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第三章练习题 1. 某公司拟在某城市建设一座化工厂,该厂每年要从 A、B、C、D 四个原料供应地运来不同 的原料。各地与城市中心的距离和年运量如下表,假定各种材料运输费率相同,试用重心法 确定该厂的合理位置。 数据表 原材料供应地ABCD 供 应 地 坐 标 (KM) X1Y1X2Y2X3Y3X4Y4 4050707015186832 年运输量/t180014001500700 解答: 构建的数学模型: 其中 r 代表运输费率,因为题目假定各种材料的运输费率相同,qi代表年运输量, x, y 代 表选址点,xi,yi代表原材料供应地的坐标 对上式求偏导数得到: (1) (2) 其中: (3) 这需要多次地迭代可以得到:重心位置 迭代步骤如下: 1)给出式(2)的初始条件,即假设的场址初始位置(x*(0), y*(0) ) 。 2) 令 k1,利用式(3)求出 di (0)。 3) 利用式(1)求出总运输费用 Z(0)。 4) 令 kk+1,利用式(2)求出第 k 次迭代结果。 5) 代入式(3)求出 di(k),利用式(1)求出总费用 Z(k)。 6) 若 Z(k)Z(k-1),说明总运费在减少,返回步骤(4) ,继续迭代,否则说明 (,)为最佳,停止迭代。 当然: 重心求解也可简化为: (4) 22 4 1 )()(),(min iii i yyxxqryxfZ 4 1 )1( 4 1 )1( * )/( )/( )( i kii i kiii dq dxq kx 4 1 )1( 4 1 )1( * )/( )/( )( i kii i kiii dq dyq ky 2* )1( 2* )1()1( )()( ikikki yyxxd 因为假定各种材料的运输费率相同,因此根据(4) ,可得出: 选址点的坐标为(44.5 公里,44 公里) 2. DryIce 公司是一家空调设备制造商,它看到期市场需求量增长迅速。该公司预料 2006 年 全国范围的需求量如下:南部地区为 180,000 个单位;中西部为 120,000 个;东部 110,000 个;西部为 100,000 个。DryIce 公司的管理者正在设计生产制造网络并已选择了四个潜在地 点:纽约、亚特兰大、芝加哥和圣迭戈。工厂的产能可以有两种方案,即 200,000 个单位或 400,000 个单位。四个选址的年固定成本,以及生产和运送一个空调设备到各个市场的成本 可见下表 2-1。DryIce 公司应该在哪里建工厂?他们的产能应该有多大? 2-1 DryIce 公司的生产和运输成本单位:美元 纽约亚特兰大芝加哥圣迭戈 200,000 产能工厂的年固定成本(百万)65.55.66.1 400,000 产能工厂的年固定成本(百万)109.29.310.2 东部211232238290 南部232212230280 中西部240230215270 西部300280270225 解答: 这道题目需要我们在固定成本(在产能较大的工厂中每件产品的生产成本较低)与(运输和 制造)成本两者之间作出权衡。同时在选址还需要考虑一个问题:如果运输成本占得比重较 大时,就应该是区域选址策略,也就是在每个需求区域均设立仓库,但如果想要通过规模经 济来降低固定成本,那就应该选择建立少量设施实现集中供货。 模型构建: n=4, 潜在选址点 m=4, 需求地区的数量 Dj:每个需求市场的年需求量 Ki:潜在选址点的最大可能产能,注意:产能与开工成本相对应 fi:潜在选址点的开工的年固定成本 cij:从潜在选址点 i 到需求市场 j 的生产和运输成本 yi: 如果该潜在选址点被选中则为 1,否则为 0 xij: 从前在选址点 i 到需求市场 j 的运量 所有变量为整数且非负 ) 1 , 0(y ,.,1 ,.,1 i 1 1 n 11 i n 1 niyKx mjDx xcyfMin ii m j ij j n i ij i m j ijij i i 用 EXECL 求解得到: 最优的解是选择四个工厂(产能为 200000)分别服务各自的需求市场。纽约东部 110,000, 亚特兰大南部 180,000,芝加哥中西部 120,000,圣地亚哥西部 100,000 3. Sunchem 是一家印刷油墨的生产厂商,他在全世界有 5 个制造工厂。他们的位置、产能, 以及每个设施生产 1 吨油墨的成本见下表 3-1。 生产成本是按工厂所在国家当地货币来计算。 油墨主要的市场有北美、南美、欧洲、日本和亚洲其他地方。每个市场的需求见表 3-1.管理 层必须作出 2006 年的生产计划。 (1) 假设预计的汇率见表 3-2 所示,而且每个工厂运行不低于 50%的产能,那么每个工厂 应该生产多少?每个工厂应该供应哪些市场? (2)如果对一个工厂的生产量没有限制,那么每个工厂应该生产多少? (3)在任何一个工厂增加 10 吨的产能可以降低成本吗? (4)Sunchem 公司应该如何考虑或应对汇率随时间波动这种事实? 表 3-1 Sunchem 公司的产能、需求、生产和运输成本 北美南美欧洲日本亚洲产能(吨/年) 生产成本 (/吨) 美国美元600120013002000170018510,000 德国马克130014006001400130047515,000 日本日元200021001400300900501,800,000 巴西瑞亚尔120080014002100210020013000 印度卢比220023001300100080080400,000 需求 (吨/年) 270190200120100 表 3-2 2006 年预计的汇率 美元德国马克日元瑞亚尔印度卢比 美元1.0001.993107.71.7843.55 德国马克0.502154.070.8921.83 日元0.00930.018510.0160.405 瑞亚尔0.5621.12460.65124.52 印度卢比0.0230.0462.470.0411 解答: 构建模型: n=5, 潜在选址点 m=5, 需求地区的数量 Dj:每个需求市场的年需求量 Ki:潜在选址点的最大可能产能,要求工厂运行不低于 50%的产能 cij:将 1 顿油墨从工厂 i 运到需求市场 j 的成本 pi:在工厂 i 生产 1 吨油墨的成本 xij: 从工厂 i 运到需求市场 j 的运量 所有变量为整数且非负 niKx niKx mjDx xpcMin i m j ij i m j ij j n i ij iji n i m j ij ,.,15 . 0 ,.,1 ,.,1 )( 1 1 1 11 最优解是: (1) 美国德国日本巴西印度总需求 北美10016010270 南美190190 欧洲200200 日本9525120 亚洲2080100 总成本106000040637504260001625200800007974950 (2)如果没有生产限制,则最优解为: 美国德国日本巴西印度总需求 北美2700270 南美190190 欧洲200200 日本120120 亚洲100100 总成本358060038367607417360 (3)在任何一个工厂增加 10 吨的产能可以降低成本吗? 美国德国日本巴西印度总需求 北美115135200270 南美190190 欧洲200200 日本120120 亚洲2080100 总成本121900040662501710.26800007795510 与(1)相比成本下降了。 4. A 和 B 公司均是一个手机生产厂家,A 公司专注于美国东半部市场,其在巴尔的摩、孟 菲斯和威奇托拥有制造工厂,并服务于亚特兰大、波士顿和芝加哥的市场。B 公司的目标市 场在美国的西半部, 服务于丹佛、 奥马哈和波特兰的市场。 B 公司在夏延和盐湖城拥有工厂。 每个工厂的产能、市场需求、运送的每千单位产品的可变生产和运输成本,以及每月的固定 成本见表 4-1. 表 4-1 A 和 B 的产能、需求和成本数据 供应城 市 需求城市每千单位生产和运输成本(千美元)月产能 (千单 位) 月固定 成本 (千美 元) 亚特兰 大 波士顿芝加哥丹佛奥马哈波特兰 巴尔的 摩 1675400685163011602800187650 夏延146019409701004951200243500 盐湖城192524001425500950800275000 孟菲斯380135554310456652321224100 威奇托92216467005083111797312200 月需求 量(千 单位) 108146711 帮助两个公司的决策者作出如何将需求量分配给他们的生产设施? 解答: A、B 公司的需求产能分配模型 n=3, 工厂数量/ n=2, 工厂数量 m=6, 需求地区的数量 Dj:每个需求市场的年需求量 Ki:工厂 i 的产能 cij:从工厂 i 到需求市场 j 的生产和运输成本 xij: 从工厂 i 运到需求市场 j 的运量 所有变量均为整数且非负 niKx mjDx xcMin i m j ij j n i ij i m j ijij ,.,1 ,.,1 1 1 n 11 A、B 公司产能分配方案为: 亚特兰大波士顿芝加哥丹佛奥马哈波特兰 巴尔的摩82 孟菲斯1012 威奇托 盐湖城11 夏延67 5. A 和 B 是两家已合并的欧洲的家用电器生产厂家。 A 在法国、 德国和芬兰有工厂; 而 B 公 司在英国和意大利有工厂。欧洲市场被划分为四个区域;北部、东部、西部和南部。工厂产 能(百万单位每年) 、年固定成本(百万欧元每年) 、区域需求(百万单位) ,以及可变的成 本和运输成本(欧元每单位)详见表 5-1。 可变成本和运输成本产能年固定成 本北部东部南部西部 A法国100110105100501000 德国95105110105501000 芬兰9010011511040850 需求量30202035 B英国10512011090501000 意大利11010590115601150 需求量15203020 每件电器平均售价为 300 欧元。 所有工厂目前都看成是利润中心, 该企业单独为每个工厂纳 税。不同国家的税率如下:法国 0.25、 德国 0.25、芬兰 0.3、英国 0.2、意大利 0.25. (1)合并前,如果两家企业的目标是使成本最小化,那么每个企业最优的网络是什么? 如果目标是使税后利润最大化,那么最优的网络又是什么? (2)合并后,如果不关闭任何工厂,那么成本最小的配置是什么?如果不关闭任何工厂, 那么是使税后利润最大化的配置是什么? (3)合并后,如果可以关闭工厂(假设关闭一个可以节省该工厂 100%的年固定成本) , 那么成本最小的配置是什么?使税后利润最大化的配置是什么? 解答: (a)合并之前两家单独运作 对 A、B 公司产能分配模型 n=3, 工厂数量/ n=2, 工厂数量 m=4, 需求地区的数量 Dj:每个需求市场的年需求量 Ki:工厂的产能 cij:从工厂 i 到需求市场 j 的可变成本,包括生产成本、运输成本和关税 fi:工厂 i 开工的年固定成本 ti:工厂 i 所在地的税率 xij: 从工厂 i 运到需求市场 j 的总数量 所有变量为整数且非负 niKx mjDx xcfMin i m j ij j n i ij i m j ijij i i ,.,1 ,.,1 1 1 n 11 n 1 A、B 公司产能分配结果为: 北部东部南部西部 法国1535 德国105 芬兰2020 英国151520 意大利530 利润最大化的函数表达式是: niKx mjDx xcfpxtM i m j ij j n i ij ij n i m j ij n i i m j iji n i ,.,1 ,.,1 )1 (ax 1 1 11111 (b)合并后,此时,工厂数量就变为 n=5,当然在计算时需求也要随之变化。 计算的产能分配方案为: 北部东部南部西部 法国5 德国305 芬兰1525 英国50 意大利50 (c)构建模型 n=5,工厂数量 m=4, 需求地区的数量 Dj:每个需求市场的年需求量 Ki:工厂 i 的产能 c

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