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板块命题点专练(十)命题点一合情推理与演绎推理命题指数:难度:中、低题型:选择题、填空题1(2014陕西高考)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是_解析:三棱柱中5692;五棱锥中66102;立方体中68122,由此归纳可得FVE2答案:FVE22(2014全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_解析:由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市,乙去过A城市或C城市,结合乙的回答可得乙去过A城市答案:A3(2015陕西高考)观察下列等式:1,1,1,据此规律,第n个等式可为_解析:等式的左边的通项为,前n项和为1;右边的每个式子的第一项为,共有n项,故为答案:1命题点二直接证明与间接证明命题指数:难度:高、中题型:解答题1(2014江西高考)已知数列an 的前 n项和 Sn,nN*(1)求数列an 的通项公式;(2)证明:对任意的n1,都存在mN* ,使得 a1,an,am成等比数列解:(1)由Sn,得a1S11,当n2时,anSnSn13n2,当n1时也适合所以数列an的通项公式为:an3n2(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要aa1am,即(3n2)21(3m2),即m3n24n2,而此时mN*,且mn所以对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列2(2015北京高考节选)已知数列an满足:a1N*,a136,且an1(n1,2,)记集合Man|nN*(1)若a16,写出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一个元素是3 的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数解:(1)6,12,24(2)证明:因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数由an1可归纳证明对任意nk,an是3的倍数如果k1,则M的所有元素都是3的倍数如果k1,因为ak2ak1或ak2ak136,所以2ak1是3的倍数,于是ak1是3的倍数类似可得,ak2,a1都是3的倍数从而对任意n1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数命题点三数学归纳法命题指数:难度:高题型:解答题(2015陕西高考)设fn(x)是等比数列1,x,x2,xn的各项和,其中x0,nN,n2(1)证明:函数Fn(x)fn(x)2在内有且仅有一个零点(记为xn),且xnx;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和 gn(x)的大小,并加以证明解:(1)证明:Fn(x)fn(x)21xx2xn2,则Fn(1)n10,Fn12n220,所以Fn(x)在内至少存在一个零点又Fn(x)12xnxn10,故Fn(x)在内单调递增,所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn因为xn是Fn(x)的零点,所以Fn(xn)0,即20,故xnx(2)由题设,fn(x)1xx2xn,gn(x),x0当x1时,fn(x)gn(x)当x1时,用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x)当n2时,f2(x)g2(x)(1x)20,所以f2(x)g2(x)成立假设nk(k2)时,不等式成立,即fk(x)gk(x)那么,当nk1时,fk1(x)fk(x)xk1gk(x)xk1xk1又gk1(x),令hk(x)kxk1(k1)xk1(x0),则hk(x)k(k1)xkk(k1)xk1k(k1)xk1(x1)所以当0x1时,hk(x)0,hk(x)在(0,1)上递减;当x1时,hk(x)0,hk
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