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文档简介

张家口市20182019学年度第一学期期末教学质量监测高三数学(理科)第卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位,是的共轭复数,则的虚部是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘除运算可求得z,写出z的共轭复数,即可得到虚部.【详解】,1i,其虚部为1,故选:D.【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查共轭复数及复数虚部的概念,属于简单题.2.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合A,B,然后利用交并补的概念对选项逐个进行检验,即可得到答案.【详解】=,集合,选项A,,选项B,,选项C,选项D,故选:C.【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断与应用,其中解不等式求出集合A,B是解答的关键3.甲、乙两名同学在五次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是,观察茎叶图,下列结论正确的是( )A. ,乙比甲成绩稳定 B. ,乙比甲成绩稳定C. ,甲比乙成绩稳定 D. ,甲比乙成绩稳定【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图中的数据,即可计算出两人平均分,再根据茎叶图的分布情况可知乙成绩稳定.【详解】由茎叶图知,甲的平均数是,乙的平均数是所以,从茎叶图上可以看出乙的数据比甲的数据集中,乙比甲成绩稳定故选:A【点睛】本题考查茎叶图中两组数据的平均数和稳定程度,平均数要进行计算,稳定程度可通过计算方差或通过数据排布形状作出比较4.已知数列的前项和为,(为常数),若,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得数列为等差数列,由等差数列性质和前n项和公式即可得到首项和公差,然后代入前n项和公式中即可求得结果.【详解】由可知数列为等差数列,由等差数列的性质可得,即,则数列的公差d=首项=故选:C.【点睛】本题考查等差数列通项公式和性质的应用,考查等差数列前n项和公式,属于基础题.5.已知为实数,若,则函数的单调递增区间为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导,由求出a,然后解不等式即可得到答案.【详解】,则又则,解得a=-2,解得,则函数的单调递增区间为故选:B.【点睛】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,是基础题6.设为所在平面内一点,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出【详解】=,故选:D【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题7.某几何体的三视图如图所示,其正视图是斜边长为的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知,该几何体是等边圆柱斜削一半,求出圆柱体积的一半即可.【详解】由三视图可知,该几何体是等边圆柱斜削一半,由正视图是斜边长为的等腰直角三角形可知底面圆的半径为1,圆柱的高为2,所求几何体的体积为.故选:B.【点睛】本题考查三视图,考查圆柱的体积公式,其中由三视图推出几何体的形状是关键.8.,恰有三个零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意g(x)有三个零点,即y=f(x)与y=mx有三个交点,计算y=mx与函数y=f(x)相切时的m值,然后由图像即可得到m的范围.【详解】由题意g(x)有三个零点,即y=f(x)与y=mx的图像有三个交点,作出y=f(x)和y=mx的图像如图,当y=mx与y=f(x)相切时,设切点坐标为,则,解得m=,则当0m0即则函数g(x)在上单调递增,可得g(x)g(0)=0,即,故答案为:【点睛】本题考查根据函数在某个区间上单调递减,递增求参数的取值范围的问题,涉及到的知识点是导数和单调性的关系,注意其等价条件为其导数在给定区间上小于等于零或大于等于0.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数,在锐角中,分别为角,的对边,且.(1)求的大小;(2)若,求面积的最大值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)利用两角和差公式,二倍角公式和辅助角公式求得f(A)解析式,从而可得A值(2)利用余弦定理,基本不等式,求得bc的最大值,即可得ABC面积最大值【详解】.,又,.(2),.(当且仅当时取等号).当时,的最大值为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换,余弦定理,基本不等式的应用,属于中档题18.某医疗器械公司在全国共有个销售点,总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.(1)完成年销售任务的销售点有多少个?(2)若用分层抽样的方法从这个销售点中抽取容量为的样本,求该五组,(单位:千台)中每组分别应抽取的销售点数量.(3)在(2)的条件下,从前两组,中的销售点随机选取个,记这个销售点在中的个数为,求的分布列和期望.【答案】(1)24 (2) 各组应抽取的销售点数量分别为, (3)见解析【解析】【分析】(1)根据频率和为1,即直方图中的矩形的面积和为1即可求出a值,从而可得到完成年销售任务的销售点个数;(2)利用分层抽样的特点即可得到答案;(3)的可能取值,计算相应的概率,列出分布列,由期望公式计算即可.【详解】(1),解得,则完成年销售任务的销售点个数为.(2)各组应抽取的销售点数量比例为,则各组应抽取的销售点数量分别为,.(3)在第(2)问的容量为的样本中,中的销售点数量分别为,则所有可能的取值为,所以的分布列为.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,考查分层抽样及离散型随机变量的分布列及期望公式的应用,属于基础题.19.四棱柱中,侧棱底面,底面为菱形,.是的中点,与相交于点.(1)求证:平面 平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明;(2)【解析】【分析】(1)根据已知条件证明平面,然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明;(2)取中点,以射线,的方向作为,轴的正方向建立空间直角坐标系,求平面和平面的法向量,根据向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】(1)证明:连接.因为,是的中点,所以.又,所以平面,所以.在中,所以.在矩形中,是中点,所以.所以平面,即平面.又平面,所以平面平面.(2)解:取中点,以射线,的方向作为,轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),则,.,.设平面的一个法向量为,则由得取,则.设平面的一个法向量为,则由得取,则. 所以二面角的余弦值为.【点睛】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小20.已知点是圆:上一动点,线段与圆:相交于点.直线经过,并且垂直于轴,在上的射影点为.(1)求点的轨迹的方程;(2)设圆与轴的左、右交点分别为,点是曲线上的点(点与,不重合),直线,与直线:分别相交于点,求证:以直径的圆经过定点.【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】(1)设点,,由已知条件找到两点坐标之间的关系,然后利用相关点法即可求得点E的轨迹方程;(2)根据已知条件设直线AP,BP的方程,当x=4时可得点M,N的坐标,从而可得以MN为直径的圆的方程,整理即得圆经过的定点.【详解】(1)设点,.当时,易得;当时,有,所以.又,所以.代入的方程,得,即. (2)证明:设直线,的斜率分别为,记.则 ,.直线的方程为,所以.直线的方程为,所以.以为直径的圆的方程为.整理,得 .令解得或所以以为直径的圆过定点,.【点睛】本题考查相关点法求轨迹,考查曲线过定点问题,解决曲线过定点问题一般有两种方法: 探索曲线过定点时,可设出曲线方程 ,然后利用条件建立等量关系进行消元,借助于曲线系的思想找出定点,或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. 从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.21.已知函数 .(1)若,使得恒成立,求的取值范围.(2)设,为函数图象上不同的两点,的中点为,求证:.【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】(1)构造函数,即g(x)0恒成立,只需g(x)最小值大于0即可,求导根据函数单调性即得函数g(x)最小值,从而得到a的范围;(2),表示出 ,整理后把证明转为证明,构造函数(t1),利用导数证明该函数在(1,+)上为增函数即可证得结论【详解】(1)恒成立,即恒成立,令, ,由于,则在单调递减,在单调递增,故 ,解得.(2)证明:因为为的中点,则,故 ,故要证,即证,由于,即证.不妨假设,只需证明,即.设,构造函数,则,则有,从而.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性及求函数最值,考查函数恒成立问题,函数恒成立问题往往转化为函数最值解决,是压轴题22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到的距离的最大值.【答案】(1)直线:,曲线:(2)【解析】【分析】(1)消去参数t即可得到直线l的普通方程,利用,y=化简可得曲线的直角坐标方程;(2)由曲线C的方程,设,再由点到直线的距离公式和三角函数的性质,即可求解【详解】(1)消,得:.,.,即,即.直线:,曲线:.(2)曲线的参数方程为(为参数),设,则 (其中满足,).,.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,以及椭圆的参数方程的应用问题,考查点到直线的距离公式,把距离转化为三角函数问题是解答的关键,着重考查了分析问题和解决问题的能力23.已知函数 .(1)若,求不等式的解集;(2)若不等式的解集非空,求的取值范围.【答案】

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