数学概念的理解与教学.ppt

数学概念的理解与教学,有效教学的关键,理解数学，理解学生，理解教学。 “三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；初中数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。 特别强调“内容所反映的数学思想方法”的理解，决定了教学所能达到的水平和效果。,当前概念教学的问题,不重视章节起始课的教学，没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中； 概念教学走过场，常常采用“一个定义，三项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠 有些老师不知如何教概念,教概念的意义,李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！ 以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空,概念教学的核心,概念教学的核心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。,概念教学的基本环节,典型丰富的具体例证属性的分析、比较、综合； 概括共同本质特征得到概念的本质属性； 下定义（准确的数学语言描述）；,概念的辨析以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义； 用概念作判断的具体事例形成用概念作判断的具体步骤； 概念的“精致”建立与相关概念的联系。,例1 代数的核心概念、思想方法,代数以符号(不定元)代表数； 代数学的根源在于代数运算； 代数运算有一系列普遍成立的运算律：交换律、结合律、分配律、指数法则； 模式、关系、函数：“找规律”，用代数符号表征和理解数学结构、数量关系、变化规律。,代数学的基本思想：有系统、有效力地运用数系的加、乘和指数运算的运算律，去解决各种各样的代数问题： 各种式（整式、分式、根式等）的运算用运算律进行“等价变换”；作为数及其运算的推广。 方程未知数、已知数之间的特定代数关系；解方程由代数方程式确定其中的“未知数”的值；,解方程的基本原理：运算律对任何数都成立（通性），所以对“未知数”也成立、可用。有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数化未知为已知。 一元一次方程是基础，其它都用消元、降次转化为一元一次方程。 方程问题，从元的增加、次数的增加两个方向，依照由简到繁、由易到难顺次展开。,从代数式（符号代表数）、方程（符号代表未知数）到函数（符号代表变数）是一个飞跃，这是看问题角度的根本变化从变化过程中考察规律，函数是研究变化规律的。 一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映不仅明确x，y的意义，而且明确k，b的意义变化规律由k，b决定。 其他函数也类似。,例2 乘法公式的理解及教学设计,多项式运算就是含有字母符号的算式之间的运算（字母代表数，数满足运算律，所以字母也满足运算律）； 两个多项式的乘积就是用分配律把它归于单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积是用乘法的交换律、结合律和指数法则来计算运算法则； 乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题，是一个模式。,乘法公式蕴含的思想方法,乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察，寻找一个模式： 在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b，c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即 （1）a=c，b=d时有平方差公式； （2）a=c，b=d时有完全平方和公式；等。 从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例”是数学研究的“基本套路”。,教学过程设计,1复习与引入 问题1 前面我们学习了单项式、多项式的乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的依据是什么？ 设计意图：回顾运算法则，强化“用运算律计算”的意识。,先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数学中，经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，例如在两条直线的位置关系中，我们特别研究了平行、垂直两种特殊的位置关系，得到了一些有用的结论。类似的，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。,2公式的探究 问题2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？ 设计意图：通过“先行组织者”，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学对象的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比对象，明确思考方向。,问题3 请你用自己的语言表述平方差公式、完全平方公式。 设计意图：帮助学生理解公式。 3例题 本环节主要目的是通过变式（字母a，b取数、式等各种变形），让学生体会公式在“形式化运算”中的作用。另外，通过适当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让学生明确：第一，具备形式(a+b)(ab)或(ab)2，就可以用公式；第二，要注意哪个代表a，哪个代表b。,4公式的多元联系表示 问题4 如果a，b表示线段的长，则a2，b2分别表示正方形的面积。你能根据公式的形式，自己构造一个图形表示上述乘法公式吗？ 设计意图：通过构造几何模型表示公式，以开拓学生的思路。通过数形结合、图形直观，以加深理解、增强记忆。,5小结 （1）请你总结一下本节课讨论问题的基本过程。 设计意图：引导学生总结“基本套路”，即“多项式乘法（一般）乘法公式（特殊）公式特征分析与相关知识的联系”。 （2）为什么要讨论“特殊情形”？是如何得到的？ 设计意图：体会“如何提出问题”。,（3）能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题？ 设计意图：引导学生自主研究。必要时可作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推广“次数”，可以研究(a+b)3，(a+b)4。虽然这不是“课标”要求的，但对学生思维发展是有好处的。,例3 函数概念的理解和教学,被扭曲的函数概念教学举例： （1）只在形式化变形上下功夫 如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图 像的一部分，图像过点a(3,0)，对 程轴为x=1，给出下列四个结论： b4ac，bc0，2a+b=0，a+b+c=0，其中正确的结论是 。,（2）与平面几何知识的叠加,(3)将知识点拼凑、叠加，成为一种数学游戏 据称，这是近几年中考常见的压轴题。有评论说：“这样的题目的特点是通过采用宽入口、低起点、层层递进、逐步提高知识的综合程度，利用点和线的图形运动，借助函数知识来研究图形在运动变化过程中的数量关系，同时渗透多种数学思想方法的方式设计题目的问题，为题目的区分度奠定了较好的基础。” 完全离开了函数的背景，割裂了函数与客观世界的天然联系。 人为制造，矫揉造作！,关于函数概念的理解,说文解字：函信函，传递和交流信息的书面形式。引申为（有顺序的）对应关系。 函数的来源：函数来源于运动，是应“科学的数学化”之所需。“数学从运动的研究中引出了一个基本概念。在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数或变量间的关系的概念。”（m克莱因）,函数概念的本质,函数概念的本质：两个变量之间的一种特殊的对应关系。“函数”不是一个数，而是一个对应关系。 函数概念所反映的基本思想：运动变化的思想。 教学的核心任务：让学生体验“一个量随着另一个量的变化而变化”的过程只有数字、图形游戏是办不到的。,题目的比较,我们习以为常的题目： 这样的题目，只有形式化的训练，主要在代数运算上下功夫，函数的味道很淡，“变量”、“运动变化”、“一个量随另一个量的变化而变化”以及变化过程中“确定的关系”或“变化规律”等，都体现得不够。 换一种方法出题目：,函数味道很浓，“变量”、“一个量随另一个量的变化而变化”以及变化过程中“确定的关系”或“变化规律”等，都得到充分体现。一定要理解了概念才能回答，如必须真正理解斜率k的实际含义才能回答“是什么原因导致了他们所画的图像的不同？” 两种出题方法的教育功能也是不同的后一种方法更有助于学生理解函数概念的本质；能让学生感受数学的作用；对学生能力的培养更全面。,函数概念的发展简史,背景：17世纪，科学家们致力于对运动的研究。如计算天体的位置，长距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等。涉及两个变量之间的关系，要根据这种关系对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的速度推测它能达到的高度和射程。,莱布尼兹用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等。1718年，贝努利强调函数要用公式表示。1755年，欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”。 当时很多数学家对不用公式表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度。,1837年，狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”。 1870年代，随着集合概念的出现，函数概念用更加严谨的集合与对应语言表述。 映射的语言定义函数则是更晚的事情了。,函数概念的教学要点,为学生铺设概括函数概念的通道； 精选实际例子从实例出发，在函数概念的引入、表示、性质和应用等阶段都要注意使用实际例子，为学生提供理解函数概念的“参照物”。一个好例子胜过一千次说教。 不在字面含义、形式化“应用”等方面纠缠，多让学生用函数观点解释具体问题。 围绕运动变化、变量、一个量随另一个量的变化而变化等，以实例为载体开展教学，加强思想方法、函数建模等。,例4 一次函数的例题教学,一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式a以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式b除收月基费20元外，再以每分0.05元的价格按照上网时间计费。如何选择收费方式能使上网更合算？ 通常的做法：列出函数解析式，画出函数图像看出相交，再解二元一次方程组得交点坐标，结合图像，给出回答；或者引入“差额函数”，借助与x轴的交点作答。,充分挖掘本题的教学价值,问题1 10分两种方式收费各多少？20分呢？50分呢？引导学生采用多种表征方式，用表格法很方便。,问题2 为什么可以用射线表示收费情况？ 问题3 为什么方式a的图像经过原点，而方式b的图像经过点（0，20）？ 问题4 如何找到上网a分时的两种方式各收费多少？ 问题5 计费方式的哪些方面在表格或图像中表现出来了？（两组数的差是常数；每多上网1分，就要再付0.1元或0.05元）。,问题6 如果你不常上网，选哪种方式更合算？如果常上网呢？ 问题7 如果你想尽量长时间上网，但又不想让费用超过40元，该选哪种方式？ 问题8 如果方式a收取基费，或方式b提高基费，对图像有什么影响？（截距问题） 问题9 如果方式a决定将每分0.1元提高到每分0.15元，它的图像有什么变化？（斜率问题） 问题10 如果方式a改为不足1分按1分算，请画出图像。（阶梯形）,问题11 哪种函数表示法更容易得到收费相等的时间点？ 问题12 哪种函数表示法更容易看出每分的收费标准？ 问题13 如何从表格中确定收费标准？ 问题14 如何从图像上确定收费增加快慢？ 问题15 如何从图像上看出用哪种方式更经济？,例5 平行四边形的判定,核心：判定与性质的逻辑关系，以此为载体，培养合情推理、逻辑推理的能力 教学过程的设计要点： 复习怎样复习？不只是罗列知识点 提出判定定理的学习任务，由定义可以判定（讲清条件：两组对边互相平行），但条件的表现形式是多样化的，根据不同条件更灵活地判断学习判定定理的理由,从操作开始，还是从逆命题开始？ 暂时认同先操作：操作猜想“两组对边相等的四边形为平行四边形”证明接着干什么？（与性质定理比较） 后续的猜想，可以从性质出发。如果还不做，则在小结时无论如何要说。,当前存在的问题,没有关注思维的自然，逻辑推理能力的培养，停留在“实验猜想证明应用”的模式上。 过度依赖实验，降低了平面几何的教育价值。 该推理时不推理，该证明时不证明从一般到特殊、逆命题等，都“该证明”。,例6 用频率估计概率,如何理解频率？随机变量，随试验结果的改变而改变。 概率，随机的还是确定的？ 事件a出现的概率为0，a是不可能事件吗？ 事件a出现的概率为1，a是必然事件吗？,如何理解用频率估计概率的必要性？,用抛掷硬币、掷骰子的例子好不好？ 姚明投篮：在姚明罚球出手的一刹那，画面停止，问“姚明罚进的概率有多大？” 接着该干什么？姚明罚球的命中率客观存在，如果知道该值的大小，对对方球队决策有帮助。如果该值小，罚球得分的可能性小，可以考虑犯规后“随你投”；否则考虑不犯规。 水到渠成地，提问：“如何求命中率？”,现实中，通过统计历史的罚球记录来得到罚球的命中率，即用频率估计概率。 如果知道一个随机事件发生的可能性的大小概率，有助于我们做决策，所以要想办法知道它。概率的统计定义用频率估计概率一种得到概率的方法。,正确理解“用频率估计概率”,一般地，在大量重复试验中，如果事件a发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么事件a发生的概率p(a)=p。只要试验的