天津市部分区2019届高三数学上学期期末考试试卷文（含解析）.docx

2018-2019学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解.【详解】由题意，全集，则，则，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的运算是解答问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 1 B. 2 C. 7 D. 8【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A. 8 B. 4 C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，执行如图所示的程序框图，逐次计算，即可求得输出的结果，得到答案.【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，第1次循环，不满足条件；第2次循环，不满足条件；第3次循环，不满足条件；第4次循环，满足条件，此时输出，故选B.【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合4.已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 【详解】解：，的大小关系为：故选：【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识比较三个数的大小，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 5.设，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】由，可知“”是“”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础6.在中，为的中点，则（ ）A. B. C. 3 D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性表示与数量积的定义,计算即可【详解】解：如图所示，中，是的中点，故选：【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的运算问题，是基础题7.函数其中的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】首先根据函数图象求出函数的周期，进一步利用函数经过的点的坐标求出函数的解析式，进一步利用函数的图象变换求出结果【详解】根据函数的图象，所以：，当时，函数，即：解得：，所以：要得到的图象只需将函数向右平移个单位，即故选：D【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.8.已知双曲线的左、右焦点分别为,过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则当取得最大值时，该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，的周长为24，利用双曲线的定义，可得，进而转化，利用导数的方法，即可得出结论【详解】解：由题意，的周长为24，时，取得最大值，此时，即渐近线方程为 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的定义,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,知识综合性强二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.为虚数单位，计算_【答案】【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题10.已知函数，是的导函数，则_【答案】1【解析】【分析】先求，再代入得解.【详解】解：，（1），故答案为：1.【点睛】本题考查型导函数求法，属于基础题.11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.【点睛】本题主要考查了球的表面积和球的组合体问题，其中解答中根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知直线与圆相交于两点，且线段的中点P坐标为，则直线的方程为_【答案】【解析】【分析】把圆的标准化为标准方程，找出圆心的坐标，由垂径定理得到圆心与弦的中点连线与弦垂直，根据圆心的坐标及的坐标求出半径所在直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出直线的斜率，再根据的坐标及求出的斜率写出直线的方程即可【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：，可得圆心，直线的斜率为1，直线的斜率为，则直线的方程为：，即故答案为：【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，直线斜率的求法，以及直线方程求法，灵活运用垂径定理是解本题的关键13.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据已知条件，转化为，然后得到，再结合基本不等式确定其最值即可【详解】解：，恒成立，且，= 因为恒成立，故答案为：【点睛】本题重点考查了基本不等式及其灵活运用，注意基本不等式的适应关键：一正、二定（定值）、三相等（即验证等号成立的条件），注意给条件求最值问题，一定要充分利用所给的条件，作出适当的变形，然后巧妙的利用基本不等式进行处理，属于基础题14.已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用分段函数，求出的零点，然后在求解时的零点，即可得到答案.【详解】由题意，函数，当时，方程，可得，解得，函数由一个零点，当时，函数只有一个零点，即在上只有一个解，因为函数开口向上，对称的方程为，所以函数在为单调递减函数，所以，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数的零点的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的零点问题转化为二次函数问题，借助二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.为维护交通秩序，防范电动自行车被盗，天津市公安局决定，开展二轮电动自行车免费登记、上牌照工作.电动自行车牌照分免费和收费(安装防盗装置)两大类，群众可以 自愿选择安装.已知甲、乙、丙三个不同类型小区的人数分别为15000，15000，20000.交管部门为了解社区居民意愿，现采用分层抽样的方法从中抽取10人进行电话访谈.（）应从甲小区和丙小区的居民中分别抽取多少人?（）设从甲小区抽取的居民为，丙小区抽取的居民为.现从甲小区和丙小区已抽取的居民中随机抽取2人接受问卷调查.（）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（）设为事件“抽取的2人来自不同的小区”，求事件发生的概率.【答案】（）甲小区抽取3人、丙小区抽取4人（）(i)见解析(ii) 【解析】【分析】（）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个不同类型小区中分别抽取得3人，3人，4人（）（）从甲小区抽取的3位居民为，丙小区抽取的4人分别为利用列举法能求出所有可能结果（）由（）可得基本事件总个数，为事件“抽取的2人来自不同的小区”利用列举法能求出事件发生的概率【详解】（）因为三个小区共有50000名居民，所以运用分层抽样抽取甲、丙小区的人数分别为：甲小区：（人）；丙小区：（人）.即甲小区抽取3人、丙小区抽取4人 （）(i)设甲小区抽取的3人分别为，丙小区抽取的4人分别为，则从7名居民中抽2名居民共有21种可能情况： , (ii)显然，事件包含的基本事件有: 共12种，所以. 故抽取的2人来自不同的小区的概率为【点睛】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知1求角C的大小2若，的面积为，求的周长【答案】（）（）. 【解析】【分析】（）利用正弦定理化简已知等式可得值，结合范围，即可得解的值（）利用正弦定理及面积公式可得，再利用余弦定理化简可得值，联立得从而解得周长【详解】（）由正弦定理，得，在中，因为，所以故， 又因为0C，所以 （）由已知，得.又，所以. 由已知及余弦定理，得， 所以，从而.即 又，所以的周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题17.如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，为等边三角形.（）求证:；（）若，求直线与平面所成的角.【答案】（）见解析 （）. 【解析】【分析】（）取中点E，连结，由已知可得，又，即可证平面，从而可得（）先证明，可得平面，由线面角定义即可知即为所求【详解】（）因为四边形为菱形，且 所以为等边三角形取线段的中点,连接，则. 又因为为等边三角形，所以因为平面，平面，且，所以直线平面， 又因为，所以 （）因为为等边三角形，且其边长为，所以，又，所以，所以. 因为，所以面， 所以为直线与平面所成的角. 在中，所以故直线和平面所成的角为.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质及线面角求法，属于基础题 18.已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，列出方程组，求得的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得， 利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，依题意有，即， 解得或（舍），数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）由（1）得， =，-得【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.19.已知函数，其中.（）讨论的单调性；（）当时，证明:；（）求证:对任意正整数，都有 (其中为自然对数的底数).【答案】（）见解析（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）先求，再对 进行讨论即可.（）由题知即证，构造新函数设，利用导数只需即得证.（）由（）知,累加作和即得证.【详解】（）易得，函数 ， 当时，所以在上单调递增 当时，令，解得 当时，所以， 所以在上单调递减； 当时，所以，所以在上单调递增 综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（）当时，.要证明，即证，即. 即. 设则 令得，.当时，当时，.所以为极大值点，也为最大值点 所以.即.故. （）由（）知，.令， 则 ， 所以,即所以.【点睛】本题考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想及不等式的证明，考查数学分析法的运用，综合性强，属于中档题20.已知椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形.（1）求的方程；(2)设为的左焦点，为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点.（）证明:平分线段(其中为坐标原点)；（）当取最小值时，求点的坐标.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知，根据椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）（）设点的坐标为，验证当时，平分显然成立；当由直线的方程和椭圆的方程联立方程组，求解中点的坐标，即可得到结论；（）由（）可知，求得和，得到，利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）由已知，得. 因为，易解得. 所以，所求椭圆的标准方程为