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函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数yf(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5 若函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T2|ab|性质6、若函数yf(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T2|ab|性质7、若函数yf(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线xb轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T4|ab|3.函数图象本身的对称性(自身对称)若,则具有周期性;若,则具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。1、 图象关于直线对称推论1: 的图象关于直线对称推论2、 的图象关于直线对称推论3、 的图象关于直线对称2、 的图象关于点对称推论1、 的图象关于点对称推论2、 的图象关于点对称推论3、 的图象关于点对称例题分析:1设是上的奇函数,当时,则等于 ( )(A)0.5 (B) (C)1.5 (D) 2、(山东)已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A1 B0 C1 D23设是定义在上的奇函数,求4函数对于任意实数满足条件,若,则_5已知是定义在上的奇函数,且它的图像关于直线对称。(1)求的值;(2)证明是周期函数;(3)若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x2)f(x)当x0,2时,f(x)2xx2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x2,4时,求f(x)的解析式巩固练习:1函数f(x)是周期为4的偶函数,当x0,2时,f(x)x1,则不等式xf(x)0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)2设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有f(x1)f(x1),已知当x0,1时,f(x)1x,则:2是函数f(x)的周期;函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;函数f(x)的最大值是1,最小值是0;当x(3,4)时,f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_3设定义在R上的奇函数yf(x),满足对任意tR,都有f(t)f(1t),且x时,f(x)x2,则f(3)f的值等于()A BC D4若偶函数yf(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)(x1)(xa)(3x3),则f(6)等于_5、(1);(2)(3)若设.6设f(x)是(,)上的奇函数,f(x2)f(x),当0x1时,f(x)x.(1)求f(3)的值;(2)当4x4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积7设是定义在上以2为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式.8.设函数对任意实数满足, 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.9.已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数.又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值.(1)证明:;(2)求的解析式;(3)求在上的解析式.10.已知,(1)判断的奇偶性;(2)证明:11、定义在上的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围。12(重庆文)已知定义域为的函数是奇函数。()求的值;()若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围。复习题:1 已知数列,其前项和为,点在抛物线上;各项都为正数的等比数列满足.()求数列,的通项公式;()记,求数列的前项和2在中,角、所对的边分别是、,且(其中为的面积)()求;()若,的面积为3,求3某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数依次为1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:12345频率02045(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求,的值;ABCPH()在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为,等级系数为5的2件日用品记为,现从,这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率4. 如图,在三棱锥中,底面,为的中点, ,.()求证:平面;()求经过点的球的表面积。5.已知抛物线与轴交点为,动点在抛物线上滑动,且(1)求中点的轨迹方程;(2)点在上,关于轴对称,过点作切线,且与平行,点到的距离为,且,证明:为直角三角形 6. 设函数.(1)求的极大值;(2)求证:(3)当方程有唯一解时,方程也有唯一解,求正实数的值;函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数yf(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5 若函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T2|ab|性质6、若函数yf(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T2|ab|性质7、若函数yf(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线xb轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T4|ab|3.函数图象本身的对称性(自身对称)若,则具有周期性;若,则具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。1、 图象关于直线对称推论1: 的图象关于直线对称推论2、 的图象关于直线对称推论3、 的图象关于直线对称2、 的图象关于点对称推论1、 的图象关于点对称推论2、 的图象关于点对称推论3、 的图象关于点对称例题分析:1设是上的奇函数,当时,则等于 ( )(A)0.5 (B) (C)1.5 (D) 2、(山东)已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A1 B0 C1 D23设是定义在上的奇函数,求4函数对于任意实数满足条件,若,则_5已知是定义在上的奇函数,且它的图像关于直线对称。(1)求的值;(2)证明是周期函数;(3)若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x2)f(x)当x0,2时,f(x)2xx2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x2,4时,求f(x)的解析式解:(1)证明:f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)x2,4,x4,2,4x0,2,f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x),f(x)x26x8,即f(x)x26x8,x2,4巩固练习:1函数f(x)是周期为4的偶函数,当x0,2时,f(x)x1,则不等式xf(x)0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析:选Cf(x)的图像如图当x(1,0)时,由xf(x)0得x(1,0);当x(0,1)时,由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)2设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有f(x1)f(x1),已知当x0,1时,f(x)1x,则:2是函数f(x)的周期;函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;函数f(x)的最大值是1,最小值是0;当x(3,4)时,f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_解析:由已知条件:f(x2)f(x),则yf(x)是以2为周期的周期函数,正确;当1x0时0x1,f(x)f(x)1x,函数yf(x)的图像如图所示:当3x4时,1x40,f(x)f(x4)x3,因此正确,不正确答案:3设定义在R上的奇函数yf(x),满足对任意tR,都有f(t)f(1t),且x时,f(x)x2,则f(3)f的值等于()A BC D解析:选C由f(t)f(1t)得f(1t)f(t)f(t),所以f(2t)f(1t)f(t),所以f(x)的周期为2.又f(1)f(11)f(0)0,所以f(3)ff(1)f02.4若偶函数yf(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)(x1)(xa)(3x3),则f(6)等于_解析:yf(x)为偶函数,且f(x)(x1)(xa)(3x3),f(x)x2(1a)xa,1a0.a1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0)1.5、(1);(2)(3)若设.6设f(x)是(,)上的奇函数,f(x2)f(x),当0x1时,f(x)x.(1)求f(3)的值;(2)当4x4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积解:(1)由f(x2)f(x)得,f(x4)f(x2)2f(x2)f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(3)f(34)f(1)1.(2) 由f(x)是奇函数与f(x2)f(x),得f(x1)2f(x1)f(x1),即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图像关于直线x1对称又0x1时,f(x)x,且f(x)的图像关于原点成中心对称,则1x0时,f(x)x,则f(x)的图像如图所示当4x4时,设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S,则S4SOAB44.7设是定义在上以2为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式.解:当,即,又是以2为周期的周期函数,于是当,即时,8.设函数对任意实数满足, 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解:由题设知函数图象关于直线和对称,又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间上,故图象与轴至少有2个交点.而区间有6个周期,故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.9.已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数.又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值.(1)证明:;(2)求的解析式;(3)求在上的解析式.解:是以为周期的周期函数,且在上是奇函数,.当时,由题意可设,由得,.是奇函数,又知在上是一次函数,可设而,当时,从而时,故时,.当时,有,.当时,.10.已知,(1)判断的奇偶性;(2)证明:11、定义在上的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围。12(重庆文)已知定义域为的函数是奇函数。()求的值;()若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围。 10(1)偶函数 (2)奇函数 11(1)偶函数 12、 复习题:2 已知数列,其前项和为,点在抛物线上;各项都为正数的等比数列满足.()求数列,的通项公式;()记,求数列的前项和2在中,角、所对的边分别是、,且(其中为的面积)()求;()若,的面积为3,求3某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数依次为1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:12345频率02045(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求,的值;ABCPH()在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为,等级系数为5的2件日用品记为,现从,这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率4. 如图,在三棱锥中,底面,为的中点, ,.()求证:平面;()求经过点的球的表面积。5.已知抛物线与轴交点为,动点在抛物线上滑动,且(1)求中点的轨迹方程;(2)点在上,关于轴对称,过点作切线,且与平行,点到的距离为,且,证明:为直角三角形 6. 设函数.(1)求的极大值;(2)求证:(3)当方程有唯一解时,方程也有唯一解,求正实数的值;复习题答案:1、解:(),当时, 数列是首项为2,公差为3的等差数列, 又各项都为正数的等比数列满足 ,解得, ()由题得 -得 12分2、解析:()由已知得即 6分 ()由()知 ,12分 3、.解:(1)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 1分因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b=0.153分等级系数为5的恰有2件,所以c=0.1 4分从而a=0.35-b-c=0.1所以a=0.1 b=0.15 c=0.1 6分(2)从日用品,中任取两件,所有可能结果(,),(,),(,),(,),(,),( ,),(,),(,),(,),(,)共10种, 9分设事件A表示“从日用品,中任取两件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件为(,),(,),(,),(,)共4个,11分故所求的概率P(A)= =0.4 12分4、()证明:因为 底面,底面,

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