2018版高考数学复习离散型随机变量的均值与方差正态分布真题演练集训理.docx

2018版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布真题演练集训 理 新人教A版12016四川卷同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_答案：解析：由题意知，试验成功的概率p，故XB，所以E(X)2.22014新课标全国卷从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.32016新课标全国卷某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)0.200.200.10 0.050.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.10 0.050.15. 又P(AB) P(B)，故P(B|A).因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 课外拓展阅读 离散型随机变量的期望问题离散型随机变量的期望常与茎叶图、频率分布直方图、分层抽样、函数、不等式等知识相结合，这就为设计新颖、内在联系密切、思维方法灵活的考题开辟了广阔的空间近年高考中有关离散型随机变量的期望的题目多以解答题形式呈现，一题多问，这样既降低了起点，又分散了难点，能较全面地考查必然与或然思想、处理交汇性问题的能力和运算求解能力，难度多为中等，分值在12分左右现一起走进离散型随机变量的期望，欣赏其常见的交汇方式与解题方法一、离散型随机变量的期望与茎叶图的交汇问题典例1为备战2017年青年跳水世锦赛，我国跳水健儿积极训练，在最近举行的一次选拔赛中，甲、乙两名运动员为争夺一个参赛名额进行了七轮激烈的比赛，甲、乙两名选手七轮比赛的得分如图所示，已知甲的平均得分比乙的平均得分少1.(1)求甲得分的众数与乙得分的极差；(2)若从甲、乙两名运动员不低于80且不高于90的得分中各任选1个，记甲、乙两名运动员得分之差的绝对值为，求的分布列及其期望思路分析(1)观察茎叶图中甲的数据，判断出现次数最多的数据，即众数；观察茎叶图中乙的数据，找出最高分与最低分，相减可得乙得分的极差；(2)先求的所有可能取值，然后利用古典概型的概率计算公式，求出取各个值时的概率，列出其分布列，最后利用期望的定义求出期望值解(1)由茎叶图可知，甲、乙两名运动员七轮比赛的得分情况如下：甲：78,80m,84,85,84,85,91；乙：79,84,84,86,87,84,91.则乙的平均得分为(79848486878491)85，所以甲的平均得分为85184，即78(80m)848584859184，解得m1.所以甲得分的众数为84,85，乙得分的极差为917912.(2)设甲、乙两名运动员的得分分别为x，y，则|xy|.由茎叶图可知，的所有可能取值为0,1,2,3,5,6.当0时，xy84，故P(0)；当1时，x85，y84或86，故P(1)；当2时，x84，y86或x85，y87，故P(2)；当3时，x81，y84或x84，y87，故P(3)；当5时，x81，y86，故P(5)；当6时，x81，y87，故P(6).所以的分布列为012356P的期望为E()012356.突破攻略本题以实际生活为背景，并融入排列、组合、古典概型的概率、随机变量的分布列与期望等知识进行探求，有很强的现实意义与时代气息破解离散型随机变量的期望与茎叶图的交汇题的关键：一是看图说话，即看懂茎叶图，并能适时提取相关的数据；二是会求概率，即利用排列、组合知识，以及古典概型的概率公式求随机变量的概率；三是活用定义，利用随机变量的数学期望的定义进行计算二、离散型随机变量的期望与函数的交汇问题典例2某次假期即将到来，喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩，初步打算去鼓浪屿、南普陀寺、白城浴场三个景点，每个景点有可能去的概率都是，且是否游览某个景点互不影响，设表示小陈离开厦门时游览的景点数(1)求的分布列、期望及其方差；(2)记“函数f(x)x23x1在区间2，)上单调递增”为事件A，求事件A的概率思路分析(1)依题设条件可判断服从二项分布，利用二项分布公式即可求出其分布列、期望及方差；(2)先求出二次函数f(x)的图象的对称轴方程，利用f(x)单调性，可求出的取值范围，即可求出事件A的概率解(1)依题意，得的所有可能取值分别为0,1,2,3.因为B，所以P(0)C3，P(1)C12，P(2)C21，P(3)C3.所以的分布列为0123P所以的期望为E()31，的方差为D()3.(2)因为f(x)212的图象的对称轴方程为x，又函数f(x)x23x1在2，)上单调递增，所以2，即.所以事件A的概率P(A)PP(0)P(1).突破攻略本题以旅游为背景，考查了二项分布的分布列及其期望的探求，将二次函数知识融入其中是本题的“闪光”之处，又以函数的单调性“一剑封喉”，使呆板、平淡的数学题充满活力和无穷魅力！求解离散型随机变量的期望与函数交汇题的“两步曲”：一是活用公式，如果能够断定随机变量X服从二项分布B(n，p)，则其期望与方差可直接利用公式E(X)np，D(X)np(1p)求得；二是分拆事件，会对随机事件进行分拆，即把事件分拆成若干个互斥事件的和，这样就能正确进行概率计算三、离散型随机变量的期望与频率分布直方图的交汇问题典例3某学院为了调查本校学生“阅读相伴”(“阅读相伴”是指课外阅读超过1个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内“阅读相伴”的天数，并将所得的数据分成以下六组：0,5，(5,10，(10,15，(25,30，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中“阅读相伴”天数超过20的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中“阅读相伴”天数超过20的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)思路分析(1)观察频率分布直方图，求出“阅读相伴”天数超过20的频率，即可求出其频数；(2)依题设条件可判断Y服从超几何分布，因此可利用超几何分布的概率公式求出Y取各个值时的概率，列出分布列，最后求出E(Y)的值解(1)由题图可知，“阅读相伴”天数未超过20的频率为(0.010.020.030.09)50.1550.75，所以“阅读相伴”天数超过20的学生人数是40(10.75)400.2510.(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2.所以P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).所以Y的分布列为Y012P所以Y的数学期望E(Y)012.突破攻略