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重要习题例题归纳第2章 静电场和恒定电场1、 例题:1、 例2.2.4()半径为的无限长导体柱面,单位长度上均匀分布的电荷密度为。试计算空间中各点的电场强度。解:作一与导体柱面同轴、半径为、长为的闭合面,应用高斯定律计算电场强度的通量。 当时,由于导体内无电荷,因此有,故有,导体内无电场。 当时,由于电场只在方向有分量,电场在两个底面无通量,因此 则有:2、 例2.2.6()圆柱坐标系中,在与之间的体积内均匀分布有电荷,其电荷密度为。利用高斯定律求各区域的电场强度。解:由于电荷分布具有轴对称性,因此电场分布也关于轴对称,即电场强度在半径为的同轴圆柱面上,其值相等,方向在方向上。现作一半径为,长度为的同轴圆柱面。当时,有,即;当时,有,因此,;当时,有,即。3、 例2.3.1()真空中,电荷按体密度分布在半径为的球形区域内,其中为常数。试计算球内、外的电场强度和电位函数。解:(1)求场强:当时,由高斯定律得而为球面包围的总电荷,即球形区域内的总电荷。因此当时因此 (2)球电位;当时,取无穷远的电位为零,得球外的电位分布为当时,即球面上的电位为当时4、例2.4.1()圆心在原点,半径为的介质球,其极化强度。试求此介质球束缚体电荷密度和球表面束缚面电荷密度。解:在球坐标系中,由于极化强度中与有关,具有球对称性,故当时,当时,。5、例2.4.2()有一介质同轴传输线,内导体半径为,外导体半径。两导体间充满两层均匀介质,它们分界面的半径为,已知内、外两层介质的介电常数为;击穿电场强度分别为问:(1)内、外导体间的电压逐渐升高时,哪层介质被先击穿?(2)此传输线能耐的最高电压是多少伏?解:当内、外导体上加上电压,则内外导体上将分布和的电荷密度。由于电场分布具有轴对称性,在与传输线同轴的半径为的柱面上,场的大小相等,方向在方向。选同轴的柱面作为高斯面,根据高斯定律可得当时,;当时,或;当时,或 。可以看出,两层介质中电场都在内表面上最强,且在分界面上不连续,这是在分界面上存在束缚电荷的缘故。在介质1中,处场强最大为,在介质2中,处场强最大为由于,显然,在两种介质中最大场强的差值为:代入和的值得当介质2内表面上达到的电场强度时,介质1内表面已达到的电场强度,因此,介质1在介质2被击穿前早已被击穿。而当介质1内表面上达到击穿电场强度时即 因此,介质1和介质2内的电场分布为故,传输线上的最大电压不能超过6、 例2.7.1()半径为的导体球上带电量为,试计算空间中的电场分布、电位分布和静电能量。解:当时,对于导体球,球内无电场,球面为等位面。当时,利用高斯定律,电场强度为电位分布为球面上的电位为此导电球储存的静电能为而空间任一点的能量密度为静电场储存的静电能为 2、 习题2.20 (本题与例2.3.1同类型)半径为的带点球,其体电荷密度为,为常数,求球内外各处的电位和电场强度。解:(1)求场强,利用高斯定律当时,而为球面包围的总电荷,即球形区域内的总电荷。因此, 当时,所以, (2) 求电位,取无穷远处的电位为零,则当时当时2.23 如图所示,内导体球半径为,外导体球壳内半径为,外半径为,如果内导体球带电量为,外导体球壳不带电。求:(1)两导体上的电荷分布;(2)导体内外各处的电场强度;(3)导体内外各处的电位分布。解:(1)内导体球带电量为,由于静电感应,所以外导体球壳内表面带电量为,题2.23图外表面带电量为。内导体球的电荷体密度为;外导体球壳的内表面电荷面密度为:;外导体球壳外表面电荷面密度为:。(2) 求场强,利用高斯定律,当时,球内无电场,即;当时,当时,无电场,即;当时,(3) 求电位,取无穷远处得电位为零,当时,当时,当时,当时, 2.30 一圆心在原点,半径为的介质球,其极化强度。试求(1)此介质球束缚体电荷密度和球表面束缚面电荷密度。(2)求球内外各点的电位。解:(1)介质球内束缚电荷体密度为:束缚电荷面密度为:(2) 先求介质球内自由电荷的体密度:然后求球内外各点的场强:当时,由于且,所以,当时,由高斯定律有:而,所以:再求球内外各点的电位:当时,当时,2.31(略)第4章 恒定磁场1、 例题1、 例4.2.1()计算真空中半径为的长直圆柱形载流铜导线的磁场。解:由真空中安培环路定律,在处,有在处,有2、 例4.2.2()在无限长柱形区域中,沿纵向流动的电流,其电流密度为,其他地方电流密度。求各区域中的磁感应强度。解:利用安培环路定律,有:(其中为回路围成的面积上穿过的电流强度)当时,则当时, 当时,3、 例4.5.1(P117)同轴线的内导体半径为,外导体的半径为,外导体的厚度忽略不计。并设导体的磁导率是,内、外导体间充满磁导率为的均匀介质,内、外导体分别通以大小都等于但方向相反的电流,求各处的和。解:由安培环路定律:可知当时,52,即和。当时,即和当时,由对称性可知,4、 例4.5.2(P117)无限长铁质圆管中通过电流,管的内、外半径分别为和。已知铁的磁导率为,求管壁中和管内、外中的,并计算铁中的磁化强度和磁化电流分布。解:(1)求:当时,则有:和当时,则有:和当时,由对称性可知,(2) 求铁中的磁化强度:在的管壁空间内有磁化强度为故管壁内的磁化体电流为在分界面时处的磁化面电流为在处:在处:5、 例4.6.1(P120)如图4.6.3所示,铁芯环的内半径为,轴半径,环的横截面半径为矩形,且尺寸为。已知(a)(b)和铁心的磁导率,磁环上绕有匝线圈,通以电流为。试计算环中的、和。图4.6.3解:在忽略环外漏磁的条件下,环内的环积分为铁心环内的磁通为当磁环上开一很小切口,即在磁路上有一个小空气隙时,根据磁通连续性方程,我们近似地认为磁感应线穿过空气隙时仍均匀分布在截面上。由磁场边界条件可知:铁心内的磁感应强度与空气中的磁感应强度相等,即,当两个区域中的磁场强度不同,于是这里为空气隙的宽度,且,在磁环内,在空气隙中,代入上式得将上式中左边分子分母同乘以面积,则上式又可改写为铁心和空气隙中的磁感应强度为而磁路中和分别为2、 习题4.10 一根通有电流的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中,求出、及磁化电流分布。解:利用安培环路定律:所以: 所以磁化电流密度:4.11(略)4.17 本题与例4.6.1解法完全相同,故省略。第5章 时变电磁场1、 例题1、 例题5.4.1(P140) 已知自由空间中,求时变电磁场的磁场分量,并说明场和构成了一个沿方向传播的行波。解:由麦克斯韦方程可得即 对时间积分可得这里积分常数忽略不计,于是由此可见,场和相互垂直,它们随时间和空间是按正弦波的方式传播的,它是一个行波。2、 例5.5.1(P144)在两导体平板()限定的空气中传播的电磁波,已知波的电场分量为式中,为常数。(1) 试求波的磁场分量;(2)验证波的各场分量满足边界条件;(3)求两导体表面上的面电荷和面电流密度。解:(1)由麦克斯韦第二方程可得于是(2) 由导体与空气的边界条件可知,在和的导体表面上应该有电场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量。而当和时,和,可见电磁波的场分量自然满足边界条件。(3) 由导体与空气的边界条件可知,在导体的表面上有和在的表面上,。于是在的表面上,。于是2、 习题5.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动,整个装置位于正弦时变磁场,滑片的位置由确定,轨道终端接有电阻,试求。解:磁通量为:所以,感应电动势为:故:5.2(略)。5.15(略)。5.16 本题与例5.5.1解答过程完全相同,故略。5.17(略)。5.22 在和的均匀区域中,有如果波长为,求和。解:由由麦克斯韦方程可得即 (自己求哈)(自己求哈)第六章 平面电磁波例题6.2.1 频率为100MHz的正弦均匀平面电磁波在各向同性的均匀理想介质中沿方向传播,介质的特性参数为,。设电场只有方向的分量,即;当时,电场等于其振幅,试求:(1) 该正弦电磁波的和;(2) 该正弦电磁波的传播速度;(3) 该正弦电磁波的平均坡印廷矢量。 解:各向同性的均匀理想介质中沿方向传播的正弦均匀平面电磁波可由标准的余弦函数来表示,即而波的电场分量是沿方向的,因此,波的电场分量可写成式中。而再由时,得故则(1)(2)波的传播速度为(3) 波的电场和磁场分量的复矢量可写成,故波的平均坡印廷矢量为习题部分;由于本章习题与上题解法基本相似,故不再赘述。1. 真空中,有一导线上电荷均匀分布且电荷密度为l,形状为半圆、半径为a,求在圆心处电场的大小和方向。建立坐标系统,半圆轴线为x,半圆中间为y 则= =- =-=-2.在自由空间中,沿+y方向传播的平

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