论文资料：正余弦定理解三角形的实际应用.doc

正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题图1ABCD例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、CAB、CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？西北南东ABC3015图2解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30北的方向上。 在ABC中，可知AB=300.5=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC直线AB，垂足为C，则SC=15sin30=7.5。这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题. 三 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以9 n mileh的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mileh的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间。分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x h，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的1，2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用x表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题.评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.评述：实际问题的解决关键在于转化为具体的解三角形问题，从而与我们已知的知识方法产生联系.四据气象台预报，距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响，问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由。分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在ABS中，由余弦定理可求SB.评述：此题为探索性命题，可以假设命题成立去寻求解存在条件，也可假设命题不成立去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB270是否有解最终转化为关于t的一元二次不等式是否有解，与一元二次不等式解法相联系.【五】 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10250m,速度为180km/h,飞行员先看到山顶的俯角为1830,经过120秒后又看到山顶的俯角为81,求山顶的海拔高度(精确到1m).【解前点津】依据条件，飞行员的两次观测点和山顶可构成一个三角形，明确了该三角形中的已知量与未知量后，就可以解斜三角形.【规范解答】设飞行员的两次观测点依次为A和B，山顶为M，山顶到直线AB的距离为MD,.例4题图解在ABM中，由条件知:A=1830,B=99,M=6230.又AB=180=6km.根据正弦定理,可得BM=进而求得:MD=MD2120m.山顶的海拔高度为10250-2120=8