：62172109】解(1)f(x)2ax(x0)当a0，f(x)ln x在(0，)上有一个零点；当a0，f(x)在(0，)上单调递增，f(1)a0，f(ea)aae2aa(1e2a)0，f(x)0，x，xf(x)0f(x)f(x)maxfln.()当a时，f(x)在(0，)上有没有零点；()当a时，f(x)在(0，)上有一个零点；()当0a时，f(x)在(0，)上有没有零点；当a或a0时，f(x)在(0，)上有一个零点；当0a时，f(x)在(0，)上有两个零点(2)证明：由(1)可知f(x)极大值f，a.因为f(x)ln x，令F(x)f(x)f(2x)，则F(x)f(x)f(2x)2.由F(x)0，得x1.x(0,1)1(1，)F(x)0F(x)因为m1n，所以F(m)f(m)f(2m)0，即f(m)f(2m)，又因为f(m)f(n)，所以f(n)2n，即mn2得证B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017南京模拟)已知函数f(x)g(x)f(x)2k，若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为_当x0时，f(x)(2x2)ex，当x时取得极小值f2(1)e，当x0时，f(x)0，且f(0)0，函数f(x)的图象如图所示，函数g(x)恰有两个不同的零点，就是f(x)的图象与直线y2k有两个不同的交点，所以32k0)(1)若f(x)在1,1内没有极值点，求实数a的取值范围；(2)当a2时，方程f(x)0有三个互不相同的解，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)3x22axa23(xa)，令f(x)0，得x或a，因为f(x)在1,1内没有极值点，而且a0，所以解得a3，故实数a的取值范围是(3，)(2)当a2时，f(x)3(x2)0的两根为，2，要使方程f(x)0有三个互不相同的解，需使解得10m，所以m的取值范围为.4(2017南通模拟)已知函数f(x)(2a)x2(1ln x)a，g(x).(1)若函数f(x)在区间上无零点，求实数a的最小值；(2)若对任意给定的x0(0，e，在(0，e上方程f(x)g(x0)总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围解f(x)(2a)(x1)2ln x，(1)令m(x)(2a)(x1)，x0；h(x)2ln x，x0，则f(x)m(x)h(x)，当a2时，m(x)在上为增函数，h(x)在上为增函数，若f(x)在上无零点，则mh，即(2a)2ln，a24ln2，24ln2a2.当a2时，在上m(x)0，h(x)0，f(x)0，f(x)在上无零点由得a24ln 2，amin24ln 2.(2)g(x)e1xxe1x(1x)e1x，当x(0,1)时，g(x)0，函