2016_2017学年高中数学第2章数列2.3.2.2等比数列的性质学案苏教版.docx

第2课时等比数列的性质1掌握等比数列的性质，能应用其性质解题(重点)2了解等比数列与指数函数的关系(重点)基础初探教材整理1等比数列与指数函数的关系阅读教材P53，完成下列问题如果数列an是等比数列，则ana1qn1(a10，q0)，故q1时点(n，an)均在函数ya1qx1的图象上若等比数列an的通项公式an2np，则p_.【解析】结合等比数列an的图象特点，可知p0.【答案】0教材整理2等比数列的性质阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题等比数列的性质(1)如果mnkl，则有amanakal.(2)如果mn2k，则有amana.(3)在等比数列an中，每隔k项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列(4)如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.1在等比数列an中，若a51，则a2a8_.【解析】a2a8a1.【答案】12在等比数列an中，a1a23，a5a627，则a3a4_.【解析】a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，(a3a4)2(a1a2)(a5a6)32781，a3a49.【答案】9质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型等比数列的性质在等比数列an中，(1)若a3a5a7a9a11243，求的值；(2)若an0，且a3a632，求log2a1log2a2log2a8的值【精彩点拨】利用等比数列的性质，若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa求解【自主解答】(1)a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，a3a5a7a9a11a24335，a73.又a7，3.(2)log2a1log2a2log2a8log2a1a2a8log2(a1a8)4log2(a3a6)4log2324log222020.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便再练一题1(1)在各项均为正数的等比数列an中，a3a94，a6a10a3a541，求a4a8的值；(2)在等比数列an中，a5，a9是方程7x218x70的两个根，求a7.【解】(1)an为等比数列，且3948,61028,3524，a3a9a4a84，a6a10a，a3a5a，a6a10a3a5aa41，又a4a84，(a4a8)2412449，且an0，a4a87.(2)a5，a9是方程7x218x70的两个根，a50，a90.又aa5a91，且a7a5q20，a71.灵活设项求解等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数【精彩点拨】解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解【自主解答】法一：设这四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为a，a，aq(a0)，由条件得解得或当q2，a8时，所求四个数为0,4,8,16；当q，a3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1三数成等比数列，一般可设为，a，aq.2四数成等比数列，一般可设为，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3.3五数成等比数列，一般可设为，a，aq，aq2.再练一题2三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数. 【导学号：91730038】【解】设三个数依次为，a，aq，aaq512，a8.(aq2)2a，2q25q20，q2或q，这三个数为4,8,16或16,8,4.探究共研型等差数列与等比数列的综合应用探究1若an是正项等比数列，则log2an是什么数列？【提示】log2an是等差数列，由log2an1log2anlog2可知探究2若an是等差数列，则2an是什么数列？【提示】2an是等比数列，由2an1an可知设an是公差大于0的等差数列，bnan，已知b1b2b3，b1b2b3，(1)求证：数列bn是等比数列；(2)求等差数列an的通项an.【精彩点拨】(1)证明为同一常数；(2)先求bn，由bn求an.【自主解答】(1)证明：设an的公差为d(d0)，an1and为常数，且b1a10，bn为以a1为首项，公比为d的等比数列(2)b1b2b3，b，b2，或qd(0,1)，b1b3，bn2n3，an2n3，(nN*)等差数列与等比数列的转化1若数列an为等差数列，则数列man(m0，m1)为等比数列2若数列an为等比数列，且an0，则数列logban(b0，b1)为等差数列再练一题3已知xn为各项不为1的正项等比数列，yn满足ynlogxna2(a0且a1)，设y417，y711.则数列yn的前多少项的和最大？最大值是多少？【解】yn2logaxn，且xn为等比数列，yn1yn12logaxn12logaxn12loga(xn1xn1)2logax4logaxn2yn，n2，nN*，yn为等差数列又y417，y711y43d，d2，yny42(n4)252n(nN*)由yn0，知n12.故yn的前12项和最大，其最大值为144.构建体系1对任意等比数列an，下列说法一定正确的是_a1，a3，a9成等比数列；a2，a3，a6成等比数列；a2，a4，a8成等比数列；a3，a6，a9成等比数列【解析】3926，aa3a9，a3，a6，a9成等比数列【答案】2已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6_.【解析】an成等比数列，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，(a4a5a6)2(a1a2a3)(a7a8a9)50，a4a5a65，又an0，a4a5a65.【答案】53在等比数列an中，已知a1a2324，a3a436，则a5a6_. 【导学号：91730039】【解析】an为等比数列，a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，a5a64.【答案】44等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10_.【解析】因为数列an为等比数列，所以a5a6a4a7.又a5a6a4a718，a5a6a1a10a4a7a3a8a2a99，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a3a10)log395log331010.【答案】105已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数【解】依题意可设这四个数分别为：，4d,4,4d，则由前三个数和为19，可列方程得，4d419，整理得，d212d280，解得d2或d14.这四个数分别为：25，10,4,18或9,6,4,2.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则公比为_【解析】由已知得2ba，即a2b22ab，(ab)20，ab0，q1.【答案】12已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)6，则a1a15_.【解析】lg(a3a8a13)lg a6，a106a8102100.又a1a15a10 000.【答案】10 0003已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10_.【解析】an为等比数列，a5a6a4a78，联立可解得或q3或q32，故a1a10a7q37.【答案】74在各项均为正数的等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则_. 【导学号：91730040】【解析】设公比为q，则由等比数列an各项为正数且an1an知0q1，由a2a86，得a6，.a5，a4a6q5，解得q，2.【答案】5已知数列an是等比数列，且a2a62a4，则a3a5_.【解析】a2a62a4，由等比数列的性质可知，a2a6a3a5a，a2a4，a42，a3a54.【答案】46互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，a3bc10，则a_.【解析】由题意知ac2b，5b10，b2，ac4.，a2bc，a22c，a22a80，解得a2或a4.当a2时，ab2不合题意，a4.【答案】47(2016南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q_.【解析】设等差数列为an，公差为d，d0，则aa2a6，(a12d)2(a1d)(a15d)，化简得d22a1d.d0，d2a1，a2a1，a33a1，q3.【答案】38在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.【解析】设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12可得q93，又an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14.【答案】14二、解答题9数列an是等比数列，(1)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值；(2)若a22，a616，求a10；(3)若a32，a716，求a5.【解】(1)a3a4a58，a8，a42.a2a3a4a5a6(a2a6)(a3a5)a4aaa432.(2)a2a10a，a10128.(3)a3a7a，a54.又a5a3q21时，下列关于logax，logbx，logcx的说法正确的是_(填序号)成等差数列；成等比数列；各项倒数成等差数列；各项倒数成等比数列【解析】a，b，c成等比数列，则，即b2ac,2logxblogxalogxc，即，即，成等差数列【答案】2(2016启东高二检测)设an是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条件a11，a99a10010，0，给出下列结论：0q1；T1981；a99a1011；使Tn0，可知该等比数列的公比是正值，再根据1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0q1，a1001，又a99a101a1，不正确；T199a1a2a100a198a199(a100)1991，令bnan1(n1,2，)若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.【解析】bnan1，anbn1，而bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，an有连续四项在集合54，24,18,36,81中an是公比为q的等比数列，|q|1，an中的连续四项为24,36，54,8