海南大学2015年流体力学期末考试考点整理.pdf

流体力学考点流体力学考点 大题：大题： 一、一、微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 用一个微六面体元控制体建立微用一个微六面体元控制体建立微 分形式的连续性方程。分形式的连续性方程。 设在流场中取一固定不动的微平设在流场中取一固定不动的微平 行六面体 （控制体） ， 在直角坐标系行六面体 （控制体） ， 在直角坐标系 oxyzoxyz 中，六面体的边长取为中，六面体的边长取为 dxdx，dydy，dzdz。先看。先看 x x 轴方向的流动，流体从轴方向的流动，流体从 ABCDABCD 面流入六面体，从面流入六面体，从 EFGHEFGH 面流出。面流出。 在在 x x 轴方向流出与流入质量之差轴方向流出与流入质量之差 用同样的方法，可得在用同样的方法，可得在 y y 轴方向和轴方向和 z z 轴方向的流出与流入轴方向的流出与流入 质量之差分别为质量之差分别为 这样，在这样，在 dtdt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为：时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为： 在在 dtdt 的时间内，六面体内的质量减少了的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律， 净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质根据质量守恒定律， 净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质 量量 这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。 利用散度公式：利用散度公式： 得到得到 ()() xx xx uu udx dydzdtu dydzdtdxdydzdt xx () y u dxdydzdt y () z u dxdydzdt z () ()() y xz u uu dxdydzdt xxx ()dxdydzdt t () ()() y xz u uu dxdydzdtdxdydzdt xyzt () ()() 0 y xz u uu xyzt div()()()() xyz uuuu xyz div()0u t 二、二、微分形式的运动方程微分形式的运动方程 设在流场中取一固定不动的控制体微六面体元，设在流场中取一固定不动的控制体微六面体元，x x、y y、z z 轴方向轴方向 的棱长分别的棱长分别 dxdx、 dydy、 dzdz， 并取时刻在此六面体元内的流体为一系统。， 并取时刻在此六面体元内的流体为一系统。 设六面体的密度为设六面体的密度为 ，速度为，速度为 u u，其，其 在在 x x、y y、z z 轴的分量为轴的分量为 u ux x、u uy y、u uz z。作用于。作用于 六面体元的单位质量力为六面体元的单位质量力为 F Fb b，其在，其在 x x、y y、 z z 轴的分量为轴的分量为 F Fbxbx、F Fbyby、F Fbzbz。作用于。作用于 A A 点三点三 个面元个面元 ABCDABCD、AAAA D D D D、A A ABBABB 上的表面力分上的表面力分 别为别为 p p- -x x、p p- -y y、 p p- -z z。 首先分析六面微元体的受力首先分析六面微元体的受力 （1 1）作用六面微元体的质量力）作用六面微元体的质量力 （2 2）作用六面微元体的的应力）作用六面微元体的的应力 作用作用 ABCDABCD、AAAA D D D D、A A ABBABB 面元上的应力面元上的应力 作用于作用于 ABCDABCD、AAAA D D D D、A A ABBABB 相对面相对面 A A B B C C D D 、BBBB C C C C、D D DCCDCC 上的上的 应力分别为：应力分别为： A A B B C C D D 面面 BBBB C C C C 面面 D D DCCDCC 面面 bbxbybz dxdydzF dxdydzF dxdydzF dxdydzFijk () () () xxxxxyxz yyyxyyyz zzzxzyzz ppp ppp ppp ppijk ppijk ppijk d()d ()()() xxxxxyxzxxxyxz xy xxxz xxxyxz xppppppx xx p pp pdxpdxpdx xxx ppijkijk ijk d()d ()()() yyyxyyyzyxyyyz yxyyyz yxyyyz yppppppy yy ppp pdypdypdy yyy ppijkijk ijk d()d ()()() zzzxzyzzzxzyzz zy zxzz zxzyzz zppppppz zz p pp pdzpdzpdz zzz ppijkijk ijk 将流体中微元六面体作隔离体进行分析，先就将流体中微元六面体作隔离体进行分析，先就 x x 轴方向上讨论，轴方向上讨论， 作用于六面体表面沿作用于六面体表面沿x x轴方向的表面力的和为轴方向的表面力的和为6 6个面个面x x轴方向的分量轴方向的分量 相加，也就是上述相加，也就是上述 6 6 个方程中“个方程中“i”i”项乘以相应的作用面积在相加项乘以相应的作用面积在相加 六面体六面体 x x 轴方向的质量力为：轴方向的质量力为： 六面体的质量为：六面体的质量为： 六面体六面体 x x 轴方向的加速度为轴方向的加速度为 根据牛顿的运动定律：根据牛顿的运动定律： 这就是这就是 x x 轴方向以应力表示的微分形式的运动方程。 同样可写出轴方向以应力表示的微分形式的运动方程。 同样可写出 y y、z z 轴方向的以应力表示的微分形式的运动方程：轴方向的以应力表示的微分形式的运动方程： y y 轴方向轴方向 z z 轴方向轴方向 合写成矢量表示的微分形式的运动方程：合写成矢量表示的微分形式的运动方程： yx xxzx p pp dxdydzdydxdzdzdxdy xyz 前后面前后面 的压力的压力 左右面左右面 的切力的切力 上下面上下面 的切力的切力 d d d bx Fxy z d d dxy z x x Du a Dt Fma d d dd d d yx xxzxx bx yx xxzxx bx p ppDu Fxyzdxdydzdydxdzdzdxdyxyz xyzDt p ppDu F xyzDt xyyyzyy by pppDu F xyzDt yz xzzzz bz p ppDu F xyzDt ()()() bxxxyxzyxyyyzzxzyzz y xz b Du Fppppppppp Dtxyz p pp F xyz ijkijkijk 由于由于 上述方程左边为单位体积流体的惯性力， 右端第一项为作用于单上述方程左边为单位体积流体的惯性力， 右端第一项为作用于单 位体积流体上的质量力，第二项为作用于单位体积流体上的表面力。位体积流体上的质量力，第二项为作用于单位体积流体上的表面力。 重点：重点：N NS S（纳维（纳维- -斯托克斯）方程斯托克斯）方程 运动方程的特殊形式运动方程的特殊形式 且且 故而故而 代入微分形式运动方程得：代入微分形式运动方程得： 其中其中 单位体积流体的惯性力单位体积流体的惯性力 单位体积流体的质量力单位体积流体的质量力 作用于单位体积流体的压强梯度作用于单位体积流体的压强梯度 粘性变形应力粘性变形应力 粘性体膨胀应力粘性体膨胀应力 y xz p pp divP xyz b div Du P Dt F 2PSpdivv I 2 3 2 2 3 divPSpdivv I 2 2 3 divSgradpgraddivv 2 2 3 b Dv FgradpdivSgraddivv Dt Dv Dt b F gradp 2divS 2 3 graddivv 三、伯努利积分及其应用三、伯努利积分及其应用 伯努利方程的限制条件：伯努利方程的限制条件： (1) (1) 无粘性正压流体；无粘性正压流体； ( (2)2)有势力；有势力； (3)(3)定常流动流体；定常流动流体；( (4) 4) 沿流线成立。沿流线成立。 上式是水力学中最重要的关系式之一， 实质上是沿同一流线各点上式是水力学中最重要的关系式之一， 实质上是沿同一流线各点 的机械能守恒的数学表达式。工程上常写成：的机械能守恒的数学表达式。工程上常写成： 单位质量流体的动能（速度水头）单位质量流体的动能（速度水头） ，流体静止时为流体静止时为 0 0 单位质量流体的势能（位置水头）单位质量流体的势能（位置水头） 单位质量流体的压力能（压强水头）单位质量流体的压力能（压强水头） 应用应用important 1、试用流体力学的角度分析:两艘平行行驶的船只为什么不能靠得太近? 连续原理：VA=常数 （1） 伯努利原理：P/+ V2/2= 常数（2） 当两艘平行行驶的船靠得太近时。由（1）知两船之间的过流面积 A 减小, 流速 V 增大；再由（2）知,动能 V2/2 增大,压能 P 减小；而两船外侧的流速小, 压能大,其结果两船外侧往里压,两船进一步靠近,以致于发生碰撞。 由伯努利方程知道：流体的流速越大，静压力就越小。当海洋中两艘大轮船 平行航行又靠得很近时，由于水可认为是不可压缩的连续流体，流过两船之间狭 窄“巷道”的海水流速必然要大于从两船外侧流过的海水流速，因此两船之间的 向外的水压便小于两船外侧向内的水压， 在外侧水压的作用下， 轮船将会 “自动” 相互碰撞而发生惨剧。 2、飞机的机翼的翼型使得飞行中前面的空气掠过机翼向后时，流经机翼上部的 空气要通过的路程大于流经机翼下部的空气通过的路程， 因此上部空气流速大于 下部空气的流速， 上部空气对机翼向下的压力就会小于下部空气对机翼向上的压 力，从而产生升力。（速大压小速大压小） 测压管测压管 水头水头 2 ( ) 2 vp gzc 2 ( ) 2 vp zc gg 2 2 v g z p 总水头总水头 3、足球里弧线球的物理原理？ 两个原理： （1）如果一个物体一侧气压高，另一侧气压低，那么它会受到 一个力，方向是从气压高的一侧指向气压低的一侧； （2）气流流速快时气压低，流速慢时气压高。 在俯视图中，球是逆时针旋转的，球向前飞行， 因此气流相对于球是向后的。由于摩擦力的作用，球 左侧的气流被加速，球右侧的气流被减速，于是球两 侧的气压也改变了球左侧气流快，右侧气流慢，因此 球右侧的气压高，左侧气压低，对球产生了一个向左 的作用力，使得球运动方向改变通过对球施加不同的 旋转，可以踢出不同的弧线球，比如外旋，内旋，电 梯球 足足 球球 气流气流 加速加速 减速减速 四、流体的平衡问题（计算题）四、流体的平衡问题（计算题） 教材教材 P P104 104习题习题 2.10考题与此题类似！ ！ ！考题与此题类似！ ！ ！ 曲面形状为曲面形状为 3/4 个圆柱，半径为个圆柱，半径为 r=0.8m，宽度为，宽度为 1m，其中心线，其中心线 沿水平方向，位于水面下沿水平方向，位于水面下 h=2.4 深处，求曲面所受液体总压力。深处，求曲面所受液体总压力。 解：竖直方向上：解：竖直方向上： 水平方向上：水平方向上： H r 2 3 1 9.8 0.8 1 2.4 1 9.83.14 0.81 4 33.59kN 1 9.8 (2.40.4) 1 0.815.68kN 小题：小题： 1 1、无量纲分析、无量纲分析 例题：下列哪一个是表达式是无量纲的（例题：下列哪一个是表达式是无量纲的（ A A ） A A、Ft/mv B B、P/g C、mv2/gh D、Fl/gh 2 2、连续介质假设、连续介质假设 处于流体状态的物质， 无论是液体还是气体， 都是由大量不断运处于流体状态的物质， 无论是液体还是气体， 都是由大量不断运 动着的分子所组成。从微观角度来看，流体是离散的， 因此流体物理动着的分子所组成。从微观角度来看，流体是离散的， 因此流体物理 量的分布在空间和时间上都是不连续的。量的分布在空间和时间上都是不连续的。 但流体力学是研究流体的宏观运动的， 它是大量分子的平均统计但流体力学是研究流体的宏观运动的， 它是大量分子的平均统计 特性。特性。17531753 年欧拉采取了一个基本假设，认为：流体质点（或流体年欧拉采取了一个基本假设，认为：流体质点（或流体 微团） 连续地毫无间隙地充满着流体所在的整个空间， 这就是连续介微团） 连续地毫无间隙地充满着流体所在的整个空间， 这就是连续介 质假设。质假设。 连续介质模型也有一定的适用范围， 当气体分子平均自由程与物连续介质模型也有一定的适用范围， 当气体分子平均自由程与物 体特征尺寸可相比拟时 （如在体特征尺寸可相比拟时 （如在 120120kmkm 高空， 空气分子的平均自由程约高空， 空气分子的平均自由程约 为为 3030mmmm，空气十分稀薄） ，就不能再应用连续介质的概念而必须考虑空气十分稀薄） ，就不能再应用连续介质的概念而必须考虑 气体分子的结构了。气体分子的结构了。 * * 流体质点流体质点微观充分大，宏观充分小。微观充分大，宏观充分小。 * *用连续介质假设简化时， 只要研究描述流体宏观状态的物理量，用连续介质假设简化时， 只要研究描述流体宏观状态的物理量， 如密度、速度、压强等。如密度、速度、压强等。 除了除了稀薄气体稀薄气体与与血液在微血管中的运动血液在微血管中的运动外， 其他大部分均可用连外， 其他大部分均可用连 续介质模型作理论分析。续介质模型作理论分析。 3 3、粘性粘性流体所具有的抵抗变形的性质。流体所具有的抵抗变形的性质。 牛顿粘性定律：牛顿粘性定律： 其中其中 为速度梯度，为速度梯度， 为粘度系数或者动力粘度（性）系数，其为粘度系数或者动力粘度（性）系数，其 值随流体不同而不同，耽误为值随流体不同而不同，耽误为。 du dy du dy 4 4、 其中其中 可理解为剪切应变率， 故上式表示剪应力与剪切应变率成正可理解为剪切应变率， 故上式表示剪应力与剪切应变率成正 比。比。 牛顿流体：剪应力与剪切应变率之间牛顿流体：剪应力与剪切应变率之间满足满足线性关系。线性关系。 常见的牛顿流体：常见的牛顿流体：水，空气水，空气等。等。 非流动流体：剪应力与剪切应变率之间非流动流体：剪应力与剪切应变率之间不满足不满足线性关系。线性关系。 常见的非牛顿流体：常见的非牛顿流体：食品工业中的奶油，蜂蜜，蛋白，果浆；食品工业中的奶油，蜂蜜，蛋白，果浆； 建筑材料中的沥青，水泥浆，油漆，石膏水溶液；大多数油建筑材料中的沥青，水泥浆，油漆，石膏水溶液；大多数油 类及润滑脂、高分子聚合物溶液、树胶；动物血液类及润滑脂、高分子聚合物溶液、树胶；动物血液等。等。 5 5、 拉格朗日方法着眼于流体质点， 跟踪每个流体质点的运动全过拉格朗日方法着眼于流体质点， 跟踪每个流体质点的运动全过 程及描述运动过程中各质点、 各物理量随时间变化的规律。 又称轨迹程及描述运动过程中各质点、 各物理量随时间变化的规律。 又称轨迹 法。通常以流体质点的初始坐标点作为区别不同的流体质点的标志。法。通常以流体质点的初始坐标点作为区别不同的流体质点的标志。 设设 t=tt=t0 0时，流体质点的坐标值是（时，流体质点的坐标值是（a a，b b，c c） 。） 。 流体质点的空间位置、密度、压强和温度可表示为：流体质点的空间位置、密度、压强和温度可表示为： a,b,c,ta,b,c,t拉格朗日变数拉格朗日变数 流体质点速度为：流体质点速度为： 流体质点加速度为：流体质点加速度为： 欧拉法的着眼点不是流体质点， 而是空间点。 欧拉法是设法在空欧拉法的着眼点不是流体质点， 而是空间点。 欧拉法是设法在空 间的每一点上描述出流体运动参数随时间的变化情况。 观测先后流过间的每一点上描述出流体运动参数随时间的变化情况。 观测先后流过 各空间点的各个质点的物理量变化情况， 便能了解整个或部分流场的各空间点的各个质点的物理量变化情况， 便能了解整个或部分流场的 运动情况， 故又称空间点法或流场法。 例如在气象观测中广泛使用欧运动情况， 故又称空间点法或流场法。 例如在气象观测中广泛使用欧 拉法。拉法。 dud dxd dxd dydy dtdt dydt , , , , , , , , , , , , rr a b c t a b c t pp a b c t TT a b c t , , , , , , , , , x y z x a b c t v t y a b c t v t z a b c t v t 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , x x y y z z x a b c tv a tt vy a b c t a tt z a b c tv a tt 由欧拉法特点可知，各物理量是空间点由欧拉法特点可知，各物理量是空间点 x x，y y，z z，t t 的函数。的函数。 所以速度、密度、压强和温度可表示为：所以速度、密度、压强和温度可表示为： x,y,z,tx,y,z,t欧拉变数欧拉变数 加速度可表示为：加速度可表示为： 迹线迹线迹线是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它给出了同迹线是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它给出了同 一一 流体质点在不同时刻的空间位置。流体质点在不同时刻的空间位置。与拉格朗日法对与拉格朗日法对 应应。 流线流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的 切线都与速度矢量相重合。切线都与速度矢量相重合。与欧拉法对应。与欧拉法对应。 流线的性质：流线的性质： 1 1、定常流动中，迹线与流线重合，且不随时间变化；、定常流动中，迹线与流线重合，且不随时间变化； 2 2、实际流场中，一般流线不能、实际流场中，一般流线不能 相交、不能突然转折。相交、不能突然转折。 6 6、正压流体与斜压流体正压流体与斜压流体 流体的密度一般是温度、 压强等量的函数， 这种流体称为斜压流流体的密度一般是温度、 压强等量的函数， 这种流体称为斜压流 体。而当密度只是压强的函数时，这种流体称为正压流体。体。而当密度只是压强的函数时，这种流体称为正压流体。 在正压流体中， 等密度面与等压强面是重合的， 而在斜压流体中，在正压流体中， 等密度面与等压强面是重合的， 而在斜压流体中， 等密度面与等压强面互相斜交。等密度面与等压强面互相斜交。 完全气体运动时，若过程是绝热的或等温的，由状态方程，密度完全气体运动时，若过程是绝热的或等温的，由状态方程，密度 与压强的关系分别为：与压强的关系分别为： 绝热状态方程：绝热状态方程： 等温状态方程：等温状态方程： , , , , , , , , , , , , vv x y z t x y z t pp x y z t TT x y z t xxxxx xxyz