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文档简介

弹簧类问题1弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时,要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手,先确定弹簧原长位置,现长位置,找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系,分析形变所对应的弹力大小、方向,以此来分析计算物体运动状态的可能变化。2因弹簧(尤其是软质弹簧)其形变发生改变过程需要一段时间,在瞬间内形变量可以认为不变。因此,在分析瞬时变化时,可以认为弹力大小不变,即弹簧的弹力不突变。经典例题如图所示,四处完全相同的弹簧都处于水平位置,它们的右端受到大小皆为F的拉力作用,而左端的情况各不相同:中的弹簧的左端固定在墙上中的弹簧的左端也受到大小也为F的拉力的作用中的弹簧的左端拴一小物块,物块在光滑的桌面上滑动中的弹簧的左端拴一个小物块,物块在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量为零,以L1、L2、L3、L4依次表示四个弹簧的伸长量,则有()AL2L1BL4L3CL1L3DL2=L4分析与解答:题中明确说了弹簧的质量为零,故弹簧为“轻弹簧”,合力肯定为零,则两端受到的拉力的大小在这四幅图中必然相等,否则系统将有无穷大的加速度,而由胡克定律可知,弹簧在这四种情况下的伸长量是一样的,即:L1=L2=L3=L4.答案为D变式1 如图所示,a、b、c为三个物块,M、N为两个轻质弹簧,R为跨过光滑定滑轮的轻绳,它们均处于平衡状态.则()A有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态B有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态C有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态D有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态分析与解答:研究a、N、c系统由于处于平衡状态,N可能处于拉伸状态,而M可能处于不伸不缩状态或压缩状态;研究a、M、b系统由于处于平衡状态,M可能处于压缩状态(或处于不伸不缩状态),而N可能处于不伸不缩状态或拉伸状态.答案为AD小锦囊在含有弹簧的静力学问题中,当弹簧所处的状态没有明确给出时,必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态,也可以处于压缩状态,必须全面分析各种可能性,以防以偏概全.变式2 如图所示,重力为G的质点M与三根相同的轻质弹簧相连,静止时,相邻两弹簧间的夹角均为1200,已知弹簧A、B对质点的作用力均为2G,则弹簧C对质点的作用力大小可能为()A2G BG C0 D3G分析与解答:弹簧A、B对M点的作用力有两种情况:一是拉伸时对M的拉力,二是压缩时对M的弹力。若A、B两弹簧都被拉伸,两弹簧拉力与质点M重力的合力方向一定竖直向下,大小为3G,此时弹簧C必被拉伸,对M有竖直向上的大小为3G的拉力,才能使M处于平衡状态。若A、B两弹簧都被压缩,同理可知弹簧C对M有竖直向下的大小为G的弹力.A、B两弹簧不可能一个被拉伸,一个被压缩,否则在题设条件下M不可能平衡.答案为BD变式3如图所示,两木块的质量分别为m1和m2,两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2,上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接),整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为()小锦囊本题要求学生掌握胡克定律,并理解正比的本质特征此外对两人拉弹簧与一人拉弹簧的受力分析也是本题设计的陷井A B C D分析与解答:原来系统处于平衡态则下面弹簧被压缩x1,则有:;当上面的木块刚离开上面的弹簧时,上面的弹簧显然为原长,此时对下面的木块m2则有:,因此下面的木块移动的距离为,答案为C变式4如图所示,质量为m和M的两块木板由轻弹簧连接,置于水平桌面上试分析:在m上加多大的压力F,才能在F撤去后,上板弹起时刚好使下板对桌面无压力小锦囊本题若从正向思考,可能难比较大,若换个角度进行思考就可以打开思路另一方面,弹簧的可逆性原理,实质上就是对称性原理的体现mMF分析与解答:设想用力F竖直向上拉m,使整个系统正好被提起,所用拉力大小为(m + M)g,当上板弹起刚好使下板对桌面无压力时,弹簧弹力的大小也应等于(m + M)g也就是说,在m上加竖直向下的力F后,使弹簧增加压缩量x,若将F撤去后,弹簧与未加力F相比伸长了x,产生的弹力为(m + M)g,由弹簧的可逆性原理可知在m上所加压力F = (m + M)g变式5如图所示,两物体重分别为G1、G2,两弹簧劲度分别为k1、k2,弹簧两端与物体和地面相连。用竖直向上的力缓慢向上拉G2,最后平衡时拉力F=G1+2G2,求该过程系统重力势能的增量。G1x2k2G2x1x1/x2/k1FG1G2k2k1分析与解答:设没有力作用时弹簧的形变量分别为x1、x2,力作用后的形变量分别为x1/、x2/,由题意知x1、x2为压缩量,x1/、x2/为伸长量无拉力F时x1=(G1+G2)/k1,x2= G2/k2,加拉力F时x1/=G2/k1,x2/= (G1+G2) /k2,而h1=x1+x1/,h2=(x1/+x2/)+(x1+x2),系统重力势能的增量Ep= G1h1+G2h2整理后可得:经典例题一个轻弹簧一端B固定,另一端C与细绳的一端共同拉住一个质量为m的小球,绳的另一端A也固定,如图所示,且AC、BC与竖直方向夹角分别为,则()A烧断细绳瞬间,小球的加速度B烧断细绳瞬间,小球的加速度C在C处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度D在C处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度分析与解答:在绳子烧断前,小球受力平衡,据拉密原理可知:,故,.烧断细绳瞬间,消失,而尚未变化(弹簧形变需时间,认为这一瞬间不变),此时合力与等大反向,加速度为;弹簧与球脱开时,消失,发生突变,此时重力与绳子拉力的合力为:.方向与AC垂直,所以. 答案为BD变式1 如图所示,物块B和C分别连接在轻弹簧的两端,将其静置于吊篮A的水平底板上,已知A、B、C三者质量相等且为m.则将挂吊篮的轻绳烧断的瞬间,吊篮A、物块B和C的瞬时加速度分别为()Ag、g、g Bg、g、0 C1.5g、1.5g、0 Dg、2g、0分析与解答:对物块C在轻绳烧断的瞬间,其受力情况不变,故其瞬时加速度为零.而对于吊篮A和物块B,由于它们是刚性接触,它们之间的相互作用力可发生突变,因此在轻绳烧断的瞬间A和B的加速度相等.研究A、B、C系统,由牛顿定律可知:,答案为C.变式2 如图所示,竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两物块P、Q,它们的质量均为2kg,均处于静止状态.若突然将一个大小为10N、方向竖直向下的力施加在物块P上,则此瞬间,P对Q压力的大小为(g取10m/s2):()A5N B15N C25N D35N.分析与解答:在物块P上突然施加一个竖直向下的力的瞬间P和Q的加速度相等.研究P、Q系统,据,研究P物块,据,因此P对Q的压力大小为25N,答案为C变式3 如图天花板上用细绳吊起两个用轻弹簧相连的两个质量相同的小球。两小球均保持静止。当突然剪断细绳时,上面小球A与下面小球B的加速度为()Aa1=g a2=g Ba1=2g a2=gCa1=2g a2=0 Da1=0 a2=g小锦囊弹簧和绳是两个物理模型,特点不同。弹簧不计质量,弹性限度内k是常数。绳子不计质量但无弹性,瞬间就可以没有。而弹簧因为有形变,不可瞬间发生变化,即形变不会瞬间改变,要有一段时间。分析与解答:分别以A,B为研究对象,做剪断前和剪断时的受力分析。剪断前A,B静止。如图2-10,A球受三个力,拉力T、重力mg和弹力F。B球受三个力,重力mg和弹簧拉力F。A球:Tmg-F = 0;B球:Fmg = 0;解得T=2mg,F=mg;剪断时,A球受两个力,因为绳无弹性剪断瞬间拉力不存在,而弹簧有形米,瞬间形状不可改变,弹力还存在。如图2-11,A球受重力mg、弹簧给的弹力F。同理B球受重力mg和弹力F。A球:mgF = maA;B球:Fmg = maB;解得aA=2g(方向向下)aB= 0。答案为C变式4如图所示,竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧,两弹簧的一端各与小球相连,另一端分别用销钉M、N固定于杆上,小球处于静止状态。设拔去销钉N瞬间,小球加速度的大小为12 m/s2。若不拔去销钉M而拔去销钉N瞬间,小球的加速度可能是:(取g=10m/s2)()A22 m/s2,竖直向上 B22 m/s2,竖直向下C2 m/s2,竖直向上 D2m/s2,竖直向下分析与解答:拔去销钉M的瞬间。小球只受下面弹簧的弹力和重力作用。若弹簧处于压缩状态,则弹力向上。设为F1,则,代入数值得:;若弹簧处于伸长状态,则弹力向下,设为F2,则F2+mg=ma,代入数值得:F2=2 m。小球处于平衡状态时,设上面弹簧处于压缩状态、伸长状态时,上面弹簧的弹力分别为F1、 F2。由力的平衡方程:F1+mg= F1,F2+mg= F2,得:F1=12m,F2=12 m。当拔去销钉N时,列牛顿第二定律方程:F1+mg=ma, a=22m/s2,竖直向下;F2-mg=ma2, a2=2 m/s2,竖直向上。答案为BCABF经典例题如图所示,一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上,现要加一竖直向上的力F在上面物体A上,使物体A开始向上做匀加速运动,经0.4s物体B刚要离开地面,设整个过程中弹簧都处于弹性限度内,取g=10m/s2,求:(1)此过程中所加外力F的最大值和最小值。(2)此过程中外力F所做的功。分析与解答:(1)A原来静止时:kx1=mg当物体A开始做匀加速运动时,拉力F最小,设为F1,对物体A有:F1kx1mg=ma当物体B刚要离开地面时,拉力F最大,设为F2,对物体A有:F2kx2mg=ma对物体B有:kx2=mg 对物体A有:x1x2解得a=3.75m/s2, F145N,F2285N(2)在力F作用的0.4s内,初末状态的弹性势能相等,由功能关系得:WF=mg(x1x2)+49.5J小锦囊本题若称盘质量不可忽略,在分析中应注意P物体与称盘分离时,弹簧的形变不为0,P物体的位移就不等于x0,而应等于x0-x(其中x即称盘对弹簧的压缩量)。变式1如图,一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可以不计,盘内放一个物体P处于静止。P的质量为12kg,弹簧的劲度系数k=800N/m。现给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止开始向上做匀加速运动。已知在前0.2s内F是变化的,在0.2s以后F是恒力,则F的最小值是多少,最大值是多少?分析与解答:以物体P为研究对象。物体P静止时受重力G、称盘给的支持力N。因为物体静止, N -G = 0所以:N =G= kx0设物体向上匀加速运动加速度为a。此时物体P受力如图2-31受重力G,拉力F和支持力N据牛顿第二定律有:F+NG = ma 当0.2s后物体所受拉力F为恒力,即为P与盘脱离,即弹簧无形变,由00.2s内物体的位移为x0。物体由静止开始运动,则:x0=at2/2解得x0= 0.15m;a = 7.5m/s2当N最大时,即初始时刻,F最小Fmin= ma + mgkx0=12(7.5+10)-8000.15=90(N) F最大值即N=0时,F = ma+mg = 210(N)变式2 如图所示,一只升降机在箱底装有若干个弹簧,设在某次事故中,升降机吊索在空中断裂,忽略摩擦力,则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中()A升降机的速度不断减小B升降机的加速度不断变大C先是弹力做的负功小于重力做的正功,然后是弹力做的负功大于重力做的正功D到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值分析与解答:升降机从弹簧下端触地后直到最低点的运动过程可分为三个阶段:mgN(N为弹簧的弹力),据可知,加速度a随着形变量x的增大而减小,故此阶段升降机做加速度减小的加速运动;mg=N时,速度达到vm;mg VC2,所以第二次恢复原长时,A的速度大小为4.5m/s,方向水平向右;小车的速度大小为0.5m/s,方向水平向左。变式4 在纳米技术中需要移动或修补原子,必须使在不停地做热运动(速率约几百米每秒)的原子几乎静止下来且能在一个小的空间区域内停留一段时间,为此已发明了“激光致冷”的技术,若把原子和入射光子分别类比为一辆小车和一个小球,则“激光致冷”与下述的力学模型很类似。一辆质量为m的小车(一侧固定一轻弹簧),如图所示以速度v0水平向右运动,一个动量大小为p,质量可以忽略的小球水平向左射入小车并压缩弹簧至最短,接着被锁定一段时间T,再解除锁定使小球以大小相同的动量p水平向右弹出,紧接着不断重复上述过程,最终小车将停下来,设地面和车厢均为光滑,除锁定时间T外,不计小球在小车上运动和弹簧压缩、伸长的时间,求:(1)小球第一次入射后再弹出时,小车的速度的大小和这一过程中小车动能的减少量。(2)从小球第一次入射开始到小车停止运动所经历的时间。V0分析与解答:(1)小球射入小车和从小车中弹出的过程中,小球和小车所组成的系统动量守恒。由动量守恒定律得(取向右为正);得:,(2)小球第二次入射和弹出的过程,及以后重复进行的过程中,小球和小车所组成的系统动量守恒。由动量守恒定律得:;,同理可推得,要使小车停下来,即vn=0,小球重复入射和弹出的次数为,故小车从开始运动到停下来所经历时间为hABC变式5 如图所示,A、B两物体与一轻质弹簧相连,静止在地面上,有一小物体C从距A物体h高度处由静止释放,当下落至与A相碰后立即粘在一起向下运动,以后不再分开,当A与C运动到最高点时,物体B对地面刚好无压力、设A、B、C三物体的质量均为m,弹簧的劲度k,不计空气阻力且弹簧始终处于弹性限度内。若弹簧的弹性势能由弹簧劲度系数和形变量决定,求C物体下落时的高度h。分析与解答:开始时A处于平衡状态,有当C下落h高度时速度为,则有:C与A碰撞粘在一起时速度为,由动量守恒有:当A与C运动到最高时,B对地面无压力,即:可得:(2分)所以最高时弹性势能与初始位置弹性势能相等。由机械能守恒有:,解得:经典例题在科技活动中某同学利用自制的电子秤来称量物体的质量,如图所示,为电子秤的原理图,托盘和弹簧的电阻与质量均不计.滑动变阻器的滑动端与弹簧上端连接,当托盘中没有放物体时,电压表示数为零.设变阻器的总电阻为R,总长度为l,电源电动势为E,内阻为r,限流电阻的阻值为R0,弹簧劲度系数为k,不计一切摩擦和其他阻力,电压表为理想表,当托盘上放上某物体时,电压表的示数为U,求此时称量物体的质量.分析与解答:设托盘上放上质量为m的物体时,弹簧的压缩量为x,由题设知:mg=kx,则x=由全电路欧姆定律知: I=U=IR=I解得:变式1 角速度计可测量飞机、航天器等的转动角速度,其结构如图所示。当系统OO/转动时,元件A发生位移并输出电压信号,成为飞机、航天器等的制导系统的信号源。已知A的质量为m,弹簧的劲度系数为K、自然长度为L,电源的电动势为E、内阻不计,滑动变阻器总长度为 l。电阻分布均匀,系统静止时P在B点,当系统以角速度转动时,请导出输出电压U和的函数式。(要求:写出每步理由及主要方程)分析与解答:设稳定

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