数字信号处理总结维纳声音滤波器的设计.doc

现代数字信号处理大作业维纳声音滤波器的设计摘要在数字信号中往往存在很多扰动信号，即各种噪声。在信噪比较低时，原始信号会变得难以分辨，因此需要对输入信号进行处理，以提取有用信号，即数字信号处理。 其中主要方法是数字滤波器的设计，数字滤波器主要分为两大类，有限脉冲滤波器（FIR）和无限脉冲响应滤波器（IIR）。本文主要介绍有限长冲击响应（FIR）维纳滤波器的设计，采用MATLAB软件设计了一个FIR维纳滤波器，用以对有噪声干扰的鸟鸣声进行降噪处理。最后用基于MATLAB函数设计的维纳滤波器对一段鸟鸣声进行滤波处理，通过滤波前后信号的波形图的对比，分析不同信噪比下的滤波效果。关键词：维纳滤波器；降噪；信噪比目录1课程总结12 绪论122.1 数字滤波器简介122.1.1 数字滤波器概述122.1.2 数字滤波器的优点122.2 设计内容122.3 研究方法123 数字滤波器143.1 数字滤波器原理143.2 数字滤波器的分类143.3 数字滤波器的实现153.4 维纳滤波器154 维纳滤波器设计164.1 维纳滤波器的设计原理164.2 维纳滤波器的仿真结果175总结21参考文献221课程总结信号是携带信息的工具，是信息的载体。信号分为模拟信号和数字信号。模拟信号是指电信号的参量是连续取值的，其特点是幅度连续。常见的模拟信号有电话、传真和电视信号等。数字信号是离散的，从一个值到另一个值的改变是瞬时的，就像开启和关闭电源一样。数字信号的特点是幅度被限制在有限个数值之内。常见的数字信号有电报符号、数字数据等。模拟信号是传播能量的一种形式，它指的是在时间上连续的(不间断)，数值幅度大小也是连续不问断变化的信号(传统的音频信号、视频信号)。如声波使它经过的媒体产生振动，可以以频率(以每秒的周期数或赫兹(Hz)为单位)测量声波。通过将二进制数表示为电脉冲(其中每个脉冲是一个信号元素)使数字信号通过媒体传输。线路上的电压在高低状态之间变化。例如，可以采用高电平传输二进制的1，采用低电平传输二进制的0。带宽是指每秒通过链路传输位数的术语。 在长距离传输时，信号由于衰减、噪声和导线束中其他导线的干扰而退化。模拟信号可以周期性地加以放大，但是如果信号受到噪声破坏，则放大的是失真信号。相比而言，由于可以很容易地从噪声中提取数字信号并重发，所以长距离传输数字信号更可靠。 数字信号是在连续信号上采样得到的信号。与连续信号的自变量是连续的不同，离散信号是一个串行，即其自变量是“离散”的。这个串行的每一个值都可以被看作是连续信号的一个采样。由于离散信号只是采样的串行，并不能从中获得采样率，因此采样率必须另外存储。以时间为自变量的离散信号为离散时间信号。离散信号并不等同于数字信号。数字信号不仅是离散的，而且是经过量化的。即，不仅其自变量是离散的，其值也是离散的。因此离散信号的精度可以是无限的，而数字信号的精度是有限的。而有着无限精度，亦即在值上连续的离散信号又叫抽样信号。所以离散信号包括了数字信号和抽样信号。对于随机变量Xn, 其概率分布函数用下式描述： （1-1）式中P表示概率。 如果Xn取连续值，其概率密度函数用下式描述：（1-2）对于随机序列，不同n的随机变量之间并不是孤立的，为了更加完整地描述随机序列， 需要了解二维及多维统计特性。随机序列的概率分布函数得到的一个完整的描述，但在实践中往往不能得到它。因此，引入随机序列的数字特征。在实践中，这些数字是比较容易测量和计算的特征，知道这些数字还具有充分的使用。常用的数字特征的数学期望，方差和自相关函数。一般均方值和方差都是n的函数, 但对于平稳随机序列, 它们与n无关, 是常数。不同的时间，随机序列的状态之间是相关的，或不同时间状态之间的相互影响，包括随机序列本身或不同的随机序列之间的。常用的自相关和互相关特性的功能进行描述。自相关函数定义为 ：（1-3）对于两个不同的随机序列之间的关联性， 用互相关函数和互协方差函数描述。互相关函数的定义为 ： （1-4）在信息处理和传输中，常常会遇到所谓的平稳随机信号序列的一类重要信号。所谓平稳随机序列，是指它的N维概率分布函数或N维概率密度函数与时间n的起始位置无关。这样的随机序列被称为平稳随机序列。通常称为上面，这种类型的随机序列窄平稳随机序列，严格静止条件难以满足在实践。许多随机序列是不平稳随机序列，但它们不意味着并且随着时间的标准偏差变化，相关函数是时间差的一个函数。正态随机序列x(n)的N维联合概率密度函数用下式表示： （1-5）白噪声序列（1-6）如果正态分布的白噪声序列，随机变量序列成对相关是相互独立的，称为正常的白噪声序列。显然，最随机白噪声是一个随机序列，在现实中不存在，它是一个理想的白噪声，一般只要该信号的带宽大于所述系统的带宽，并在频系统带宽信号的频谱基本上是恒定的，也可以是信号被当作白噪声。基于所观察到的量或几个量来推断的问题，是参数估计问题。如果两个估计观测次数是相同的，并且都是无偏估计，估计其中的量在接近的摆动的一个较小数目的真值，即一个方差较小数目的估计量即估计更有效的量的估计值。估计量的均方误差用下式表示：（1-7）线性非时变系统输入与输出之间互相关函数为 （1-8）输入、输出之间的互相关函数等于系统的单位脉冲响应与输入自相关函数的卷积。x(n)与h(n)卷积的自相关函数等于x(n)的自相关函数和h(n)的自相关函数的卷积。滑动平均模型（Moving Average，简称MA模型）（1-9）自回归模型（Autoregressive, 简称AR模型）（1-10）自回归-滑动平均模型（简称ARMA模型）（1-11）从输入数据和干扰中过滤噪声，以提取有用的信息被称为滤波，这是主要的信号处理方法中的一个经常使用的，具有很大的应用价值的方法，相应装置称为滤波器。滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。维纳滤波是一种最基本的方法，适用于需要从噪声中分离出的有用信号是整个信号，而不只是它的几个参量。维纳滤波器根据输入信号包含随机噪声。输出与误差的差的实际输出之间的期望的平均需求的平方误差，即，均方误差。因此，该均方误差较小时，更好的噪声进行滤波。对于均方误差最小化，关键在于寻求脉冲响应。如果你能满足维纳 - 霍夫方程，你可以做出最优的维纳滤波器。根据维纳 - 霍夫方程，最佳维纳滤波器的脉冲响应，完全由输入和输入所需的输出互相关函数的自相关函数来确定。滤波器的输出y(n)（1-12）要使均方误差为最小，须满足 （1-13）输出信号与误差信号的互相关函数 （1-14）（1-15）在滤波器处于最佳工作状态时（1-16）此在滤波器处于最佳状态时， 估计值的能量总是小于等于期望信号的能量。 维纳霍夫方程：（1-17）当h(n)是一个长度为M的因果序列时（1-18） 维纳滤波的最佳解为 （1-19）可以通过矩阵求逆得到具有在互相关函数所观察到的数据和观察到的数据的自相关函数已知期望信号获得维纳滤波器最优解。在具体实现时，滤波器的长度是由实验来确定的，如果想通过增加长度提高逼近的精度，就需要在新M基础上重新进行计算。因此，从时域求解维纳滤波器，并不是一个有效的方法。卡尔曼滤波已经有很多不同的实现，卡尔曼最初提出的形式一般称为简单卡尔曼滤波器。卡尔曼滤波器是一个最优化自回归数据处理算法 ，在用输出信号的估计误差加权后校正状态变量的估计值，使状态变量估计误差的均方值最小。卡尔曼滤波要计算出加权矩阵的最佳值。卡尔曼递推公式：（1-20）维纳滤波的解H（z）的是由于在卡尔曼滤波器的形式是估计值的状态变量的是由于在溶液中的形式。它们都采用最小均方误差的标准，但有一个过渡过程卡尔曼滤波，维纳滤波它的结果是不相同的，但在到达稳定状态后，结果是相同的。自适应是指处理和分析过程中,根据处理数据的数据特征自动调整处理方法、处理顺序、处理参数、边界条件或约束条件,使其与所处理数据的统计分布特征、结构特征相适应,以取得最佳的处理效果。根据环境的改变，使用自适应算法来改变滤波器的参数和结构。这样的滤波器就称之为自适应滤波器。对于一些应用来说，由于事先并不知道所需要进行操作的参数，例如一些噪声信号的特性，所以要求使用自适应的系数进行处理。在这种情况下，通常使用自适应滤波器，自适应滤波器使用反馈来调整滤波器系数以及频率响应。总的来说，自适应的过程涉及到将代价函数用于确定如何更改滤波器系数从而减小下一次迭代过程成本的算法。自适应滤波器的矩阵表示为：（1-21）误差信号：（1-22）求最佳权系数：（1-23）（1-24）（1-25）（1-26）最小均方(LMS)算法主要在增加很少运算量的情况下能够加速其收敛速度，这样在自适应均衡的时候就可以很快的跟踪到信道的参数，减少了训练序列的发送时间，从而提高了信道的利用率。公式如下： （1-27）第i个权系数的计算公式为 （1-28）（1-29）最小二乘滤波输出是对期望信号d(i)的估计（1-30）功率谱就是功率谱密度函数，它定义为单位频带内的信号功率。它表示了信号功率随着频率的变化情况，即信号功率在频域的分布状况。功率谱是无限多个自相关函数的函数，但观测数据只有有限个,只能得到有限个自相关函数。输入白噪声w(n)均值为0，方差为2w，x(n)的功率谱由下式计算：（1-31）如果观测数据估计信号模型的参数，信号的功率谱可以计算的。这样，功率谱估计问题转化为信号模型的参数估计问题的观测数据。BT法经 典 谱 估 计 功率谱的计算公式如下： （1-32）（1-33）根据以上的自相关函数的估计，发现它是渐近一致估计，但功率谱估计是通过傅立叶变换，功率谱估计是渐近一致估计不一定能证明它是非一致估计，不是一个很好的估计方法。周期图法是一种信号功率谱密度估计方法。它的特点是：为得到功率谱估值，先取信号序列的离散傅里叶变换，然后取其幅频特性的平方并除以序列长度N。周期图法的优点是能应用离散傅里叶变换的快速算法来进行估值。 这种方法适用于长信号序列的情况，在有足够的序列长度时，应用改进的周期图法，可以得到较好的功率谱估值，因而应用很广。由于序列x(n)的离散傅里叶变换X()具有周期性，因而这种功率谱也具有周期性，常称为周期图。早期的统计学者曾利用这种方法从大量的数据中寻找隐藏的 周期性的规律。周期图是信号功率谱的一个有偏估值；而且，当信号序列的长度增大到无穷时，估值的方差不趋于零。因此，随着所取的信号序列长度的不同，所得到的周期图也不同，这种现象称为随机起伏。由于随机起伏大，使用周期图不能得到比较稳定的估值。 周期图法的定义: （1-34）为了减少随机波动，提出了平均周期图的方法，其中的信号序列分成若干段，分别计算各段，周期图的平均功率谱，然后为每个循环图的评价。平均周期图法可以减少随机波动，然而，如果信号序列不够长，因为每个序列的长度变短，对不同频率成分的功率谱估值的分辨能力也下降。另一种方法是周期图与一个适当的频率窗函数的卷积，从而在光滑函数映射的周期，减少随机波动。虽然加窗处理结果可以随机波动减少，但造成分辨率下降周期图。设随机信号x(n)的观测数据区间为：0nM-1，共进行了L次独立观测，第i组的周期图如下式：（1-35）将得到的L个周期图进行平均，得（1-36）对上式求统计平均，得：（1-37）上式表明,平均周期图仍然是有偏估计。为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数。窗函数法是用一适当的功率谱窗函数W(ej)与周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的的。 （1-38）（1-39）又因为（1-40）周期图的窗函数法仍然是有偏估计, 其偏移和wB(m)、w(m)两个窗函数有关。维纳线性一步预测器系数和信号自相关函数之间的关系式(Yule-Walker方程)如下：（1-41)（1-42)(1-43)令He(z)=E(z)/X(z)，由上式，得到 ：(1-45)称He(z)为线性一步预测误差滤波器，其作用是将信号x(n)转换成预测误差e(n)。自相关法的出发点是选择AR模型的参数使预测误差功率最小，误差功率为 ： (1-46)协方差法和自相关法一样，还是使用模型参数的最小功率预测误差的方法。由观测数据求预测误差功率的公式如下式： （1-47）该公式中使用的观测数据均已得到，不需要在数据两端补充零点， 因此去掉了加窗处理的不合理假设。修正协方差法是使用前向和后向预测误差平均值最小的方法，极大熵谱估计是指估计平稳随机过程功率谱密度的方法，这种方法在外推时能使自相关函数在未知点的取值具有最大统计自由度。极大熵谱估计要在外推相关函数的每一步，都既能保证相关函数的已知部分不变，又能在新增加外推值之后使概率分布具有最大的熵；也就是在每步外推时不对未知点处自相关函 数取值施加任何限制。极大熵谱估计的这种特点能克服传统的功率谱估计方法分辨率不高的弱点。最大似然谱估计的原理是让信号通过一个滤波器，选择滤波器的参数使所关心的频率的正弦波信号能够不失真地通过，同时，使所有其他频率的正弦波通过这个滤波器后输出的均方值最小。在这个条件下，信号经过这个滤波器后输出的均方值就作为其最大似然法功率谱估值。输出信号的均方值为： （1-48）傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有（1-49）傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。短时傅里叶变换的思想是：选择一个时频局部化的窗函数，假设分析窗函数g（t）在很短的时间内是稳定的，移动窗口函数，f（t）g（t）在不同宽度的有限时间稳定的信号，从而计算各不同时间功率谱。短时傅立叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定后，其形状将不再改变，短时傅立叶变换分辨率也应规定。如果你想改变分辨率，你需要从新选择窗函数。短时傅里叶变换的定义有两种形式定义一:（1-50）式中w(n)是一个窗函数。定义二：（1-51）短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频 信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。第 10 页2 绪论2.1 数字滤波器简介2.1.1 数字滤波器概述数字滤波器在信号的过滤，检测和参数估计等方面起着重要的作用。信号往往夹杂着噪声及无用信号成分，必须将这些干扰成分滤除。数字滤波器对信号进行筛选，可通过特定频段的信号。现代滤波器的作用是从含有噪声的信号中估计出信号的某些特征或信号本身，一旦信号被估计出，那估计出的信号与原始信号相比会有更高的信噪比。这类滤波器主要有维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等。2.1.2 数字滤波器的优点数字滤波器精确度高、使用灵活、可靠性高，具有模拟设备所没有的许多优点，已广泛地应用于各个科学技术领域。随着信息数字时代的到来，数字滤波技术已经成为一门极其重要的学科和技术领域。以往的滤波器大多采用模拟电路技术，但是，模拟电路技术存在很多难以解决的问题，例如，模拟电路元件对温度的敏感性，等等。而采用数字技术则避免很多类似的难题，当然数字滤波器在其他方面也有很多突出的优点，在前面部分已经提到，这些都是模拟技术所不能及的，所以采用数字滤波器对信号进行处理是目前的发展方向。2.2 设计内容本课题基于MATLAB，对有噪鸟鸣声信号进行处理，综合运用数字信号处理的理论知识对加噪声声音信号进行分析和滤波。通过理论推导得出相应结论，再利用 MATLAB 作为编程工具进行计算机实现。在设计实现的过程中，主要使用频域法法来设计FIR维纳滤波器，并利用MATLAB 作为辅助工具完成设计中的信噪比计算与图形的绘制。2.3 研究方法录制一段鸟鸣声信号，并对录制的信号进行采样；画出时域鸟鸣声信号的波形；对原信号进行加噪处理；设计出维纳滤波器消除语音信号在录制过程中混杂的噪声。改变所加噪声的信噪比，画出滤波前后的声音信号波形图和频谱图，并回放语音信号，对滤波前后的信号进行对比，分析信号的变化，评估滤波器的效果。3 数字滤波器3.1 数字滤波器原理数字滤波是数字信号分析中最重要的组成部分之一，广泛用于数字信号处理中。随着数字技术的不断发展，在许多场合数字滤波器正在快速取代模拟滤波器，与模拟滤波相比，它具有精度和稳定性高，系统函数容易改变，灵活性强，便于大规模集成和可实现多维滤波等优点。3.2 数字滤波器的分类滤波器可分为IIR和FIR数字滤波器。这是根据滤波器的单位脉冲响应h(n)的长度是否有限来划分的。若h(n)是一个长度为M+1的有限长序列，通常将此时的系统称为有限长单位脉冲响应（FIR）系统。 如果相应的h(n)是无限长序列，称这种系统为无限长单位脉冲响应（IIR）系统。在相同的技术指标要求下，由于IIR数字滤波器存在输出对输入的反馈，因此可以用较少的阶数来满足要求，所用的存储单元少，运算次数少，较为经济。FIR滤波器主要采用非递归结构，因而无论是理论上还是实际的有限精度运算中他都是稳定的，有限精度运算误差也较小。IIR滤波器必须采用递归结构，极点必须在z平面单位圆内才能稳定。对于这种结构，运算中的舍入处理有时会引起寄生振荡。对于FIR滤波器，由于冲激响应是有限长的，因此可以用快速傅里叶变换算法，这样运算速度可以快得多。IIR滤波器不能进行这样的运算。IIR滤波器主要是设计规格化、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带通和带阻滤波器。FIR滤波器则灵活很多，例如频率抽样法可适应各种幅度特性和相位特性的要求。因此FIR滤波器可设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调频器等各种网络，适应性很广。而且，目前已经有很多FIR滤波器的计算机程序可供使用。也分为低通、高通、带通、带阻滤波器。3.3 数字滤波器的实现数字滤波器按特定的运算改变数字输入信号的频谱分布，用软件或硬件实现。一般有两种，一种是利用计算机的程序实现，即在通用计算机上执行数字信号处理程序，从而仿真实现,这种方法灵活，但一般不能完成实时处理。另一种是利用硬件来实现,硬件处理是根据数字滤波器的算法，设计专用数字信号处理集成电路，使计算程序全部硬件化，这种方法的优点是处理速度高，但灵活性差，设备开发周期长。本设计采用前者，在计算机上仿真实现。3.4 维纳滤波器维纳滤波器是由数学家维纳提出的一种以最小平方为最优准则的线性滤波器。在一定的约束条件下，其输出与期望输出的差的平方达到最小，通过数学运算最终可变为一个托布利兹方程的求解问题。维纳滤波器又被称为最小二乘滤波器或最小平方滤波器，目前是基本的滤波方法之一。维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。4 维纳滤波器设计4.1 维纳滤波器的设计原理数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)滤波器和有限长冲激响应(FIR)滤波器。IIR滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。数字滤波器的设计方法有多种，如双根据频域指标直接设计数字滤波器、先设计模拟滤波器，通过离散化转换为数字滤波器等。随着MATLAB软件尤其是MATLAB的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。维纳滤波器设计的任务就是选择h(n)，使其输出信号y(n)与期望信号d(n)误差的均方值最小，实质是解维纳霍夫方程。假设滤波系统是一个线性时不变系统，它的h(n)和输入信号都是复函数，设 （4-1）考虑系统的因果性，可得到滤波器的输出 （4-2）设期望信号d(n)，误差信号e(n)及其均方误差E|e(n)|2分别为（4-3）（4-4）要使均方误差为最小，需满足：（4-5）由上式可以推导得到（4-6）上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就是正交性原理。将展开，得（4-7）对两边取共轭，并利用相关函数的性质，得（4-8）此式称为维纳-霍夫(Wiener-Hopf)方程。解此方程可得到最优权系数h0,h1,h2.，此式是Wiener滤波器的一般方程，根据权系数是有限个还是无限个可以分别设计IIR型和FIR型Wiener滤波器，本实验中采用的是FIR滤波器。h(n)是一个长度为M的因果序列(即是一个长度为M的FIR滤波器)时，维纳-霍夫方程表述为（4-9）维纳-霍夫方程写成矩阵形式为（4-10）即 （4-11）4.2 维纳滤波器的仿真结果在MATLAB环境中，利用audiuread函数读取文件bird5sec.wav（一