高数函数极限

欢迎大家来到 第三军医大学学习、生活！,1,医学高等数学 （ Medical Advanced Mathematics ）,数学教研室 罗万春 办公室：基础部1061 Tel: 771260-801,2,本学期的主要内容,Ch1 函数 、极限和连续 Ch2 一元函数微分学 Ch3 一元函数积分学 Ch4 多元函数微积分 Ch5 微分方程基础,3,医学高等数学的特点,多、快、联、难,多：知识点多、内容多,快：教学进度快于中学,联：知识前后联系,难：课后习题难,4,学习态度,积极面对,勇于克难,5,学习方法,深入预习、认真听课、及时复习、适当练习,深入预习：以“做”代“看”,认真听课：以“说”促“听”,及时复习：以“讲”巩“知”,适当练习 ：以“精”替“多”,6,主要内容,一、函数的概念,二、复合函数,三、函数的几种简单性质,四、极限的概念,六、极限的四则 运算,9,学习目标,1. 掌握复合函数、极限等概念及性质； 2. 会分解复合函数； 3. 熟练掌握极限的四则运算。,难点,复合函数的分解，极限概念的应用。,重点,复合函数，极限概念的理解与应用。,10,背景,引例 世界人口变化规律分析,世界人口数据：见右表。,问题,世界人口和时间有何关系？,11,人口数据随时间变化的散点图,问题的分析,12,符号表示,时间：t,人口：p,则人口与时间存在关系：p=p(t),进一步分析：是否存在更明确的关系？,曲线拟合,13,一、函数的概念,定义1. 设 x 和 y 是同一过程中的两个变量，如果对于变量 x 的每一允许的取值，按照一定的规律，变量 y 总有一个确定的值与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数(function)。变量 x 称为自变量(independent variable)，变量 y 称为因变量(dependent variable) ，记为,问题1：什么是函数？,14,(对应规则),(值域),(定义域),定义域,函数的表达方法:,公式法,、图象法,、表格法、,使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.,例如：书上例1-3,一段文字,15,基本初等函数（六类）（ 见书P4页）,特别地，一些函数对其定义域内的不同值，不能用一个统一的解析式表示，而是需要两个或多个不同的解析表达式，这类函数称为分段函数(piecewise function).,问题2：如何将电话费表示为时间的函数？,16,二、复合函数,设在定义域U上变量 y 是变量 u 的函数：y=f(u) , 在定义域D上变量u 是变量x的函数： 。如果对变量 x 的某些值，变量 u 的对应值恰在U中，因而能够确定变量 y 的值，则称 y 是 x的复合函数(compound function)，记为,问题3：函数y=sin2x的含义是什么？,17,构成复合函数,1. 由函数链,注意:,18,例如, 函数链 :,可定义复合函数,为什么？,19,3. 两个以上函数也可构成复合函数.,例如,20,技巧：重点抓住对应基本初等函数自变量位置上的形式。,4. 能够正确分解复合函数.,解：,例1 分析函数的复合结构：,分解为：,21,例2 分解复合函数：,解：,分解得：,22,初 等 函 数,1、基本初等函数(六类),2、初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合运算步骤构成的，可用一个解析式表示的函数，叫初等函数。,问题4：分段函数是否是初等函数？为什么？,23,课堂练习1,分解下列复合函数,24,三、 函数的几种特性,1. 有界性,2. 单调性,3. 奇偶性,4. 周期性,（自学，书P5页）,25,公元前5世纪，古希腊诡辩学派哲学家芝诺（Zeno）提出悖论： “追龟说”：让阿基里斯（Achilles，古希腊奥运会中的一名长跑冠军 ）与乌龟赛跑。,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍，但让乌龟在阿基里斯前100米处起跑,26,结 论,17世纪，微积分产生，用极限才解决这一问题。,假设阿基里斯追上乌龟之前，乌龟所爬的路程为,无限、 运动、无穷小、连续,阿基里斯虽然越来越逼近乌龟，但永远追不上乌龟,27,1、 时函数的极限,四、函数的极限,x的绝对值无限增大时,则f(x)无限接近A,描述性定义,则称,当x趋于无穷大时 函数f(x)的极限为A,如：,28,数学语言定义（分析定义）,总有,称,思考：如何证明,29,几何解释,30,当x的绝对值无限增大时,则f(x)不趋于任何常数,（1）,如：,（2）x趋于正无穷大和趋于负无穷大时， f(x) 趋于不同常数,问题5：极限不存在有哪些情形？,31,2、 时函数的极限,（1）函数 在点 附近有定义,或,（2）,x以任意方式无限接近x0,则f(x)无限接近A,描述性定义,则称,当x趋于x0时 函数f(x)的极限为A,如：,32,数学语言定义（分析定义）,（1）函数 在点 附近有定义,（2）,总有,称,课后思考：如何证明 ？,33,几何解释,34,左极限 :,右极限 :,极限存在的充要条件,左右极限定义,极限存在的充要条件,3. 数列的极限（自学，书p9),35,4.极限存在性判别准则,准则1（夹逼定理）,36,准则2（单调有界准则）,单调有界数列一定有极限。,课堂练习2,利用极限准则证明,37,（2）约分型,求下列极限：,（1）代入型,（3）通分型,（4）有理化型,（5）无穷大型,六、极限的四则 运算,38,小 结,函数的概念,复合函数及其分解,极限概念,39,作业,预习,P20-21