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第四章 导数及其应用 第19课 导数与函数、不等式的综合问题课时分层训练A组基础达标(建议用时:30分钟)一、填空题1已知aR,且函数yexax,xR有大于零的极值点,那么实数a的取值范围是_(,1)yexa,由y0,得xln(a)因为x0,所以a1,所以a1,即实数a的取值范围是(,1)2已知函数f(x)x33a2x1的图象与直线y3只有一个公共点,那么实数a的取值范围是_(1,1)f(x)3x23a2,令f(x)0,则xa.由题意知当a0时,f(a)a33a311,所以1a0时,f(a)a33a313,即a31,所以0a0,若af,b2f(2),cf,则a,b,c的大小关系是_. 【导学号:62172108】ac0时,h(x)f(x)xf(x)0,此时函数h(x)单调递增afh,b2f(2)2f(2)h(2),cfhh(ln 2)h(ln 2),又ln 22,ac0时,有0的解集是_(,2)(0,2)x0时,0,(x)为减函数,又(2)0,当且仅当0x0,此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数,h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(,2)(0,2)8已知函数f(x)若|f(x)|ax,则a的取值范围是_2,0y|f(x)|的图象如图所示:要使|f(x)|ax,只需找到yax与yx22x相切时的临界值即可,由y|x02可知a2,结合图象可知,当实数a满足2a0时,有|f(x)|ax.9设f(x)|ln x|,若函数g(x)f(x)ax在区间(0,4)上有三个零点,则实数a的取值范围是_由题意,可知方程|ln x|ax在区间(0,4)上有三个根,令h(x)ln x,则h(x),又h(x)在(x0,ln x0)处切线yln x0(xx0)过原点,得x0e,即曲线h(x)过原点的切线的斜率为,而点(4,ln 4)与原点确定的直线的斜率为,所以实数a的取值范围是.10已知函数f(x)(xR)满足f(1)1,且f(x)的导数f(x),则不等式f(x2)的解集为_(,1)(1,)令F(x)f(x)x,由f(x)可知,F(x)f(x)0.F(x)在R上单调递减又f(1)1,f(x2)可化为f(x2)x2f(1),即F(x2)1,即x1或x1.二、解答题11已知函数f(x)x3x26xa.(1)若对于任意实数x,f(x)m恒成立,求实数m的最大值;(2)若方程f(x)0有且仅有一个实数根,求实数a的取值范围解(1)f(x)3x29x63(x1)(x2),因为x(,),f(x)m恒成立,即3x29x(6m)0恒成立,所以8112(6m)0,解得m,即m的最大值为.(2)因为当x0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.所以当x1时,f(x)取得极大值f(1)a;当x2时,f(x)取得极小值f(2)2a.故当f(2)0或f(1)0时,方程f(x)0有且仅有一个实数根,解得a,即实数a的取值范围为(,2).12(2017如皋市高三调研一)设函数f(x)ln xax2(a0)(1)讨论函数f(x)零点的个数;(2)若函数f(x)有极大值为,且存在实数m,n,m4a. 【导学号:62172109】解(1)f(x)2ax(x0)当a0,f(x)ln x在(0,)上有一个零点;当a0,f(x)在(0,)上单调递增,f(1)a0,f(ea)aae2aa(1e2a)0,f(x)0,x,xf(x)0f(x)f(x)maxfln.()当a时,f(x)在(0,)上有没有零点;()当a时,f(x)在(0,)上有一个零点;()当0a时,f(x)在(0,)上有没有零点;当a或a0时,f(x)在(0,)上有一个零点;当0a时,f(x)在(0,)上有两个零点(2)证明:由(1)可知f(x)极大值f,a.因为f(x)ln x,令F(x)f(x)f(2x),则F(x)f(x)f(2x)2.由F(x)0,得x1.x(0,1)1(1,)F(x)0F(x)因为m1n,所以F(m)f(m)f(2m)0,即f(m)f(2m),又因为f(m)f(n),所以f(n)2n,即mn2得证B组能力提升(建议用时:15分钟)1(2017南京模拟)已知函数f(x)g(x)f(x)2k,若函数g(x)恰有两个不同的零点,则实数k的取值范围为_当x0时,f(x)(2x2)ex,当x时取得极小值f2(1)e,当x0时,f(x)0,且f(0)0,函数f(x)的图象如图所示,函数g(x)恰有两个不同的零点,就是f(x)的图象与直线y2k有两个不同的交点,所以32k0)(1)若f(x)在1,1内没有极值点,求实数a的取值范围;(2)当a2时,方程f(x)0有三个互不相同的解,求实数m的取值范围解(1)因为f(x)3x22axa23(xa),令f(x)0,得x或a,因为f(x)在1,1内没有极值点,而且a0,所以解得a3,故实数a的取值范围是(3,)(2)当a2时,f(x)3(x2)0的两根为,2,要使方程f(x)0有三个互不相同的解,需使解得10m,所以m的取值范围为.4(2017南通模拟)已知函数f(x)(2a)x2(1ln x)a,g(x).(1)若函数f(x)在区间上无零点,求实数a的最小值;(2)若对任意给定的x0(0,e,在(0,e上方程f(x)g(x0)总存在两个不等的实根,求实数a的取值范围解f(x)(2a)(x1)2ln x,(1)令m(x)(2a)(x1),x0;h(x)2ln x,x0,则f(x)m(x)h(x),当a2时,m(x)在上为增函数,h(x)在上为增函数,若f(x)在上无零点,则mh,即(2a)2ln,a24ln2,24ln2a2.当a2时,在上m(x)0,h(x)0,f(x)0,f(x)在上无零点由得a24ln 2,amin24ln 2.(2)g(x)e1xxe1x(1x)e1x,当x(0,1)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;当x(1,e时,g(x)0,函数g(x)单调递减,又g(0)0,g(1)1,g(e)e2e0,函数g(x)在(0,e上的值域为(0,1方程f(x)g(x0)等价于(2a)(x1)g(x0)2ln x,令p(x)(2a)(x1)g(x0),则p(x)过定点(1,g(x0),

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