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3.2独立性检验的基本思想及其初步应用,高二数学 选修2-3 第三章 统计案例,独立性检验,本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。,在日常生活中,我们常常关心分类变量之间是否有关系:,例如,吸烟是否与患肺癌有关系? 性别是否对于喜欢数学课程有影响?等等。,探究:,为了调查吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地调查了9965人,得到如下结果(单位:人),列联表,分类变量,1下面是一个22列联表:,则表中a、b的值分别为( ) A94、96 B52、50 C52、54 D54、52,C,探究:,为了调查吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地调查了9965人,得到如下结果(单位:人),列联表,吸烟者和不吸烟者都可能患肺癌,吸烟者患肺癌的可能性较大,0.54%,2.28%,分类变量,42/7817,通过图形直观判断两个分类变量是否相关:,等高条形图,0.54%,2.28%,上面我们通过分析数据和图形,得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关,那么事实是否真的如此呢?这需要用统计观点来考察这个问题。,现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”, 为此先假设,H0:吸烟与患肺癌没有关系.,把表中的数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表,用A表示不吸烟,B表示不患肺癌,则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”,即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B).,因此|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; |ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强。,在表中,a恰好为事件AB发生的频数;a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率,所以在H0成立的条件下应该有,独立性检验,H0:假设吸烟和患肺癌没有关系,独立性检验,H0:假设吸烟和患肺癌没有关系,构造随机变量(卡方统计量),作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准 。,若H0(吸烟和患肺癌没有关系)成立,则K2应该很小.,独立性检验,H0:假设吸烟和患肺癌没有关系,随机变量-卡方统计量,临界值表,0.1%把握认为A与B无关,1%把握认为A与B无关,99.9%把握认A与B有关,99%把握认为A与B有关,90%把握认为A与B有关,10%把握认为A与B无关,即在 成立的情况下,K2 大于6.635概率非常小,近似为0.01,现在的K256.632的观测值远大于6.635,小概率事件的发生说明假设H0不成立!,临界值表,独立性检验,H0:假设吸烟和患肺癌没有关系,所以吸烟和患肺癌有关!,1对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k,说法正确的是( ) Ak越大,“ X与Y有关系”可信程度越小 Bk越小,“ X与Y有关系”可信程度越小 Ck越接近于0,“X与Y无关”程度越小 Dk越大,“X与Y无关”程度越大,B,独立性检验基本的思想类似反证法,(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”. (2)在此假设下随机变量 K2 应该很能小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理. (3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99.9%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99.9%.,反证法原理与假设检验原理,反证法原理: 在一个已知假设下,如果推出一个矛盾,就证明了这个假设不成立。,假设检验原理:在一个已知假设下,如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生,就推断这个假设不成立。,在H0成立的条件下,构造与H0矛盾的小概率事件; 2.如果样本使得这个小概率事件发生,则H0不成立,就能以一定把握断言H1成立;否则,断言没有发现样本数据与H0相矛盾的证据。,求解思路,假设检验问题:,例1.在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断是否有关?你所得的结论在什么范围内有效?,55.01%,43.03%,例1.在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断是否有关?你所得的结论在什么范围内有效?,根据联表的数据,得到,所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”。,注意:,因为这组数据来自住院的病人,因此所得到的结论适合住院的病人群体,2、本例中的边框中的注解:,1、在解决实际问题时,可以直接计算K2的观测值k进行独立检验,而不必写出K2的推导过程;,主要是使得我们注意统计结果的适用范围(这由样本的代表性所决定),A,所以根据列联表的数据,可以有 %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系。,97.5,跟踪训练,1(2011广东执信中学)某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查,得到的统计数据如下表所示:,完成课本97页练习,(1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的积极性与对待班级工作的态度有关系?,所以,在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系,1(2013深圳二模)2013年3月14日,CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象.为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关,某大学实验室随机抽取了60个样本,得到了相关数据如下表:,(1)根据表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关? (2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个,现从这6个样本中任取2个,则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少? 参考数据:,解析:(1)提出假设H0:使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关. 根据表中数据,求得K2的观测值,能在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关. (2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取6个,其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为 6=5,“混凝土耐久性不达标”的为6-5=1, “混凝土耐久性达标记”为A1,A2,A3,A4,A5”;“混凝土耐久性不达标”的记为B.,在这6个样本中任取2个,有以下几种可能:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,B),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,B),(A3,A4),(A3,A5),(A3,B),(A4,A5),(A4,B)(A5,B),共15种. 设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A,它的对立事件A为“取出的2个样本至少有1个混凝土耐久性不达标”,包含(A1,B),(A2,B),(A3,B),(A4,B),(A5,B),共5种可能.,2(2011揭阳一模)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量值落在(495,510的产品为合格品,否则为不合格品表1是甲流水线样本频数分布表,图1是乙流水线样本的频率分布直方图,表1 甲流水线样本频数分布表 (1)根据上表数据作出甲流水线样本的频率分布直方图; (2)若以频率作为概率,试估计从两条流水线分别任取1件产品,该产品恰好是合格品的概率分别是多少; (3)由以上统计数据完成下面22列联表,能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关?,附:下面的临界值表供参考:,解析:(1)甲流水线样本的频率分布直方图如下:,(2)由表1知甲样本中合格品数为814830,由图1知乙样本中合格品数为

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