等比数列及数列中的解题方法.doc

英杰教育学科教师辅导教案审查组长： 学员编号： 年 级：高 一 课 时 数：3课时 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师：授课主题 数列的概念与等差数列 教学目的1、 理解并掌握等比数列的通项公式，前n项和公式2、会灵活运用等比中项,会用构造新数列法求通项公式，3、掌握递推公式法、倒序相加法、列项相消法、错位相减求数列的前n项和；教学重点 构造新数列法；数列的前n项和求法授课日期及时段教学内容一、等比数列1、高考考点（1） 等比数列的概念（2）等比数列的通项公式与前n项和的公式 考试要求 （1）掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式（2）能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题；（3）了解等比数列与指数函数的关系.2、知识梳理等比数列定义或注意；通项公式前n项和公式注意q含字母讨论简单性质若,则.3、 等比数列重要结论（1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）成等比数列=q（,q0） “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q，q0) 隐含：任一项 q= 1时，an为常数 例 下面四个数列：（1）1，1,2,4,8,16,32,64；（2）在数列中，=2,=2；（3）常数列a,a,a,.；（4）在数列中，=q；其中是等比数列的有 （2）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 （3）等比定理：q=.= （4）等比数列基本量的求法：和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出。；q= （5）等比数列与指数函数：，即,与指数函数类似，可借助指数函数的图像和性质来研究4、 典型例题讲解例1 等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列（1）求的公比q；（2）求3，求 解：（）依题意有 由于 ，故 又，从而 （）由已知可得 故 从而 例2 已知是公比为q的等比数列，且成等差数列.（1）求q的值；（2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由. 解：（1）依题意，得2am+2 = am+1 + am2a1qm+1 = a1qm + a1qm 1在等比数列an中，a10，q0，2q2 = q +1，解得q = 1或. （2）若q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2 = (m+2) a1 a10，2Sm+2S m + Sm+1 若q =，Sm + 1 =Sm + Sm+1 = =2 Sm+2 = S m + Sm+1 故当q = 1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列；当q =时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列. 【变式】 已知等比数列1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n 解 1，x1，x2，x2n，2成等比数列，公比q 21q2n+1 x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n式；(2)已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值a42【课堂练习】1、已知数列成等差数列, 成等比数列，则的值为( )A、 B、 C、或 D、2、等比数列中，公比，若，则=（ ）A、9 B、10 C、11 D、123、已知是等比数列，且，那么（ ）A 10 B 15 C 5 D64、设是正数组成的等比数列，公比，且，那么（ ）A B C D5、等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ） 6、等比数列的各项均为正数，且18，则( ) A12 B10 C8 D27、是公差不为0的等差的前项和，且成等比数列，则等于 （ ）A. 4 B. 6 C.8 D.108、等比数列的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，由的前n项的和是（ ）A B C D9、公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则等于（ ）A、28 B、32 C、36 D、40 10、已知等比数列an 的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 （ ） A 15 B17 C19 D 21二、专题:构造新数列求递推数列通项1.求由确定的数列通项公式例1 已知满足，求数列的通项公式.例2 (2008湖北理科第21题) 已知数列满足.其中为常数.求数列的通项公式. 解 令,其中为待定系数.即.又,则解得.由此可得数列为等比数列.则,化简得.故数列的通项公式为.【练习】1 已知数列，其中，求通项公式。 2数列 an 中，若a1=6,an+1=2an+1, 求数列 an 的通项公式2、 构造形如的数列（累加法）若，则 两边分别相加得 例3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解法一：由得则所以【练习】练习：1）数列 an 中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an. 2数列 an 中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an. 3数列 an 中，若a1=2，求通项an.3、构造形如的形式（累积法） 例：数列 an 中，若a1=1，求an.解：由得： ， ， ， 用累乘法把以上各式相乘得： 。练习：数列 an 中，若a1=2，求an. 【能力拓展】已知数列满足，求数列的通项公式。4、构造形如的数列。例：正数数列 an 中，若a1=10,且求an.解：由题意得：，即 .即练习：（选自2002年高考上海卷）数列 an 中，若a1=3,n是正整数，求数列 an 的通项公式。5、利用倒数关系构造数列例如：中，若求an+4,即，是等差数列。可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列 an 的通项。练习：1)数列 an 中，an0，且满足求an2) 数列 an 中，求an通项公式。3)数列 an 中,求an.6、构造形如的数列例：正数数列 an 中，若 解：设 三、专题：数列前n项和的求法总结1. 公式法(1)等差数列前n项和：(2)等比数列前n项和：q=1时，特别要注意对公比的讨论。练习：求5，55，555，的前n项和。2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例1 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设. （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 例2 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积练习：求：Sn=1+5x+9x2+(4n-3)xn-1 3. 倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. 例3 求的值【练习】求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当a1时， （分组求和）当时，练习： 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和. 练习：求数列的前n项和。5. 裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例5 求数列的前n项和.解：设 （裂项）则 （裂项求和） 例6 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： （裂项） 数列bn的前n项和 （裂项求和） 例7 求证：解：设 （裂项） （裂项求和） 原等式成立【练习】：已知数列an：的值.【归纳】以上一个6种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。【课后练习】1、已知数列成等差数列, 成等比数列，则的值为( )A、 B、 C、或 D、2、等比数列中，公比，若，则=（ ）A、9 B、10 C、11 D、123、已知是等比数列，且，那么（ ）A 10 B 15 C 5 D64、设是正数组成的等比数列，公比，且，那么（ ）A B C D5、等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ） 6、等比数列的各项均为正数，且18，则( ) A12 B10 C8 D