2019届高考数学专题五圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题.docx

第三讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.若抛物线y2=4x的焦点为F,一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为()A.B.-C.D.-【解析】选B.因为MA平行于x轴,所以A的纵坐标为1,所以A的横坐标为,又因为直线AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为=-.2.若a1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是()A.(,+)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)【解析】选C.因为e=,a1,所以e(1,).3.设离心率为的椭圆+=1的右焦点与双曲线x2-=1的右焦点重合,则椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.因为双曲线x2-=1的右焦点为(2,0),所以c=2,又因为离心率为,所以a=4,所以b2=12,所以椭圆的方程为+=1.4.已知抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线y=k(x-1)与C1,C2依次相交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)四点(其中x1x2x3b0)的一个焦点为F1,若椭圆上存在一个点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.设线段PF1的中点为M,另一个焦点为F2,由题意知,OM=b,又OM是F1PF2的中位线,所以OM=PF2=b,PF2=2b,由椭圆的定义知PF1=2a-PF2=2a-2b,则MF1=PF1=(2a-2b)=a-b,又OF1=c,所以在直角三角形OMF1中,由勾股定理得:(a-b)2+b2=c2,又a2-b2=c2,可得2a=3b,故有4a2=9b2=9(a2-c2),由此可求得离心率 e=ca=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知A,B是圆C:x2+y2-8x-2y+16=0上两点,点P在抛物线x2=2y上,当APB取得最大值时,|AB|=_.【解析】设PCB=,(0,),要使得APB取得最大值,当且仅当cosACB =cos 2=2cos2-1=-1达到最大,也就是CP2最小时,因为圆心C的坐标为(4,1),设点P,所以CP2=(x-4)2+=-8x+17,求导数得x3-8=0,所以x=2,所以当x=2时,CP2取到最小值,最小值为5,此时cos 2=-,所以在ACB中由余弦定理得|AB|=.答案:7.椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,顶点B(0,b)到右焦点F2的距离为4,直线x=a上存在点P,使得F2PF1为底角是30的等腰三角形,则此椭圆方程为_.【解析】因为顶点B(0,b)到F2的距离为4,所以a=4,因为F2PF1为底角是30的等腰三角形,所以c=3,所以b2=7,所以椭圆方程为+=1.答案:+=18.与双曲线-y2=1有相同的焦点,且经过点(0,-2)的椭圆的标准方程为_.【解析】因为双曲线-y2=1的焦点为(,0),所以椭圆的焦点为(,0),c=,又因为椭圆经过点(0,-2),所以b=2,所以a2=10,椭圆的方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知抛物线C:y2=2px(p0),焦点为F,直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,D(x0,y0)为AB中点,且|AF|+|BF|=2+2x0.(1)求抛物线C的方程.(2)若过A作抛物线C的切线l1,过D作与x轴平行的直线l2,设l1与l2相交于点E,l2与C相交于点H,求证:为定值,并求出该定值.【解析】(1)根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p,x1+x2=2x0,因为|AF|+|BF|=2+2x0,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设过A(x1,y1)的切线l1方程为x=m(y-y1)+x1,联立抛物线C与切线l1的方程 得y2-4my+4my1-=0,所以=16m2-4(4my1-4x1)=0,解得m=,所以过点A的切线方程为y1y=2(x+x1),联立直线l2的方程y=y0,解得点E,即E为,所以H,所以|EH|=-=,所以|HD|=xD-=-=,所以=1,即的定值为1.10.已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1和l2,分别交曲线C于点A,B和K,N.设线段AB,KN的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点.【解析】(1)由题意可知:动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离,根据抛物线的定义可知,点M的轨迹C是抛物线.因为p=2,所以抛物线方程为:y2=4x.(2)设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点P的坐标为.由题意可设直线l1的方程为y=k(x-1)(k0),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=(2k2+4)2-4k4=16k2+160,因为直线l1与曲线C交于A,B两点,所以x1+x2=2+,y1+y2=k(x1+x2-2)=,所以点P的坐标为.由题意知,直线l2的斜率为-,同理可得点Q的坐标为(1+2k2,-2k),当k1时,有1+1+2k2,此时直线PQ的斜率kPQ=.所以,直线PQ的方程为y+2k=(x-1-2k2),整理得yk2+(x-3)k-y=0.于是,直线PQ恒过定点(3,0);当k=1时,直线PQ的方程为x=3,也过点(3,0).综上所述,直线PQ恒过定点(3,0).11.已知椭圆C:+=1(ab0)经过点A,且两个焦点F1,F2的坐标依次为(-1,0)和(1,0).(1)求椭圆C的标准方程.(2)设E,F是椭圆C上的两个动点,O为坐标原点,直线OE的斜率为k1,直线OF的斜率为k2,若k1k2=-1,证明:直线EF与以原点为圆心的定圆相切,并写出此定圆的标准方程.【解析】(1)由椭圆定义得2a=+=4,即a=2,又c=1,所以b2=3,得椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线EF的方程为y=kx+b,E(x1,y1),F(x2,y2),直线EF的方程与椭圆方程联立,消去y得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,当判别式=3+4k2-b20时,得x1+x2=-,x1x2=,由已知k1k2=-1,即=-1,因为点E,F在直线y=kx+b上,所以(kx1+b)(kx2+b)=-x1x2,整理得(k2+1)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0,即(k2+1)+bk+b2=0,化简得b2=,原点O到直线EF的距离d=,d2=,所以直线与一个以原点为圆心的定圆相切,定圆的标准方程为x2+y2=.【提分备选】1.已知F为双曲线C:-=1(a0,b0)的一个焦点,其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上,则双曲线C的离心率为()A.B.C.2D.【解析】选C.如图所示,由题意可知OPQOPF,所以POQ=POF=QOM=60,所以e=2.2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,在抛物线C上任取一点A,过A作 l的垂线,垂足为E.(1)若|AF|=5,求cosEAF的值.(2)除A外,EAF的平分线与抛物线C是否有其他的公共点,并说明理由.【解析】(1)|AF|=xA+1=5,所以xA=4,即A(4,4),由抛物线的对称性,不妨取A(4,4),因为F(1,0),E(-1,4),所以=(-5,0),=(-3,-4),所以cosEAF=.(2)设A(x0,y0),因为F(1,0),E(-1,y0),所以=(2,-y0).由|AE|=|AF|知EAF的平分线所在直线就是EAF边EF上的高所在的直线.所以EAF的平分线所在的直线方程为2(x-x0)-y0(y-y0)=0.由消x得y2-2y0y-4x0+2=0.因为=4x0,方程化为y2-2y0y+=0,即y1=y2=y0.即EAF的平分线与抛物线C只有一个公共点,除A以外没有其他公共点.(20分钟20分)1.(10分)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程.(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1PF1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.【解析】(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为+=1.(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.由题设知x0c,则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为y=(x-c).当x=0时,y=,即点Q坐标为.因此,直线F1Q的斜率为=.由于F1PF1Q,所以=-1.化简得=-(2a2-1).将代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.2.(10分)已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程.(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OA