行列式的计算方法毕业论文.doc

行列式的计算方法 摘要：本文主要是行列式计算方法的归纳，以便在将来遇到行列式方面的计算式，可以很容易的对其进行计算关键字：范德蒙行列式，拉普拉斯定理，行列式，行列式计算，COMPUTATION METHODS ABOUTDETERMINATIONAbstract This paper is mainly determinant calculation method, so that in the future the induction of the calculation formula of met determinant aspect, can easily carry on the calculationKey words Vandermonde determinant Laplace theorem determinant determinant computation 8 行列式的内容在大学课程里地位分同一般，在高等代数，线性代数等科目里，都牵扯到列式的计算，在我们的课本里对于行列式的计算，一般都是用定义法德 由于行列式计算很灵活，所以只是用定义法式不够的，在很对课外的书籍里考研看到行列式的的计算方法还很多，这些方法都是针对不同类型的行列式计算的，不同的行列式用不同的方法，这样就可以提高我们的计算速度，以下就是几种行列式的计算方法。方法一：化三角形法行列式 对于化三角形法，我们可以使用行列式的性质把不是三角形行列式化为三角形形式的行列式，三角形行列式形式包括上三角形行列式，下三角形行列式，和对角形行列式。例如像，例1：（数学过关基础体型）计算行列式【分析】对于这道题目如果直接求解，比较麻烦。但是我们可以用行列式的有关性质将其化为三角形行列式。解：接下来先用第一行减去与第四行的积，再用第二行减去与第四行的积，第三行减去与第四行的积,于是得到：上面我们介绍的是化为上三角的形式，对于下三角形式的也是用同样的方法。下面我们再来看看化对角行列式方法在n阶行列式里的应用例：计算行列式解：通过观察我们可以看出第二列比较特殊，我们用第二列乘以（-1）加到个列上去，于是可以得到行列式方法二：定义法（线性代数解析）我们课本上定义法是怎么叙述的n阶行列式其中为自然数1,2，n的一个排列，t为这个排列的逆序数，表示对1,2，n的所有排列求和。N阶排列式也可以定义为，其中t为行标排列的逆序数(1)，对于定义法一般用来解决阶数较低的行列式或者在行列式里0比较多的。下面来看一例题为123的逆序数，为231的逆序数，为312的逆序数，为321的逆序数，为132的逆序数，为213的逆序数。所以上述的题目可以化为：方法三：按行（列）展法行列式的按行(列）展开的法则：按行（列）张开的方法归根结底就是降阶就是用某一行（列）的所有元素分别与它的代数余子式相乘，再把所得的积相加，用这种方法可以将n阶行列式化简成阶数很低的行列式进行计算，从而给计算带来方便，在使用这种方法之前我们可以用行列式的性质将所求行列式进行化简。使其某人一行（列)出现多个0元素，然后我们就按着这一行（列）展开。下面我们来看一道题目(2)例：计算行列式的值解：首先我们可以按第一行展开方法四：加边法（升阶法） 加边法也叫做升阶法，就是在不改变原来行列式的值的情况下在原来的行列式上增加一行一列再进行计算，在使用加边法是我们必须坚持两点：第一必须保值，不能改变行列式的值，第二加边后得到的新的行列式必须更容易计算。加边法的变形式为从这个式子可以看出，行列式进过加边后它的阶数升高了。下面我们来看一道题目证明：其中是的代数余子式。证明：对于这道题目我们可以使用加边法 再用除一行外的每一行减去第一行，可以得到行列式： 第二式以后各式按第一列展开，可以得到 因为左边=右边，所以原题得证。方法五：拆项法 所谓拆项法就是把原有的行列式拆成几个行列式，再求这几个行列式的和就是原行列式的值对于某些行列式的项我们可以看做是某两个数或多于两个数的和，从而使用拆项法，我们可以进行按某一行或者某一列进行拆项例如 第一个等式是按行拆项的，第二个等式是按列拆项的。下面我们来看道例题例：求行列式的值。解： 方法六；数学归纳法 数学归纳法，一般的是先提出猜想，再用数学归纳法得出猜想的证明，由于受到数学归纳法本身的限制，所以数学归纳法用在行列式方面，一般都是用在行列式证明方面。例：证明行列式证明：（1）n=1时上式成立，及 （2）当n=k时 也成立。 当n=k+1时 按第一列展开 这就证明了n=k+1也成立 综合（1）（2）知，原始成立。 方法七：Vandermonde行列式 范德蒙德行列式： (3)从这个结果可以看出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件为这n个数中至少有两个相等。例题：计算行列式解：将原行列式最后一列依次与第n列，第（n-1)列,第1列交换到第一列 我们在运用行列式性质7，可以将上述的行列式化为 方法八：拉普拉斯定理法拉普拉斯定理：在n阶行列式D中任意取定k行（1kn）由这k行元素组成的所有k阶子式与它们的代数余子式乘积之和等于行列式D，即其中是子对应的代数余子式.（4）拉普拉斯定理一般应用在下面几种形式的行列式上，我们在运用拉普拉斯定理时候，可能并不是所有的行列式都是上面给出的四种形式，但是我们可以运用行列式的有关性质，将行列式化成上述的四种形式，再用拉普拉斯定理计算，下面我们来看一道例题例题：计算 的值。 解：这道题目 我们很容易就看出直接用拉普拉斯定理计算 原式= 方法九; 递推法对于递推法我们先用行列式的性质把行列式化成与以前有同样的结构但是阶数低一点的行列式，递推法就是先求出较低阶数的行列式的值 然后再根据递推的关系求出较高阶行列式的值，例题：计算行列式的值。 解：第一步先使用行列式的性质 将上式化成 接着我们使用递推法 当时，得当时，由（1）或者（2）得 故 参考文献: 1邓泽清，黄光谷，陈暁坤.线性代数习题