[工学]信号与系统 第2章.ppt

第2章 连续时间系统的时域分析,2.2 零输入响应与零状态响应,2.1 系统响应的经典求解,2.3 冲激响应与阶跃响应,2.4 系统的卷积积分分析,2.5 卷积积分的性质,（1）元件端口的电压与电流约束关系,电网络的两个约束特性：,2.1 系统响应的经典求解,2.1.1 连续系统数学模型,（2） 各电路的电流、电压约束关系（即电路定律 KVL、KCL）,例2-2：如下图所示互感耦合电路，x(t)为电压源激励信号，试列写求电流i2(t)的微分方程式。,解 ：对于初、次级回路分别应用KVL，可以得到一对微分方程式,将式（4）、（5）代入式（3）并整理得：,(1),(2),对于一个线性系统，其激励信号x(t)与响应函数y(t)之间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述,上式就是一个常系数 n 阶线性常微分方程。,2.1.2 用经典法求解微分方程,此方程的完全解由两部分组成，这就是齐次解和特解。齐次解应满足,特征方程为,1）特征根为单根，微分方程的齐次解为,2）特征根有重根，假设 是特征方程的K重根，那么，在齐次解中，相应于 的部分将有K项,3）若 、 为共轭复根，即 那么，在齐次解中，相应于 、 的部分为,例2-4 ： 求下列微分方程的齐次解。,解： 特征方程为,齐次解,下面讨论求特解的方法，特解的函数形式与激励的函数形式有关。将激励信号代入微分方程的右端，代入后的函数式称为“自由项”。通常，由观察自由项试选特解函数式，代入方程后求得特解函数式中的待定系数，即可求出特解。,自由项 特解,解: （1）列写微分方程式为,（2）为求齐次解，写出特征方程,特征根,（3）查表，得特解为,代入原方程得,齐次解,比较上述方程两边系数，并求解得,（4）完全解为,由于已知电容C2上的初始电压为零，因而有v2(0) = 0,又因为电容C1上的初始电压也为零，于是流过R2,C2中的初始电流也为零，即 。,（1）,由 v2(0) = 0 及 代入（1）式求得：,2.1.3 初始条件的确定（起始点的跳变从0-到0+ ）,在系统分析问题中，初始条件要根据激励接入瞬时系统的状态决定。,一）起始状态与初始状态,二）初始条件的确定,可以利用系统内部储能的连续性，这时有,首先判断vC(0-)和iL(0-)值，然后由储能的连续性写出vC(0+)和iL(0+)，再根据元件约束特性与网络拓扑约束即可求得0+时刻其它电压、电流值。对于稍复杂的情况，跳变值往往不易直接求得，这时，可借助微分方程式两端各奇异函数系数平衡的方法作出判断。(奇异函数平衡法),起始状态：在激励接入之前的瞬时系统的状态,初始状态：在激励接入之后的瞬时系统的状态,（1）由例2-2的微分方程式，将x(t) = u(t)代入，得,由题意知,（2）求初始条件,（3）求齐次解，写出特征方程,求得两特征根为：,由于在 t 0以后，微分方程右端为零，显然，其特解就是零。,（4）求特解yp(t),（5）求全响应i2(t),所以,利用初始条件 求系数A1、A2,解之得：,解：将 x(t) = u(t)代入微分方程右端得,所以,即,2.2 零输入响应与零状态响应,经典法求解系统的完全响应可分为：,完全响应=自由响应+强迫响应,系统的完全响应也可分为：,完全响应=零输入响应+零状态响应,零状态响应 ：当起始状态 时，由激励 信号x(t) 所产生的响应。,零输入响应 ：当激励信号 x(t) = 0时，由起始状 态 所产生的响应。,由于激励信号x(t) = 0，所以系统的起始时刻不会产生跳变。所以,零状态响应的形式为：,其中系数Azsk由跳变量 来确定。,：确定全响应的系数,：确定零输入响应的系数,：确定零状态响应的系数,解：,：初始条件，确定全响应的系数，,：起始条件，确定零输入响应的系数，,：跳变量，确定零状态响应的系数,1）求全响应y(t),特征根为 ，所以 ，,而,这样，全响应为,2）求零输入响应yzi(t),由初始条件 可求出系数 A= ，所以,由起始条件 可求出系数Azi= ，所以,3）求零状态响应yzs(t),由跳变量 可求出系数Azs= 1，所以,或：,2.3 冲激响应与阶跃响应,以单位冲激信号 作为激励，系统产生的零状态响应称为“单位冲激响应”，以h(t)表示。,以单位阶跃信号u(t)作为激励，系统产生的零状态响应称为“单位阶跃响应”，以g(t)表示。,2.3.1 定义,2.3.2 h(t)的求解,将 及 代入上式，得,一般情况下有nm，冲激响应h(t)应与齐次解的形式相同，如果特征根包括n个非重根，则,如果n=m，冲激响应h(t)将包含一个 项，即,如：,即：,如果nm，冲激响应h(t)中将包含,例如 n = m-1,解：,将 代入微分方程，并比较方程两边系数可求出：,所以,2.3.3 阶跃响应g(t)的求法,根据线性系统的微分与积分特性可知，阶跃响应g(t)为,由于,反之,2.4 系统的卷积积分分析,2.4.1 推导求零状态响应的卷积公式,设激励信号x(t)为因果信号，并设系统的起始状态为零。,即,当 时，,数学中两函数的卷积定义为,设 f1(t) = x(t)、 f2(t) = h(t)，且设x(t)、 h(t)均为因果信号，则,当 时， ，所以，第一项积分=0，,当 时， ，所以，第三项积分=0，这样，,若x(t)、 h(t)不是因果信号，则,2.4.2 卷积积分的计算,由上述卷积积分的公式可总结出卷积积分计算步骤。首先将x(t)和h(t)的自变量t改成 ，即：,再进行如下运算（即卷积积分的四步曲）：反褶、时移、相乘、积分。,反褶：,时移：,相乘：,积分：,计算卷积积分的关键是定积分限。,例2-11：已知 , 求 。,解：,1）当 t 0 时，,2）当 t 0 时，,s(t) = 0,演示,例212：已知 ，求,解：,1）当 t 0 时，,s(t) = 0,2）当 0 t T 时，,3）当 t T 时，,演示,解：,1）当 时，,2）当 时，,3）当 ，即当 时,4）当 ，即当 时，,5）当 ，即 时，,演示,2.5 卷积积分的性质,2.5.1 卷积积分的代数性质,（1）交换律,（2）分配律,分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。,（3）结合律,结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。,2.5.2 卷积积分的微分与积分,2.5.3 f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积,推广：,2.5.4 卷积积分的时移性质,例2-15：已知f1(t) = u(t), f2(t)=e-(t-1)u(t-1)，求f1(t)*f2(t)。,解法一： 不变，反褶,1）当 时，,2）当 时，,演示,解法二： 不变，反褶,1）当 时，,2）当 时，,解法三：该例与例2-11作比较，两例中的 相同，但本例 中的 是将例2-11中的 右移1得到的，所以，根据卷积 的时移特性和例2-11的结果，可以直接得到,解：f2(t) = (t)+(t-3)，则,s(t) = f1(t)*(t)+(t-3),= f1(t)*(t)+ f1(t) *(t-3),= f1(t)+ f1(t-3),思考总结题,1. 求解教科书上题2-14和题2-15(c)；,2. 通