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文档简介

线 性 规 划 常 见 题 型 及 解 法 南 安 一 中苏 浩 洋 一 、 基 础 篇一 、 基 础 篇 线 性 规 划 是 新 教 材 中 新 增 的 内 容 之 一 , 由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件 , 并 作 出 可 行 域 , 进 而 通 过 平 移 直 线 在 可 行 域 内 求 线 性 目 标 函 数 的 最 优 解 是 最 常 见 的 题 型 , 除 此 之 外 , 还 有 以 下 几 类 常 见 题 型 。 1、约 束 条件 与可行 域1、约 束 条件 与可行 域 ( 1) 、 可行域求约束条件 例 1、如图,表示图中阴影区域的不等式组是 _. 说明:如图,易求边界两条直线分别为 2x-y+2=0、2x+3y-6=0,又原点(0,0) 在可行域内,分别满足不等式 0-0+20 与 0+0-60。 ( 不 等 式 Ax+By+C0 到底表示直线 Ax+By+C=0 的上方还是下方,由 B 的符号 决定。B0,上方;Bkx+b or y0) 取 得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为() A、 3B、 3C、 1D、1 如 图 ,作 出 可行域 ,作直线l:x+ay0,要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a0)取 得最 小值 的最 优 解 有 无 数个,则将l向右上方平移后与直 线 x+y5 重合,故 a=1,选 D 备 选 4: 如图, A(1,0)、 B(0,1)、 C(,), 目 标 函 数 t=ax-y 的 可 行 域 为 四 边 形 OACB, 若 当 且 仅 当 x=,y=时 , 目 标 函 数 t 取 最 小 值,则实数 a 的取值范围是( -2.4, -0.3). 说 明 : KBC=-0.3,KAC=-2.4,平移斜率为 a 的直 线 ax-y=0,由题意可知: -2.4a-0.3 ( 2) 、 求约束条件中参数的取值范围 dcx bay )( )( c d x a b y c a c d a b 22 22 CByAx BA BA 3 2 5 4 3 2 3 2 例 7、已 知|2xym| 3 表示 的平面区域包含点(0,0) ( 1,1) , 则 m 的取值范围是() A、 ( -3,6)B、 ( 0,6)C、 (0,3)D、 (-3,3) 解 : |2x y m|3 等价于 230 230 xym xym 由 右 图可知 33 30 m m ,故 0m3,选 C 备 选 5:已知 x、y、z,满足, 且 z=2x+4y 的最小值 为 -6, 则常数 k=(D) A、 2B、 9C、 310D、 0 二 、 综 合 篇二 、 综 合 篇 线 性 规 划 是 数 学 规 划 中 理 论 较 完 整 、 方 法 教 成 熟 的 、 应 用 较 广 泛 的 一 个 分 支 。 它 不 单 单 是 对 直 线 内 容 的 深 化 , 而 且 更 多 的 是 与 解 析 几 何 、 向 量 、 不 等 式 、 概 率 等 其 它 知 识 的 交 汇 。 近 年 高 考 的 分 值 在 逐 年增加,这类问题的综合命题就更加令人注目。 1、与函 数交 汇1、与函 数交 汇 例 8: 已 知 函 数 f(x)=ax 2-c,满 足 , f(1) -4, -1, f(2) -1, 5, 求 f(3)的取值范围。 解 答 :f(1) -4,-1 -4a-c-1; f(2) -1, 5-14a-c5;在坐 标平面 aoc 中,原题相当于在约束条件 及下求目标函数 z= f(3)=9 a-c 的 最 优 解 。 如 图 , 可行域为 ABCD。做直线 L:9a-c=0。平移 L 使过 A(0,1) 时 ,zmin=-1;平移 L,使过 C(3,7) ,zmax=20。f(3)= -1,20 O 2x y = 0 y 2x y + 3 = 0 x-y+50 x+y+k0 x33 c4a+1 ca+4 ca+1 c4a-5 备 选 6: 已知函数 f(x)=(3a-1)x+b-a,若当 0x1,总有 f(x) 1, 则 a+b 的最大值为_. 简 析 :f(0) 1, f(1) 1 即 b-a1,2a+b-11。化归为线性目标函数 z=a+b 在该约束条件下的最大值。 2、与概 率交 汇2、与概 率交 汇 例 9、 甲 、 乙两 人相约在 13h 到 14h 在公园 相 见 ,早 到 者在等待 20min 后 离去,若两人 到 达 公 园的时刻相互独立,且在 13h 到 14h 的 任 何 时刻都等可能,则他们能相见的概率为( D) A、B、C、D、 解 : 假 设 ( x, y) 表 示 甲 到 达 时 间 为 x 分 钟 , 乙 到 达 时 间 为 y 分 钟 ,则 两 人要相遇必须满足 |x-y|20。在坐标平面 xoy 中,作出|x-y| 20 表示的平面区域(如图阴影部分,其可行域面积为 S1) ,则甲 乙 到达 的 可 能 结 果 的全 体 G 为正 方形 ABCD,而 只有 当( x, y)必 须落 在其 中 的 可 行域中,两人方能见面。 所 以 P= 备 选 7: 在 长 为 k 的 线 段 AB 上 任 意 作 两 点 L、 M, 求 |LM|LA| 的概率=0.75。 说 明 : 在 求 解 某 些 概 率 问 题 时 , 可 借 助 坐 标 系 和 一 系 列 的 等 价 变 换 , 将 一 次 试 验 可 能 结 果 的 全 体 用 某 一 图 形 的 面 积 G 来 代 替 , 然 后 将 其 所 求 事 件 包 含 的 结 果 数 以 线 性 约 束 条 件 的 形 式 展 现 出 来 , 若 其 相 应的可行域面积为 g,则所求事件的概率为 g/G。 3、与几 何交 汇3、与几 何交 汇 9 1 3 2 9 5 ABCD S S1 ABCD DHEABCD S SS 2 3 1 例 10、设集合 A=( x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长 ,则 A 所 表 示 的平面区域(不含边界的阴影部分)是( A) 简 析 :且 又 如 上 面 的 例 题 中 的 整 点 、 距 离 、 斜 率 、 轨 迹 等 都 是 线 性 规 划 与 平 面 几 何的综合考察。 4、与向 量交 汇4、与向 量交 汇 例 11、 )的变化范围是(的动点 ,则满足条件 AP OPOMOPONONOM1010),1 , 0(, 2 1 , 1 解:设 P 的坐标 P(x,y) ,则由已知可得:0x+0.5y1,0y1,新的思 维:线性规划。因此动点 P 的变化范围是 A 中阴影部分且包括边界。 说明:向

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