相似三角形知识点总结及练习题.doc

1 相似三角形知识点总结相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：中， 、 叫外项， 、 叫内项， 、 叫前项， a b c d abcdadbcac() b、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果 b=c，那么 b 叫做 a、d 的比例中项。 2. 比例性质： 基本性质： a b c d adbc 合比性质： a b c d ab b cd d 等比性质： a b c d m n bdn acm bdn a b ()0 3. 平行线分线段成比例定理： 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l1l2l3。 则， AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得 的对应线段成比例。 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应 线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： 两角对应相等，两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 三边对应成比例，两三角形相似 (4)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等对应角相等 相似三角形的对应边成比例对应边成比例 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似 比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积面积的比等于相似比的平方平方 注意注意 1、 相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学 习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个 基本图形“A”型和“ 8 ”型。在利用定理证明时要注意 A 型图的比例 ，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后 AD AB DE BC AE AC 项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止 写成的错误。 AD DB DE BC AE EC 2、基本模型基本模型 3、三角形相似及比例式或等积式。 4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 5、对比例问题比例问题，常用处理方法是将“一份一份”看着 k k;对于等比问题等比问题，常用处 理办法是设“公比公比”为为 k k。 2 中考试题分类汇编中考试题分类汇编 相似三角形相似三角形 一、选择题一、选择题 1、如图 1,已知 AD 与 BC 相交于点 O,AB/CD,如果B=40,D=30,则 AOC 的大小为（ ） A.60 B.70 C.80 D.120 2、如图，已知 D、E 分别是ABC的 AB、 AC 边上的点，,DE BC且 1 ADEDBCE SS A四边形 那么:AE AC等于（ ） A1 : 9 B1 : 3 C1 : 8 D1 : 2 3、图为ABC 与DEC 重迭的情形，其中 E 在 BC 上，AC 交 DE 于 F 点， 且 AB / DE。若ABC 与DEC 的面积相等，且 EF=9，AB=12，则 DF=？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。 4、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平的 平面镜,光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已 知 ABBD，CDBD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米， 那么该古城 墙的高度是（ ）A、6 米 B、8 米 C、18 米 D、24 米 5、如图，DEF是由ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心， DEF，分别是OAOBOC，的中点，则DEF与ABC的面积比是 （ ） A1:6B1:5C1:4D1:2 6、给出两个命题：两个锐角之和不一定是钝角；各边对应成比例的两个 多边形一定相似( ) A真真B假真 C真假 D假假 7、如图所示，RtABCRtDEF，则 cosE 的值等 于（ ） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 第 7 题图 第 8 题图 8、如上图，直角梯形 ABCD 中，BCD90，ADBC，BCCD，E 为梯形内 一点，且BEC90，将BEC 绕 C 点旋转 90使 BC 与 DC 重合，得到 DCF，连 EF 交 CD 于 M已知 BC5，CF3，则 DM:MC 的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4 9、如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，若6BC ，则 DE等于 ( ) A5 B4 C3 D2 10、已知ABCDEF，相似比为 3，且ABC的周长为 18，则 DEF的周长为（ ） A2B3C6D54 11、如图,RtABAC 中,ABAC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点,作 PEAB 于 E,PDAC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=（ ） AB CD O 图 1 B A C DE 3 E C DA F B 图 5 A E D BC 图 8 （第 12 题） A BC E D A.3 5 x B.4 5 x C. 7 2 D. 2 1212 525 xx 12、 如图，在 RtABC 内有边长分别为, ,a b c的三个正方形，则, ,a b c满 足的关系式是（ ） A、bac B、bac C、 222 bac D、22bac 13、如图，ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三 等分，则图中阴影部分的面积是ABC 的面积的 （ ） A 9 1 9 2 3 1 9 4 14、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） 15、在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为 0.8 米，一棵大树的 影长为 4.8 米，则树的高度为（ ） A、4.8 米 B、6.4 米C、9.6 米 D、10 米 二、填空题二、填空题 1、如图，DE，两点分别在ABC的边ABAC，上，DE与BC不平行， 当满足 条件（写出一个即可）时，ADEACB 2、如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是 3、如图 5，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F， 如果 2 3 BE BC ， 那么 BF FD 4、在 RtABC 中，C 为直角，CDAB 于点 D, BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ； 并写出它的面积比 . 5、如图，点 1234 AAAA，在射线OA上，点 123 BBB，在射线OB上，且 112233 ABA BA B， 213243 A BA BA B若 212 A B B， 323 A B B的 面积分别为 1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为 6、两个相似三角形的面积比 S1:S2与它们对应高之比 h1:h2之间的关系为 7、如图 8，D、E 分别是ABC的边 AB、AC 上的点，则使AED ABC的条件是 8、如图 4，已知 ABBD，EDBD，C 是线段 BD 的中 点，且 ACCE，ED=1，BD=4，那么 AB= （第 14 题）ABCD 第 4 题 A B C D E A A B C D E P EH FG CB A （第 13 题图） D C BA （第 5 题图） O A1A2A3A4A B B1 B2 B3 1 4 A E C B D 4 图 3 9、如图，在ABC中，DE，分别是ABAC，的中点，若5DE ，则 BC的长是 10、如图 3，要测量 A、B 两点间距离，在 O 点打桩，取 OA 的中点 C，OB 的中点 D，测得 CD=30 米，则 AB=_米 三、解答题三、解答题 1、如图 5，在ABC 中，BCAC， 点 D 在 BC 上，且 DCAC,ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连结 EF. （1）求证：EFBC. （2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求ABD 的面 积. 2、如图：在等腰ABC 中，CH 是底边上的高线，点 P 是线段 CH 上不与端点 重合的任意一点，连接 AP 交 BC 于点 E,连接 BP 交 AC 于点 F. (1) 证明：CAE=CBF; (2) 证明：AE=BF; (3) 以线段 AE，BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG（点 E 与点 F 重合于点 G） ，记ABC 和ABG 的面积分别为 SABC和 SABG,如果存在点 P,能使得 SABC=SABG,求C 的取值范围。 3、如图 10，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于 点 M，CG 与 AD 相交于点 N 求证：（1）CGAE ； （2） .MNCNDNAN 4、如图，在RtABC中，90A ， F C A B P E H A BC D E R P H Q 5 6AB ，8AC ，DE，分别是边ABAC，的中点，点P从点D出发沿 DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R， 当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy （1）求点D到BC的距离DH的长； （2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； 5、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中 点，BR分别交ACCD，于点PQ， （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外） ； （2）求:BP PQ QR 6、如图，ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，CDDE 2 1 。 求证：ABFCEB; 若DEF 的面积为 2，求ABCD 的面积。 7、如图，在平面直角坐标系中，点( 3 0)C ，点AB，分别在x轴，y轴的 正半轴上，且满足 2 310OBOA （1）求点A，点B的坐标 （2）若点P从C点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线CB运动，连结 AP设ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系 式，并写出自变量的取值范围 （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点ABP，为顶点的三角 形与AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理 由 8、如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B A B C D E P O R 第 21 题图 F A D E BC y x AOC B 6 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时 间为 t（s） ，解答下列问题： （1）当 t2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由； （2）设BPQ 的面积为 S（cm2） ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APRPRQ？ 9、如图 10 所示，E 是正方形