微分几何教学大纲.doc

微分几何教学大纲摘要：本课程以微积分,线性代数,空间解析几何,微分方程等为基础课.而微分几何又是现代.三,教学参考书.吴大任,微分几何讲义.陈维桓等,微分几何讲义.关键词：几何,微分,微分几何,微分几何讲义类别：专题技术来源：牛档搜索（Niudown.COM）本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！14微分几何教学大纲一、总 则1、本课程的教学目的和要求： 微分几何是综合性大学数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。微分几何课的目的一方面使学生学好作为数学基础的微分几何课，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。2、本课程的主要内容：本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。主要内容有：（1） 曲线论，内容包括：向量函数及其微积分，曲线的切线、法平面，曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率和Frenet公式、曲线的局部结构及曲线论的基本定理、几类特殊曲线等。（2） 曲面论，内容包括：曲面的基本概念、切平面、法线曲线族和曲线网，曲面的第一基本形式和第一类基本量等概念，第二基本形式、渐进线、共扼线、主方向和曲率线、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构，直纹面和可展曲面，曲面论的基本定理，测地线，常Gauss曲率的曲面等。3 教学重点与难点：本课程的重点空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。4 本课程的知识范围及相关课程的关系：本课程以微积分、线性代数、空间解析几何，微分方程等为基础课。而微分几何又是现代微分方程和现代实、复分析的重要基础。5 教材的选用：根据具体情况与教学实践，选用梅向明、黄敬之编写的微分几何。二、课程内容及学时分配。第一章 曲线论 第一节 向量代数复习 1、 教学内容。 复习解析几何中向量的基本概念和运算。 2、教学目的及要求。 熟练掌握向量的基本运算：加、减、数积和向量积及其性质。 3、教学重点与难点。 向量的基本运算及其性质。 4、教学时间分配及进度安排。 2学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授。 第二节 向量函数 1、 教学内容。 向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。 2、教学目的及要求。 熟练掌握向量函数的微积分运算，具有特殊条件的向量函数的性质。 3、教学重点与难点。 向量函数的微积分学，基本运算及其性质。 4、教学时间分配及进度安排。 4学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授与习题课相结合。 第三节 曲线的概念 1、 教学内容。 曲线的基本概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参数的引进。 2、教学目的及要求。 掌握曲线的基本概念，理解曲线的基本概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参数的引进。 3、教学重点与难点。 基本概念及其几何意义，切线、法面、弧长的计算。 4、教学时间分配及进度安排。 4学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授。 第四节 空间曲线 1、 教学内容。 曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率、Frenet公式，曲线的局部结构和基本定理。 2、教学目的及要求。 掌握曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率等概念并会其求法、理解、会用Frenet公式、曲线的局部结构和基本定理。 3、教学重点与难点。 密切面、曲率、挠率的计算，Frenet公式的运用，曲线的局部结构和基本定理的理解。 4、教学时间分配及进度安排。 8学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授、例题分析。 第五节 特殊曲线 1、 教学内容。 平面曲线论、一般螺线，Bertrand曲线。 2、教学目的及要求。 掌握平面曲线论的基本概念与理论及其与空间曲线的区别；一般螺线和Bertrand曲线的基本特征。 3、教学重点与难点。 平面曲线的结构和基本定理，一般螺线和Bertrand曲线的基本特征。 4、教学时间分配及进度安排。 8学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授、例题分析。第二章 曲面论 第一节 曲面的概念 1、 教学内容。 简单曲面的参数表示，曲面的法线、切面，曲面的曲线（族）网。 2、教学目的及要求。 熟练掌握简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，会求曲面的法线、切面等。 3、教学重点与难点。 简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，曲面的法线、切面的求法等。 4、教学时间分配及进度安排。 4学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授。 第二节 曲面的第一基本形式 1、 教学内容。 曲面的第一基本形式，曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角、曲面域面积的计算，等距（角）变换等。 2、教学目的及要求。 掌握曲面第一基本形式及相关量的计算，并理解其几何意义。 3、教学重点与难点。 曲面第一基本形式及相关量的计算，第一基本形式几何 意义的理解等。 4、教学时间分配及进度安排。 6学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授与习题课相结合。 第三节曲面的第二基本形式 1、 教学内容。 曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等。 2、教学目的及要求。 掌握曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念，会相关运算。 3、教学重点与难点。 理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等意义，会进行他们的计算。 4、教学时间分配及进度安排。 10学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授例题分析。 第四节 直纹面与可展曲面 1、 教学内容。 直纹面、可展曲面。 2、教学目的及要求。 掌握直纹面和可展曲面的定义与基本特征。 3、教学重点与难点。 直纹面和可展曲面的定义与基本特征及判定定理，包络线（面）的求法。 4、教学时间分配及进度安排。 4学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授、例题分析。 第五节 曲面论的基本定理 1、 教学内容。 曲面论的基本定理及相关概念。 2、教学目的及要求。 掌握、理解曲面论基本定理的内容及相关概念与符号。 3、教学重点与难点。 曲面的第一、二类基本量满足的方程，曲率张量等符号的记法与特点，曲面论的基本定理的内容等。 4、教学时间分配及进度安排。 8学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授、例题分析。 第六节 曲面上的测地线 1、 教学内容。 曲面上曲线的测地曲率与测地线，测地线的特征，半测地坐标网，Gauss-Bonnet公式，极小曲面等。 2、教学目的及要求。 掌握、理解测地曲率和测地线、半测地坐标网的定义及其几何意义，理解Gauss-Bonnet公式及曲面上向量的平行移动，极小曲面的特征等。 3、教学重点与难点。 地曲率和测地线、半测地坐标网的定义及其几何意义， Gauss-Bonnet公式及曲面上向量的平行移动，极小曲面的特征等。 4、教学时间分配及进度安排。 10学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授、例题分析。 第七节 常Gauss曲率的曲面 1、 教学内容。 常Gauss曲率曲面，伪球面，罗巴切夫斯基几何简介。