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文档简介

第5讲函数的单调性与最值1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x10,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f(x)的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y=f(x)的单调性相同.(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.2.单调性定义的等价形式:设x1,x2a,b,x1x2.(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或f(x1)-f(x2)x1-x20,则f(x)在闭区间a,b上是增函数;(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或f(x1)-f(x2)x1-x20,则f(x)在闭区间a,b上是减函数.3.函数最值的两条结论:(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.题组一常识题1.教材改编 函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函数,则a的取值范围是.2.教材改编 函数f(x)=(x-2)2+5(x-3,3)的单调递增区间是;单调递减区间是.3.教材改编 函数f(x)=3x+1(x2,5)的最大值与最小值之和等于.4.教材改编 函数f(x)=|x-a|+1在2,+)上是增函数,则实数a的取值范围是.题组二常错题索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.5.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是.6.已知函数f(x)=(a-2)x,x2,12x-1,x2是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围为.7.函数y=f(x)是定义在-2,2上的减函数,且f(a+1)1),x(-2,+)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.总结反思 (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:任取x1,x2D,且x10,0,x=0,-1,x0.记a=f(30.2)30.2,b=f(0.32)0.32,c=f(log25)log25,则()A.abcB.bacC.cabD.cba总结反思 比较函数值的大小时,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性去比较大小.微点2利用函数的单调性解决不等式问题例4 (1)2018广州模拟 已知函数f(x)=log2(4x+1)+x,则不等式f(log3x)1的解集为()A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,0)D.(-1,1)(2)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x1x2,都有f(x1)-f(x2)3x的解集为()A.(2,+)B.(-,2)C.(1,+)D.(-,1)总结反思 解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义,具体步骤是:(1)将函数不等式转化成f(x1)f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”,转化为形如“x1x2”或“x10,设函数f(x)=2018x+1+20172018x+1+2018x3(x-a,a)的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为()A.2018B.2019C.4035D.4036(2)2018龙岩质检 函数f(x)=13x-log2(x+4)在区间-2,2上的最大值为.总结反思 若函数f(x)在区间a,b上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数f(x)在区间a,b上不单调,则最小值为函数f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.微点4利用函数的单调性求参数的范围(或值)例6 (1)2018南充三模 已知f(x)=(3-a)x,x(-,1,ax,x(1,+)是R上的增函数,那么实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.(1,+)D.32,3(2)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间1,+)上是增函数,则a的取值范围是.总结反思 (1)根据函数的单调性,将题设条件转化为含参数的不等式(组),即可求出参数的值或范围;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.应用演练1.【微点1】2018南阳第一中学模拟 已知a,bR,0ab1,则下列不等式错误的是()A.a3b3B.2a2bC.log2alog3bD.loga20成立,则实数a的取值范围是()A.(0,+)B.12,+C.0,12D.12,24.【微点2】2018昆明检测 已知函数f(x)=e-x,x0,-x2-2x+1,x0,若f(a-1)f(-a),则实数a的取值范围是()A.-,12B.12,+C.0,12D.12,15.【微点3】2018河南六市联考 若函数f(x)=|x|-1x2,1|x|9的最大值为M,最小值为m,则M-m=()A.24181B.24281C.269D.319第5讲函数的单调性与最值考试说明 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.【课前双基巩固】知识聚焦1.f(x1)f(x2)上升的下降的2.增函数或减函数区间D3.f(x)Mf(x0)=M对点演练1.a12解析 当2a-10,即a12时,f(x)是R上的减函数.2.(2,3-3,2解析 由函数f(x)=(x-2)2+5(x-3,3)的图像(图略)即可得到单调区间.3.32解析 函数f(x)=3x+1在2,5上是减函数,所以最大值为f(2)=1,最小值为f(5)=12,所以最大值与最小值之和为1+12=32.4.a2解析 因为函数f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是a,+),当f(x)在2,+)上单调递增时,满足2,+)a,+),所以a2.5.32,4解析 函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-x-322+254,x(-1,4)的单调递减区间为32,4,函数f(x)的单调递减区间为32,4.6.-,138解析 由题知a-22a,解得-1a1.8.(1)a-3(2)-3解析 (1)函数图像的对称轴为直线x=1-a,由1-a4,得a-3.(2)函数图像的对称轴为直线x=1-a,由1-a=4,得a=-3.【课堂考点探究】例1思路点拨 直接判断单调性即可,再按照单调性的定义证明单调性.解:该函数在(-2,+)上单调递增.证明如下: 任取x1,x2(-2,+),不妨设x10,x1+20,x2+20,又a1,所以ax2ax1,即有ax2-ax10,所以f(x2)-f(x1)=ax2+x2-3x2+2-ax1-x1-3x1+2=(ax2-ax1)+(x2-3)(x1+2)-(x1-3)(x2+2)(x1+2)(x2+2)=(ax2-ax1)+5(x2-x1)(x1+2)(x2+2)0,故函数f(x)在(-2,+)上单调递增.变式题(1)D(2)C解析 (1)对于选项A,函数y=-x2+1在(0,+)上单调递减,故A错;对于选项B,函数y=|x-1|在(0,+)上先减后增,故B错;对于选项C,函数y=1-1x-1在(0,1)和(1,+)上均单调递增,但在(0,+)上不单调递增,故C错;对于选项D,函数y=ln x+x在(0,+)上单调递增,所以D正确.(2)A错,比如f(x)=x在R上为增函数,但y=f(x)2在R上不具有单调性;B错,比如f(x)=x在R上为增函数,但y=|f(x)|=|x|在(0,+)上为增函数,在(-,0)上为减函数;C对,f(x)在R上为增函数,所以-f(x)在R上单调递减,所以y=2-f(x)在R上为减函数;D错,比如f(x)=x在R上为增函数,但y=-f(x)3=-x3在R上为减函数.故选C.例2思路点拨 (1)先令t=-x2+2x+30求得函数的定义域,再根据复合函数的单调性的性质判定函数的单调递增区间;(2)作出函数g(x)的图像,由图像可得单调递减区间.(1)A(2)0,1)解析 (1)令t=-x2+2x+30,求得-1x1,0,x=1,-x2,x0,函数y=f(x)x是(0,+)上的增函数.130.230.5=32,00.322,00.3230.2log25,bac.故选B.例4思路点拨 (1)分析函数的单调性,将不等式转化为f(log3x)f(0),进一步转化为求解log3x0即可;(2)构造函数,利用单调性把所求不等式中的函数符号去掉,得出一般的不等式,解该不等式即可.(1)A(2)C解析 (1)易知函数f(x)=log2(4x+1)+x是R上的增函数,且f(0)=log2(1+1)=1,所以f(log3x)1可以转化为f(log3x)f(0),结合函数的单调性可以将不等式转化为log3x0,解得0x1,从而得原不等式的解集为(0,1).(2)由已知条件知f(x1)-x1f(x2)-x2对任意x13x,即f(3x-1)-(3x-1)1,即g(3x-1)1=g(2),所以3x-12,得3x3,解得x1,故所求不等式的解集为(1,+).例5思路点拨 (1)对原函数解析式化简变形,利用常见函数的单调性确定f(x)的单调性,从而得到函数的最大值和最小值;(2)函数f(x)可看成是由函数y=13x和函数y=-log2(x+4)组合而成的,分别考查这两个函数的单调性可得函数f(x)在区间-2,2上的最大值.(1)C(2)8解析 (1)f(x)=2018x+1+20172018x+1+2018x3=2018(2018x+1)-12018x+1+2018x3=2018-12018x+1+2018x3.因为y=-12018x+1,y=2018x3均为增函数,所以f(x)在-a,a上单调递增,故最大值为f(a),最小值为f(-a),所以M+N=f(a)+f(-a)=2018-12018a+1+2018a3+2018-12018-a+1+2018(-a)3=4036-1=4035.(2)因为函数y=13x和函数y=-log2(x+4)是定义域内的减函数,所以函数f(x)=13x-log2(x+4)在区间-2,2上单调递减,则所求函数的最大值为f(-2)=13-2-log2(-2+4)=9-1=8.例6思路点拨 (1)根据一次函数以及指数函数的性质,结合函数的单调性得到不等式组,解出即可.(2)根据解析式求出所给函数的单调递增区间,利用1,+)是所得单调递增区间的子集,求得a的取值范围.(1)D(2)(-,1解析 (1)由题意得3-a0,a1,3-aa,解得32a3,故选D.(2)f(x)=e|x-a|=ex-a,xa,ea-x,xa,f(x)在a,+)上为增函数,则由题意得1,+)a,+),a1.应用演练1.D解析 因为函数y=x3与函数y=2x在定义域内单调递增,所以A,B正确;由log2alog3alog3b可得C正确;函数y=log2x单调递增,所以log2alog2b1log2b,即loga2logb2,所以D错误.故选D.2.D解析 由题意得f(x)=2xx-2=2+4x-2,所以函数f(x)在区间3,4上单调递减,所以M=f(3)=2+43-2=6,m=f(4)=2+44-2=4,所以m2M=426=83.故选D.3.D解析 因为函数f(x)=ax2-2x-5a+6对任意两个不相等的实数x1,x22,+),都有不等式f(x2)-f(x1)x2-x10成立,所以函数f(x)=ax2-2x-5a+6在2,+)上单调递增.易知a=0时不合题意,所以只需a0,a22-22-5a+60,-22a2,解得12a2,即实数a的取值范围是12,2,故选D.4.A解析 函数f(x)=e-x=1ex在(-,0上为减函数,函数f(x)=-x2-2x+1在(0,+)上为减函数,且e-0=-02-20+1,所以函数f(x)在(-,+)上为减函数.由f(a-1)f(-a)得a-1-a,解得a12.故选A.5.B解析 令t=|x|,1t9,则f(x)=g(t)=t-1t2,由y=t,y=-1t2在1,9上单调递增,可得g(t)=t-1t2在1,9上单调递增,所以f(x)的最小值m=g(1)=1-112=0,f(x)的最大值M=g(9)=9-192=24281,所以M-m=24281,故选B.【备选理由】 例1考查抽象函数单调性的证明以及函数不等式的求解,考查转化思想和计算能力;例2考查的是有关函数值比较大小的问题,在求解的过程中,需要抓住题中的条件f(1+x)=f(1-x),得到函数图像的对称性,再结合单调性比较大小;例3需要构造函数,利用函数单调性求解,考查学生的观察能力和运用条件的能力,有一定的难度;例4涉及绝对值函数的最值问题,一般利用绝对值定义去掉绝对值,将函数转化为分段函数,再根据函数单调性确定函数的最值.例1配合例1使用 函数f(x)对任意的m,nR都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x0时,恒有f(x)1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)2.解:(1)证明:设x1,x2R,且x10,所以f(x2-x1)1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以f(x)是R上的增函数. (2)因为m,nR,不妨设m=n=1,所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1,即f(2)=2f(1)-1,所以f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4,所以f(1)=2,所以f(a2+a-5)2等价于f(a2+a-5)f(1).因为f(x)在R上为增函数,所以a2+a-51,得-3abcB.bacC.acbD.cba解析 A根据f(1+x)=f(1-x),可得函数f(x)的图像关于直线x=1对称,结合f(x)是1,+)上的增函数,可得函数f(x)是(-,1上的减函数.利用幂函

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