求轨迹方程题型全归纳.pdf

1 求轨迹方程的六种常用方法 1直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公 式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例 1已知线段6AB，直线BMAM ,相交于M，且它们的斜率之积是 4 9 ，求点M 的轨迹方程。 解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则( 3,0),(3,0)AB， 设点M的坐标为( ,)x y，则直线AM的斜率(3) 3 AM y kx x ，直线BM的斜 率(3) 3 AM y kx x 由已知有 4 (3) 339 yy x xx 化简，整理得点M的轨迹方程为 22 1(3) 94 xy x 练习： 1平面内动点P到点(10,0)F的距离与到直线4x的距离之比为2，则点P的轨迹方 程是。 2设动直线l垂直于x轴，且与椭圆 22 24xy交于A、B两点，P是l上满足 1PA PB 的点，求点P的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线 的平面内的轨迹是（） A直线B椭圆C抛物线D双曲线 2 2定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义 法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭 圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例 2若( 8,0),(8,0)BC为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30， 则ABC的重心轨迹方程是_。 解：设ABC的重心为( ,)G x y，则由AC和AB两边上的中线长之和是30可得 2 3020 3 BGCG， 而点( 8,0),(8,0)BC为定点，所以点G的轨迹为以,B C 为焦点的椭圆。 所以由220,8ac可得 22 10,6abac 故ABC的重心轨迹方程是 22 1(0) 10036 xy y 练习： 4方程 22 2 (1)(1)|2|xyxy表示的曲线是（） A椭圆B双曲线C线段D抛物线 3点差法 圆 锥 曲 线 中 与 弦 的 中 点 有 关 的 问 题 可 用 点 差 法 ， 其 基 本 方 法 是 把 弦 的 两 端 点 1122 (,),(,)A x yB xy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 12 xx， 12 yy， 12 xx， 12 yy等关系式，由于弦AB的中点( ,)P x y的坐标满足 12 2xxx， 12 2yyy且直线AB的斜率为 21 21 yy xx ，由此可求得弦AB中点的轨迹方程。 例3椭圆 22 1 42 xy 中 , 过(1,1)P的弦恰被P点平分, 则该弦所在直线方程为 _。 解：设过点(1,1)P的直线交椭圆于 11 (,)A x y、 22 (,)B xy，则有 22 11 1 42 xy 22 22 1 42 xy 可得 12121212 ()()()() 0 42 xxxxyyyy 3 而(1,1)P为线段AB的中点，故有 1212 2,2xxyy 所以 121212 12 ()2()21 0 422 xxyyyy xx ，即 1 2 AB k 所以所求直线方程为 1 1(1) 2 yx化简可得230xy 练习： 5 已知以(2, 2)P为圆心的圆与椭圆 22 2xym交于A、B两点，求弦AB的中点M 的轨迹方程。 6 已知双曲线 2 2 1 2 y x， 过点(1,1)P能否作一条直线l与双曲线交于,A B两点，使P 为线段AB的中点？ 4转移法 转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： 某个动点P在已知方程的曲线上移动； 另一个动点M随P的变化而变化； 在变化过程中P和M满足一定的规律。 例 4已知P是以 12 ,F F为焦点的双曲线 22 1 169 xy 上的动点，求 12 F F P的重心G的 轨迹方程。 解 ：设 重心( ,)G x y，点 00 (,)P xy，因为 12 ( 4,0),(4,0)FF 则有 3 0 00 3 0 44 y y x x ， 故 yy xx 3 0 3 0 代入1 9 2 0 16 2 0 yx 得所求轨迹方程 2 2 9 1(0) 16 x yy 4 例 5抛物线 2 4xy的焦点为F, 过点(0, 1)作直线l交抛物线A、B两点 , 再以AF、 BF为邻边作平行四边形AFBR，试求动点R的轨迹方程。 解法一： （转移法） 设( , )R x y，(0,1)F，平行四边形AFBR的中心为 1 (,) 22 xy P ， 将1ykx，代入抛物线方程,得 2 440xkx， 设 1122 (,),(,)A xyB xy，则 2 1212 1212 16160| 1 44 44 kk xxkxxk x xx x 222 2 121212 12 ()2 42 44 xxxxx x yyk， P为AB的中点 . 12 22 1 2 22 221 21 k yyy k xx x 34 4 2 ky kx ，消去k得 2 4(3)xy，由得，| 4x，故动点R的轨迹方程为 2 4(3)(| 4)xyx。 解法二： （点差法） 设( , )R x y，(0,1)F，平行四边形AFBR的中心为 1 (,) 22 xy P， 设 1122 (,),(,)A xyB xy，则有 2 11 4xy 2 22 4xy 由得 12121212 ()()4()4 l xxxxyyxxk 而P为AB的中点且直线l过点(0,1)，所以 12 1 1 3 2 2, 2 2 l y xy xxx k x x 代 入可得 3 4 y x x ，化简可得 2 212 412 4 x xyy 由点 1 (,) 22 xy P 在抛物线口内，可得 221 ()48(1) 22 xy xy 5 将式代入可得 2 22 12 8(1)16|4 4 x xxx 故动点R的轨迹方程为 2 4(3)(| 4)xyx。 练习： 7已知( 1,0),(1,4)AB，在平面上动点Q满足4QA QB ，点P是点Q关于直线 2(4)yx的对称点，求动点P的轨迹方程。 5参数法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方 程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。 在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示 不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某 些变量的取值范围的变化等等。 例 6过点( 2,0)M作直线l交双曲线 22 1xy于A、B两点，已知OPOAOB。 （1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （2）是否存在这样的直线l，使OAPB矩形？若存在，求出l的方程；若不存在， 说明理由。 解：当直线l的斜率存在时，设l的方程为(2)(0)yk xk，代入方程 22 1xy，得 2222 (1)4410kxk xk 因为直线l与双曲线有两个交点，所以 2 10k，设 1122 (,),(,)A x yB xy，则 22 1212 22 441 , 11 kk xxx x kk 2 121212 22 44 (2)(2)()44 11 kkk yyk xk xk xxkk kk 设( ,)P x y，由OPOAOB 得 2 1212 22 44 ( ,)(,)(,) 11 kk x yxxyy kk 2 2 2 4 1 4 1 k x k k y k 所以 x k y ，代入 2 4 1 k y k 可得 2 4 1() x y y x y ，化简得 22 40xyx即 22 (2)4xy 当 直 线l的 斜 率 不存 在 时， 易 求 得( 4,0)P满 足 方程 ，故 所 求 轨迹 方 程为 6 22 (2)4(0)xyy，其轨迹为双曲线。 （也可考虑用点差法求解曲线方程） （2）平行四边OPAB为矩形的充要条件是0OA OB即 1212 0x xy y 当k不存在时，A、B坐标分别为( 2, 3)、( 2,3)，不满足式 当k存在时， 222 1 21212121212 (2) (2)(1)2()4x xy yx xk xk xkxxkxxk 2222 2 22 (1)(14)24 40 11 kkkk k kk 化简得 2 2 1 0 1 k k ， 此方程无实数解，故不存在直线l使OPAB为矩形。 练习： 8设椭圆方程为1 4 2 2y x, 过点(0,1)M的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点 , 点P满足)( 2 1 OBOAOP, 点N的坐标为) 2 1 , 2 1 (, 当l绕点M旋转时 , 求: (1) 动点P的轨迹方程； (2)| NP的最小值与最大值。 9设点A和B为抛物线 2 4(0)ypx p上原点O以外的两个动点，且OAOB，过 O作OMAB于M，求点M的轨迹方程。 6交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程 组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。 例 7已知MN是椭圆1 2 2 2 2 b y a x 中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端 点，求直线MA和NB的交点P的轨迹方程。 解 1:( 利用点的坐标作参数) 令 11 (,)M x y，则 11 (,)N xy 而(,0),( ,0)AaB a. 设AM与NB的交点为( , )P x y 因为,A M P共线，所以 ax y ax y 1 1 因为,N B P共线，所以 ax y ax y 1 1 两式相乘得 2 2 1 2 1 22 2 ax y ax y ，而1 2 2 1 2 2 1 b y a x 即 2 ) 2 1 2 ( 2 2 1 a xab y代入 得 2 2 22 2 a b ax x ，即交点P的轨迹方程为1 2 2 2 2 b y a x 解 2: (利用角作参数 ) 设( cos , sin)M ab，则( cos ,sin)N ab 7 所以 aa b ax y cos sin , aa b ax y cos sin 两式相乘消去 即可得所求的P点的轨迹方程为1 2 2 2 2 b y a x 。 练习： 10两条直线01yax和)1(01aayx的交点的轨迹方程是_ _。 总结归纳 1要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲 线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若 是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明,x y的取值范围。 2 “轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”， 然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应 分别讨论，以保证它的完整性。 8 练习参考答案 1 22 (2) 1 1648 xy 2解：设P点的坐标为( , )x y，则由方程 22 24xy，得 2 4 2 x y 由于直线l与椭圆交于两点A、B，故22x 即A、B两点的坐标分别为 22 44 ( ,),( ,) 22 xx A xB x 22 44 (0,),(0,) 22 xx PAy PBy 由题知1PA PB即 22 44 (0,) (0,)1 22 xx yy 2 2 4 1 2 x y即 22 26xy所以点P的轨迹方程为 22 1( 22) 63 xy x 3D 【解析】 在长方体 1111 ABCDABC D中建立如图所示的 空间直角坐标系，易知直线AD与 11 D C是异面垂直的两 条直线，过直线AD与 11 D C平行的平面是面ABCD，设 在平面ABCD内动点( ,)Mx y满足到直线AD与 11 D C 的距离相等，作 1 MMMP于 1 M，MNCD于N， 11 NPD C于P， 连 结MP， 易 知MN平 面 111 ,C D D CM PD C，则有 1 MMMP， 222 |yxa(其中a是异面直线AD与 11 D C间的距离 ) ，即有 222 yxa，因此动点 M的轨迹是双曲线，选D. 4A 5解 设( ,)M x y， 1122 (,),(,)A x yB xy 则 1212 2 ,2xxx yyy，由 myx 2 1 2 2 1 ，myx 2 2 2 2 2 两式相减并同除以 12 ()xx得 M O P B A y x 9 1212 1212 11 22 yyxxx xxyyy , 而 12 12 AB yy k xx 2 2 PM y k x , 又因为PMAB所以1 ABPM kk 12 1 22 xy yx 化简得点M的轨迹方程240xyxy 6先用点差法求出210xy，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。 中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须 进行检验。 7解：设( , )Q x y，则( 1,),(1,4)QAxy QBxy 由4( 1,) (1,4)4( 1)(1)()(4)4QA QBxyxyxxyy 即 222 (2)3xy 所以点Q的轨迹是以(0, 2)C为圆心，以3 为半径的圆。 点P是点Q关于直线2(4)yx的对称点。 动点P的轨迹是一个以 000 (,)Cxy为圆心，半径为3 的圆，其中 000 (,)Cxy是点 (0, 2)C关于直线2(4)yx的对称点， 即直线2(4)yx过 0 CC的中点， 且与 0 CC 垂直，于是有 0 0 00 2 21 0 20 24 22 y x yx 即 000 000 2408 21802 yxx yxy 故动点P的轨迹方程为 22 (8)(2)9xy。 8解： (1) 解法一 : 直线l过点(0,1)M，设其斜率为k, 则l的方程为1ykx 记),( 11 yxA、),( 22 yxB由题设可得点A、B的坐标),( 11 yx、),( 22 yx是方程组 1 4 1 2 2 y x kxy 的解 将代入并化简得,032)4( 22 kxxk, 所以 . 4 8 , 4 2 2 21 2 21 k yy k k xx 于是 ). 4 4 , 4 () 2 , 2 ()( 2 1 22 2121 kk kyyxx OBOAOP 10 设点P的坐标为),(yx则 . 4 4 , 4 2 2 k y k k x 消去参数k得04 22 yyx 当k不存在时 , A、B中点为坐标原点(0,0), 也满足方程 , 所以点P的轨迹方程为 22 40xyy 解法二 : 设点P的坐标为),(yx, 因),( 11 yxA、),( 22 yxB在椭圆上 , 所以 , 1 4 2 12 1 y x .1 4 2 22 2 y x 得0)( 4 12 2 2 1 2 2 2 1 yyxx, 所以 .0)( 4 1 )( 21212121 yyyyxxxx 当 21 xx时, 有.0)( 4 1 21 21 2121 xx yy yyxx 并且 . 1 , 2 , 2 21 21 21 21 xx yy x y yy y xx x 将代入并整理得 .04 22 yyx 当 21 xx时, 点A、B的坐标为(0,2),(0,2)，这时点P的坐标为(0,0) 也满足 , 所以点P的轨迹方程为 2 2 1 () 2 1 11 164 y x (2) 解: 由点P的轨迹方程知 21 16 x，即 11 44 x所以 12 7 ) 6 1 (34 4 1 ) 2 1 () 2 1 () 2 1 (| 222222 xxxyxNP 故当 4 1 x ,|NP取得最小值 , 最小值为 6 1 ; 4 1 x当 时,| NP取得最大值 , 最大值为 21 6 9解法 1 ：