山东省沂水县高中数学第三章直线的两点式方程学案新人教A版.docx

32.2直线的两点式方程学习目标1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标知识点一直线方程的两点式思考1已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2，求通过这两点的直线方程答案yy1(xx1)，即.思考2过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为110，而0不能做分母过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示.名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式思考1过点(5,0)和(0,7)的直线能用1表示吗？答案能由直线方程的两点式得，即1.思考2已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a0，b0，求通过这两点的直线方程答案由直线方程的两点式得得1.名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y轴上的截距分别为a，b且a0，b01斜率存在且不为0，不过原点知识点三线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则类型一直线的两点式方程例1(1)若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_.答案2解析由直线方程的两点式得，即.直线AB的方程为y1x2，点P(3，m)在直线AB上，则m132，得m2.(2)ABC的三个顶点为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：AC所在直线的方程BC边的垂直平分线的方程解由直线方程的两点式得，所以AC所在直线的方程是3xy90.因为B(2,1)，C(2,3)，所以kBC，线段BC的中点坐标是，即(0,2)，所以BC边的垂直平分线方程是y22(x0)，整理得2xy20.反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系跟踪训练1已知ABC的顶点是A(1，1)，B(3,1)，C(1,6)求与CB平行的中位线的直线方程解方法一由A(1，1)，C(1,6)，则AC的中点为M.又因为A(1，1)，B(3,1)，则AB的中点为N(1,0)故过MN的直线为(两点式)，即平行于CB的中位线方程为5x2y50.方法二由B(3,1)，C(1,6)得kBC，故中位线的斜率为k.又因为中位线过AC的中点M，故中位线方程为yx(斜截式)，即5x2y50.类型二直线的截距式方程例2求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程解设直线的两截距都是a，则有当a0时，直线设为ykx，将P(2,3)代入得k，直线l的方程为3x2y0；当a0时，直线设为1，即xya，把P(2,3)代入得a5，直线l的方程为xy5.直线l的方程为3x2y0或xy50.反思与感悟如果直线与两坐标轴都相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直跟踪训练2(1)直线l过定点A(2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l的方程为_(2)直线l过点P(，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l的方程为_答案(1)x2y40或9x2y120；(2)3x4y120或15x8y360.解析(1)由题意可知直线l的方程为1(ab0)，则有解得或直线l的方程为1或1，即x2y40或9x2y120.(2)设直线l的方程为1(a0，b0)，由题意知，ab12.又因为直线l过点P(，2)，所以1，即5a232a480，解得所以直线l的方程为3x4y120或15x8y360.类型三直线方程的综合应用例3已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程解如图，过B(3，3)，C(0,2)的两点式方程为，整理得5x3y60.这就是BC边所在直线的方程BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为(，)，即(，)过A(5,0)，M(，)的直线的方程为，即x13y50.这就是BC边上中线所在直线的方程反思与感悟直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决跟踪训练3如图，已知正方形ABCD的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB，BC所在的直线方程分别为_对称轴所在直线的方程为_答案xy20，xy20yx，x0，y0解析AB4，在RtOAB中，|OA|2|OB|2|AB|2，|OA|OB|2，由直线的截距式方程可得AB的直线方程为1，即xy20.由上面可得：B(0,2)，C(2，0)，BC的直线方程为1，即xy20，易得对称轴所在直线的方程为yx，x0，y0.1过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为()Ayx3 Byx1Cyx2 Dyx2答案A解析代入两点式得直线方程，整理得yx3.2经过P(4,0)，Q(0，3)两点的直线方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析由点坐标知直线在x轴，y轴上的截距分别为4，3，所以直线方程为1，即1.3经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为()Ax2 By2 Cx3 Dx6答案B解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y2，故选B.4过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是_答案4x3y0或xy10解析若直线过原点，则k，yx，即4x3y0.若直线不过原点，设1，即xya. a3(4)1，xy10.5已知ABC的三个顶点坐标为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上的高AD所在直线的方程；(3)BC边上的中线AE所在直线的方程解(1)直线BC的方程为，即x2y40.(2)由(1)知kBC，则kAD2，又AD过A(3,0)，故直线AD的方程为y2(x3)，即2xy60.(3)BC边中点为E(0,2)，故AE所在直线方程为1，即2x3y60.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论一、选择题1下列说法正确的是()A方程k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线B直线ykxb与y轴的交点为B(0，b)，其中截距b|OB|C在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为1D方程(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)表示过任意不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程答案D解析方程k表示过P1(x1，y1)且斜率为k的直线，但不包括点P1(x1，y1)，故A错；对于B，截距可正、可负、可为零，从而错误；对于截距式方程1中要求ab0.2直线1在y轴上的截距是()A|b| Bb2 Cb2 Db答案B解析令x0得，yb2.3以A(1,3)，B(5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A3xy80 B3xy40C3xy60 D3xy20答案B解析因为kAB，AB的中点坐标为(2,2)，所以所求直线方程为y23(x2)，化简为3xy40.4若直线1过第一、二、三象限，则()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0答案C解析因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a0.5两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图象可以是()答案A解析两条直线化为截距式分别为1，1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合6过点(4，3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有()A1条 B2条 C3条 D4条答案C解析当a0且在两坐标轴上截距相等时，设直线方程为1，(4，3)在直线上，1得a1，直线方程为xy10；当a0，且截距互为相反数时，设直线方程1，(4，3)在直线上，即1，解得：a7，直线方程为xy70，当与两坐标轴上截距都为零时，可设直线方程为ykx，由34k，得k，yx，所求直线方程为xy10或xy70或yx，故共3条二、填空题7过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是_答案1解析设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m2，n6，即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6)则l的方程为1.8过点(2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为_答案3x2y0或xy50解析该直线过原点时，设直线方程为ykx，将x2，y3代入得：k，直线方程为3x2y0.当与两坐标轴截距不为零时，设直线方程为1，直线过点(2,3)，即1，得a5，直线方程为xy50，故所求直线方程为3x2y0或xy50.9过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_答案3x2y60解析由题意知，直线在y轴上的截距为3，则在x轴上的截距为2，该直线截距式方程为1即3x2y60.三、解答题10求经过点P(5，4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程解设所求直线方程为1.直线过点P(5，4)，1，于是得4a5bab，又由已知，得|a|b|5，即|ab|10.由，得解得或故所求直线方程为1或1.即8x5y200或2x5y100.11在ABC中，已知A(5，2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程解(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为M，BC边的中点为N，因为M在y轴上，所以0得x05.又因为N在x轴上，所以0，所以y03.即C(5，3)